Дипломная работа: Обобщённо булевы решетки
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский
государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Обобщенно булевы решетки
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Онучин Андрей Владимирович
Научный руководитель:
к.ф.-м.н.,
доцент кафедры алгебры и геометрии ВятГГУ
Чермных Василий Владимирович
Рецензент:
д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии ВятГГУ
Вечтомов Евгений Михайлович
Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»__________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение.......................................................................................................... 3
Глава 1............................................................................................................. 4
1.1. Упорядоченные множества................................................................... 4
1.2. Решётки.................................................................................................. 5
1.3. Дистрибутивные решётки..................................................................... 7
1.4. Обобщённые булевы решётки, булевы решётки................................. 8
1.5. Идеалы................................................................................................... 9
Глава 2........................................................................................................... 11
2.1. Конгруэнции....................................................................................... 11
2.2. Основная теорема............................................................................... 16
Библиографический список.......................................................................... 22
Введение
Булева решётка представляет собой классический математический объект, который начал интенсивно изучаться в работах М. Стоуна 30-е годы 20-го века, расширением этого понятия до обобщённо булевых решёток занимались Г. Гретцер и Е. Шмидт в своих трудах конца 50-х годов.
Цель данной работы: установление взаимно однозначного соответствия между конгруэнциями и идеалами в обобщённо булевых решётках. (Для булевых решёток это положение доказано в книге [2], кроме того, сформулировано в книге [3] в качестве упражнений). А также – установление связи между обобщённо булевыми решётками и булевыми кольцами.
Данная дипломная работа состоит из двух глав: в первой главе даны основные понятия, а так же содержатся базовые сведения из теории решёток. Кроме того, в первой главе рассмотрено несколько простейших теорем.
Вторая глава представляет собой основную часть данной дипломной работы. Опираясь на работы Гретцера Г., но более подробно, рассмотрены свойства конгруэнций и связь конгруэнций и идеалов в обобщённо булевых решётках (Теоремы 2.1, 2.2, 2.3.). Кроме того реализована основная цель данной дипломной работы: установлена связь между булевыми кольцами и обобщённо булевыми решётками (Основная теорема).
Глава 1
1.1. Упорядоченные множества
Упорядоченным
множеством P называется непустое множество, на
котором определено бинарное отношение ,
удовлетворяющее для всех
следующим
условиям:
1. Рефлексивность: .
2. Антисимметричность. Если
и
, то
.
3. Транзитивность. Если и
, то
.
Если и
, то говорят, что
меньше
или
больше
, и пишут
или
.
Примеры упорядоченных множеств:
1.
Множество целых положительных чисел, а означает,
что
делит
.
2.
Множество всех
действительных функций на отрезке
и
означает, что
для
.
Цепью называется упорядоченное множество, на котором для
любых имеет место
или
.
Используя отношение
порядка, можно получить графическое представление любого конечного
упорядоченного множества P.
Изобразим каждый элемент множества P в виде небольшого кружка, располагая x выше y,
если . Соединим x и y отрезком. Полученная фигура называется диаграммой
упорядоченного множества P.
![]() |
Примеры диаграмм упорядоченного множества:
1.2. Решётки
Верхней гранью подмножества Х в упорядоченном множестве Р называется элемент a из Р, больший или равный всех x из X.
Точная верхняя грань подмножества X упорядоченного множества P – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом sup X и читается «супремум X».
Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.
Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается inf X и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань X существует, то она единственна.
![]() |
Решёткой



Примеры решёток:
Примечание. Любая цепь
является решёткой, т.к. совпадает
с меньшим, а
с большим из элементов
.
Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 1, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 0.
На решётке можно рассматривать две бинарные операции:
- сложение и
- произведение
Эти операции обладают следующими свойствами:
1. ,
идемпотентность;
2. ,
коммутативность;
3. ,
ассоциативность;
4. ,
законы поглощения.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть L - множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами
(1) – (4). Тогда отношение
(или
) является порядком на L, а возникающее упорядоченное
множество оказывается решёткой, причём:
и
.
Доказательство. Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим,
что оно является следствием свойства (4):
Если и
, то есть
и
, то в силу свойства (2),
получим
. Это означает, что
отношение
антисимметрично.
Если и
, то применяя свойство (3),
получим:
, что доказывает
транзитивность отношения
.
Применяя свойства (3), (1), (2), получим:
,
.
Следовательно, и
.
Если и
, то используя свойства (1)
– (3), имеем:
, т.е.
.
По определению точней
верхней грани убедимся, что .
Из свойств (2), (4)
вытекает, что и
.
Если и
, то по свойствам (3), (4)
получим:
.
Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что
.
Таким образом, .
Пусть L решётка, тогда её наибольший элемент 1 характеризуется одним из свойств:
1.
.
2.
.
Аналогично
характеризуется наименьший элемент :
1.
2.
.
1.3. Дистрибутивные решётки
Решётка L называется дистрибутивной,
если для любых выполняется:
D1. .
D2. .
В любой решётке тождества D1 и D2 равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [2], стр. 24.
Примеры дистрибутивных решёток:
1.
Множество
целых положительных чисел, означает,
что
делит
. Это решётка с операциями
НОД и НОК.
2. Любая цепь является дистрибутивной решёткой.
![]() |
ТЕОРЕМА 1.2. Решётка L с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
Доказательство этой теоремы можно найти в книге [1].
1.4. Обобщённо булевы решётки, булевы решётки
Всюду далее под словом «решётка» понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0.
Решётка L
называется обобщённой булевой, если для любых элементов и d из L, таких что
существует относительное
дополнение на интервале
, т.е.
такой элемент
из L, что
и
.
(Для ,
, интервал
|
; для
,
можно так же определить полуоткрытый
интервал
|
).
ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.
Доказательство. Пусть для элемента существует два
относительных дополнения
и
на интервале
. Покажем, что
. Так как
относительное дополнение
элемента
на промежутке
, то
и
, так же
относительное дополнение
элемента
на промежутке
, то
и
.
Отсюда
,
таким образом , т.е. любой элемент
обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное
дополнение.
Решётка L называется
булевой, если для любого элемента из
L существует дополнение,
т.е. такой элемент
из L, что
и
ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.
ТЕОРЕМА 1.5. (О связи обобщённо булевых и булевых решёток).
Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.
Доказательство. Действительно, рассмотрим
произвольную булеву решётку L. Возьмём элементы a и d из L, такие что . Заметим, что
относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент
, где a’ – дополнение элемента a в булевой решётке L. Действительно,
, кроме того
. Отсюда следует, что
решётка L является обобщённо булевой.
1.5. Идеалы
Подрешётка I решётки L называется идеалом,
если для любых элементов и
элемент
лежит в I. Идеал I называется собственным,
если
. Собственный идеал решётки
L называется простым,
если из того, что
и
следует
или
.
Так как
непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем
определить идеал, порождённый множеством H в решётке L, предполагая, что H не совпадает с пустым
множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через
(H]. Если , то вместо
будем писать
и называть
главным идеалом.
ТЕОРЕМА
1.5.
Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в
L, тогда I является идеалом тогда и
только тогда, когда если , то
, и если
, то
.
Доказательство.
Пусть I – идеал, тогда влечёт за собой
, так как I – подрешётка. Если
, то
и условия теоремы
проверены.
Обратно,
пусть I удовлетворяет этим условиям и . Тогда
и так как
, то
, следовательно, I – подрешётка. Наконец,
если
и
, то
, значит,
и I является идеалом.
Глава 2
2.1. Конгруэнции
Отношение
эквивалентности
(т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение) на решётке L называется конгруэнцией на L, если
и
совместно влекут за собой
и
(свойство стабильности).
Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:
(ω)
;
(ι)
для всех
.
Для обозначим через
смежный класс,
содержащий элемент
, т.е.
|
Пусть L – произвольная решётка и . Наименьшую конгруэнцию,
такую, что
для всех
, обозначим через
и назовём конгруэнцией,
порождённой множеством
.
ЛЕММА 2.1. Конгруэнция существует для любого
.
Доказательство. Действительно, пусть Ф = |
для всех
. Так как пересечение в
решётке
совпадает с
теоретико-множественным пересечением, то
для
всех
. Следовательно, Ф=
.
В двух случаях мы будем
использовать специальные обозначения: если или
и
- идеал, то вместо
мы пишем
или
соответственно.
Конгруэнция вида
называется
главной; её значение объясняется следующей леммой:
ЛЕММА 2.2. =
|
.
Доказательство. Пусть , тогда
, отсюда
. С другой стороны
рассмотрим
, но тогда
. Поэтому
и
.
Заметим, что - наименьшая конгруэнция,
относительно которой
, тогда как
- наименьшая конгруэнция,
такая, что
содержится в одном смежном классе. Для произвольных
решёток о конгруэнции
почти ничего не
известно. Для дистрибутивных решёток важным является следующее описание
конгруэнции
:
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть -
дистрибутивная решётка,
и
. Тогда
и
.
Доказательство. Обозначим через Ф бинарное
отношение, определённое следующим образом: и
.
Покажем, что Ф – отношение эквивалентности:
1) Ф – отношение рефлексивности: x·a = x·a ; x+b = x+b;
2) Ф – отношение симметричности:
x·a = y·a и x+b = y+b
y·a = x·a и y+b = x+b
;
3) Ф – отношение транзитивности.
Пусть x·a = y·a и x+b = y+b и пусть
y·с = z·с и y+d = z+d. Умножим обе части x·a = y·a на элемент с, получим x·a·c = y·a·c. А обе части y·с = z·с умножим на элемент a, получим y·c·a = z·c·a. В силу симметричности x·a·c = y·a·c = z·a·c. Аналогично получаем x+b+d = y+b+d = z+b+d. Таким образом
.
Из всего выше обозначенного следует, что Ф – отношение эквивалентности.
Покажем, что Ф
сохраняет операции. Если и z
L, то (x+z) ·a = (x·a) + (z·a) = (y·a) + (z·a) = (y+z) ·a и (x+z)+b = z+(x+b) = z+(y+b); следовательно,
.
Аналогично доказывается, что
и,
таким образом, Ф – конгруэнция.
Наконец, пусть - произвольная
конгруэнция, такая, что
, и пусть
.
Тогда x·a = y·a, x+b = y+b ,
и
. Поэтому вычисляя по модулю
, получим
, т.е.
, и таким образом,
.
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
2.1. Пусть I – произвольный идеал дистрибутивной
решётки L. Тогда в
том и только том случае, когда
для
некоторого
. В частности, идеал I является смежным классом по модулю
.
Доказательство. Если , то
и элементы x·y·i, i принадлежат идеалу I.
Действительно .
Покажем, что .
Воспользуемся тем, что (*), заметим, что
и
, поэтому мы можем
прибавить к тождеству (*)
или
, и тождество при этом
будет выполняться.
Прибавим
:
, получим
.
Прибавим
:
, получим
.
Отсюда . Таким образом,
.
Обратно согласно лемме 2,
|
Однако и поэтому
|
Если , то
откуда
.
Действительно, (**).
Рассмотрим правую часть этого тождества:
Объединим первое и второе слагаемые –
.
Объединим первое и третье слагаемые –
,
таким образом (***)
Заметим, что , поэтому прибавим к обеим
частям выражения (***) y:
Но , отсюда
.
Следовательно, условие
следствия из теоремы 2.1. выполнено для элемента .
Наконец, если
и
, то
, откуда
и
, т.е.
является смежным классом.
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть L – булева решётка. Тогда отображение
является взаимно
однозначным соответствием между конгруэнциями и идеалами решётки L. (Под
понимаем класс нуля по
конгруэнции
, под
понимаем решётку
конгруэнций.)
Доказательство. В силу следствия из теоремы 2.1. это
отображение на множество идеалов; таким образом мы должны только доказать, что
оно взаимно однозначно, т.е. что смежный класс
определяет
конгруэнцию
. Это утверждение, однако,
очевидно. Действительно
тогда и
только тогда, когда
(*), последнее
сравнение в свою очередь равносильно сравнению
,
где с – относительное дополнение элемента
в
интервале
.
Действительно, помножим выражение (*) на с:
, но
,
а
, отсюда
.
Таким образом, в том и только том случае,
когда
.
Примечание. Приведённое доказательство не полностью использует условие, что L – дистрибутивная решётка с дополнениями. Фактически, мы пользовались только тем, что L имеет нуль и является решёткой с относительными дополнениями. Такая решётка называется обобщённой булевой решёткой.
ТЕОРЕМА 2.3 (Хасимото [1952]). Пусть L – произвольная решётка. Для того,
чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между идеалами и
конгруэнциями решётки L,
при котором идеал, соответствующий конгруэнции ,
являлся бы смежным классом по
,
необходимо и достаточно, чтобы решётка L была обобщённой булевой.
Доказательство. Достаточность следует из
доказательства теоремы 2.2. Перейдём к доказательству необходимости.
Идеалом, соответствующим
конгруэнции , должен быть (0]; следовательно,
L имеет нуль 0.
Если L содержит диамант
, то идеал (a] не может быть смежным классом, потому что из
следует
и
. Но
, значит, любой смежный
класс, содержащий
, содержит и
, и
.
Аналогично, если L содержит пентагон и смежный класс содержит
идеал
, то
и
, откуда
. Следовательно, этот
смежный класс должен содержать
и
.
Итак, решётка L не содержит подрешёток, изоморфных ни диаманту, ни пентагону. Поэтому, по теореме 1.2., она дистрибутивна.
Пусть и
. Согласно следствию из
теоремы 2.1., для конгруэнции
идеал
так же является смежным
классом, следовательно,
,
откуда
. Опять применяя следствие
из теоремы 2.1. получим,
для
некоторого
. Так как
, то
и
. Следовательно,
о
полу орого ледствие 4 получим, цииодержать , соответствующим конгруэнции
образом мы должны только доказать, ______________ и
, т.е. элемент
является относительным
дополнением элемента
в интервале
.
2.2. Основная теорема
(1)
Пусть
-
обобщённая булева решётка. Определим бинарные операции
на B, полагая
и
обозначая через
относительное
дополнение элемента
в интервале
. Тогда
- булево кольцо, т.е.
(ассоциативное) кольцо, удовлетворяющее тождеству
(а
следовательно и тождествам
,
).
(2)
Пусть - булево кольцо. Определим
бинарные операции
и
на
, полагая, что
и
. Тогда
- обобщённая булева
решётка.
Доказательство.
(1)
Покажем, что - кольцо.
Напомним определение. Кольцо - это
непустое множество
с заданными на
нём двумя бинарными операциями
,
которые удовлетворяют следующим аксиомам:
1. Коммутативность сложения:
выполняется
;
2. Ассоциативность сложения:
выполняется
;
3. Существование нуля, т.е. ,
;
4. Существование
противоположного элемента, т.е. ,
,
;
5. Ассоциативность
умножения: ,
;
6. Закон дистрибутивности.
Проверим, выполняются ли аксиомы кольца:
1. Относительным
дополнением до элемента
будет элемент
, а относительным
дополнением
элемент
.
В силу того, что
, а так же
единственности дополнения имеем
.
2. Покажем, что .
Рассмотрим все возможные
группы вариантов:
1) Пусть , тогда
(Далее везде под элементом
x будем понимать сумму
).
Аналогично получаем в случаях
,
,
,
и
. Заметим, что когда один
из элементов равен нулю (например, c),
то получаем тривиальные варианты (a+b=a+b).
2) Пусть , а элемент c не сравним с ними. Возможны
следующие варианты:
Нетрудно заметить, что во
всех этих случаях , кроме того:
если c=a+b, то (a+b)+c=0=a+(b+c);
если c=0, то получаем тривиальный вариант.
Вариант, когда c равен наибольшему элементу решётки d, мы уже рассматривали.
Если c=b, то (a+b)+c=(a+b)+b=a и a+(b+c)=a+(b+b)=a.
Если c=a, то (a+b)+c=(a+b)+a=b и a+(b+c)=a+(b+a)=b.
Аналогично
для случаев
,
,
,
и
.
3) Под элементами нижнего
уровня будем понимать элементы ,
,
,
,
,
,
,
, т.е. те элементы 4-х
мерного куба, которые образуют нижний трёхмерный куб.
Под элементами верхнего
уровня будем понимать элементы ,
,
,
,
,
,
,
, т.е. те элементы 4-х
мерного куба, которые образуют верхний трёхмерный куб.
Под фразой «элемент
верхнего уровня, полученный из элемента нижнего
уровня сдвигом по соответствующему ребру» будем понимать элемент
верхнего уровня.
Пусть a, b, c несравнимы. Рассмотрим следующие варианты: и
.
Пусть
.
Заметим, что это возможно только в случаях, когда
принадлежат
нижнему уровню, причём лежат на позициях элементов
(рис.
1). Либо a, b остаются на своих позициях, элемент c сдвигается на верхний уровень по
соответствующему ребру (рис. 2). Либо элемент a остаётся на своей позиции, элементы b, c сдвигаются на верхний уровень по соответствующему
ребру (рис 3).
Нетрудно
заметить, что во всех этих случаях
.
Пусть , здесь так же
.
Таким образом мы рассмотрели все основные группы вариантов расположения элементов a, b, c и во всех этих случаях ассоциативность сложения выполняется.
3. Рассмотрим в решётке
элемент , к нему существует
относительное дополнение
до
элемента
, т.е.
и
. Учитывая, что в решётке
и
, имеем следующее:
и
. Отсюда
.
4. Рассмотрим
относительное дополнение элемента до
, это элемент
. Таким образом:
и
. Учитывая, что в решётке
выполняются тождества
и
имеем следующее:
и
. Отсюда
.
5. Так как в решётке
выполняется ассоциативность , а так
же имея
, то
.
6. Докажем
дистрибутивность или что то же
самое
(*).
Докажем, что дополнения
левой и правой частей выражения (*) до верхней грани совпадают.
Нетрудно заметить, что
дополнением правой части выражения (*) до элемента будет
являться элемент
.
Покажем это:
, по определению относительного
дополнения элемента
(
), где за
приняли элемент
, а элемент
за
.
, по определению относительного
дополнения элемента
(
) , где за
приняли элемент
, а элемент
за
.
Покажем, что и для левой
части (*) элемент будет являться
относительным дополнением до верхней грани
:
, т.к.
.
Мы показали, что
дополнения элементов и
до верхней грани
совпадают, следовательно,
в силу единственности дополнения
. А
значит и
, т.е. дистрибутивность
доказана.
Таким образом, для все аксиомы кольца
выполняются.
Заметим, что выполняется в силу того,
что
, а в решётке
.
Также выполняется , потому что
.
Таким образом, - булево кольцо.
Доказательство (2). Частичную
упорядоченность имеем исходя из
того, что исходное булево кольцо
-
частично упорядоченное множество. Кроме того
-
решётка, т.к.
существуют sup(x,y) и inf(x,y), заданные соответствующими правилами:
и
.
Покажем, что решётка
дистрибутивна, т.е. что выполняется тождество (*)
Рассмотрим левую часть выражения (*):
.
Рассмотрим правую часть выражения (*):
,
т.о. тождество верно, т.е. решётка
является дистрибутивной.
Покажем, что у каждого
элемента в дистрибутивной решётке
есть относительное
дополнение. Для этого рассмотрим произвольные элементы
, но они так же должны
являться элементами решётки
,
следовательно, в ней должны лежать и
,
которым в кольце соответствуют
.
Рассмотрим элемент булева
кольца (в решётке лежит
соответствующий ему элемент), заметим, что
и .
Поэтому элемент будет являться в
дистрибутивной решётке
относительным
дополнением
до верхней грани
.
Таким образом, будет являться
дистрибутивной решёткой с относительными дополнениями (обобщённой булевой).
Библиографический список
1. Гретцер, Г. Общая теория решёток [Текст] / Г. Гретцер. – М.: Мир, 1982.
2. Биркгоф, Г. Теория решёток [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: Наука, 1984.
3. Скорняков, Л.А. Элементы алгебры [Текст] / Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1989.