Статья: Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность). Это достигается индуцированием зависящей от координаты поверхностной плотности заряда σ. Поле ортогонально к поверхности проводника, но не обязательно однородно. Заряд σ на поверхности связан с полем как σ = ε0E.

Метод изображений состоит в замене системы "заряды + проводящая поверхность" на систему "заряды + изображения". Правила построения изображений обеспечивают эквипотенциальность требуемой поверхности. Для точечного заряда q, расположенного на расстоянии l от плоскости или центра сферы, а также для прямой нити λ, расположенной на расстоянии l от оси цилиндра:

плоскость q → q' = –q, l → l' = l

заземленная сфера q → q' = –qR/l, l → l' = R2/l

цилиндр λ → –λ, l → l' = R2/l

Если сфера не заземлена, то надо еще дополнительно поставить заряд +qR/l в начало координат. Цилиндр и плоскость заземлены по определению (они простираются до бесконечности, где φ = 0).

Основным практическим случаем является проводящая плоскость: например Земля. Он легко обобщается на систему зарядов (нитей, колец и т. д.) - всю ее надо отобразить относительно плоскости.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти плотность индуцированного заряда как функцию расстояния r от проекции заряда на плоскость.

Ответ:  

Задача. Бесконечная прямая нить, несущая заряд λ на единицу длины, висит над проводящей плоскостью на расстоянии l от нее. Найти распределение электрического поля и поверхностной плотности индуцированного заряда вблизи плоскости.

Решение: Сначала находим поле одной нити по теореме Гаусса, затем отображаем нить и ищем поле от нити-изображения –λ, далее векторно суммируем эти поля. После этого можно найти σ в любой точке как –ε0· Ewire+image.

Поле одной нити на расстоянии s от нее равно

и направлено от оси нити или к ней. Поэтому поле одной нити в плоскости на расстоянии x от проекции нити на плоскость будет ():

Такое же по абсолютной величине поле создается нитью-изображением. При векторном суммировании полей двух нитей параллельные плоскости компоненты уничтожаются, а перпендикулярные ей - удваиваются:

Соответственно, имеем плотность индуцированного заряда:

Проинтегрировав σ(x) по x от –∞ до +∞, можно убедиться, что суммарный индуцированный заряд на единицу длины проекции нити составляет –λ, как и должно быть.

Задача. Очень длинная равномерно заряженная зарядом λ0 нить расположена по оси z и не доходит до проводящей плоскости xy на расстояние l. Найти поле вблизи плоскости xy как функцию расстояния r от начала координат.

Ответ:  

Задача. На расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R<l расположен точечный заряд q. Найти плотность заряда, индуцированного в ближайшей к заряду и в наиболее удаленной от него точках шара.

Решение: По правилам размещения заряда-изображения, помещаем заряд –qR/l в точку на оси "центр сферы - заряд q", удаленную от центра на расстояние R2/l. Тогда расстояние от заряда-изображения до ближайшей к заряду точки сферы будет R–R2/l. В этой точке и поле от истинного заряда, и поле от заряда-изображения направлены к центру сферы, а их сумма по абсолютной величине будет

Enear =

=

Сразу же находится σ:

Аналогично находим плотность индуцированного заряда в удаленной точке, только там поле от заряда q направлено от центра, а от изображения - на центр. Сумма этих полей оказывается направленной к центру и по модулю равной:

Efar =

так что

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Физика, основы теории
Механика. Молекулярная физика. Термодинамика 1. Основные понятия кинематики Механика - это наука о движении и взаимодействии макроскопических тел ...
Эти нескомпенсированные разноименные заряды появляются на проводнике только под действием внешнего электрического поля, т.е. такие заряды являются индуцированными (наведенными), а ...
Электрический ток i, текущий в любом контуре, создает потокосцепление (полный магнитный поток) Ѭ. При изменении i будет меняться Ѭ, и, следовательно, в контуре будет индуцироваться ...
Раздел: Рефераты по физике
Тип: шпаргалка
Лекции по физике В.И.Бабецкого
(II курс факультета "Прикладная математика и физика" МАИ) 1999г. 1 Электромагнитное взаимодействие Мир состоит из взаимодействующих частиц. Всё, что ...
Вот заметьте, для точечного заряда напряжённость поля убывает с расстоянием как , для цилиндра - как и для плоскости вообще не убывает.
Я нарисую произвольный проводник и на него посажу заряд +q, ну, уединённый проводник (больше ничего нет).
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат
Общая Физика (лекции по физике за II семестр СПбГЭТУ ЛЭТИ)
... единого электромагнитного поля, проявлением которого является электрический ток (упорядоченное движение заряженных частиц). Эл. заряды - частицы ...
В соответствии с (1), густота линий численно равна Е = (1/4 0)*(q/r2), то кол-во линий численно равно (1/4 0)*(q/r2)* (4 r2) = q/ 0. Это говорит о том, что число линий на любом ...
Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных зарядов +q и -q, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до точек, в которых ...
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат
Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых ...
... Владимирский Государственный Университет. Кафедра БМИ. РЕФЕРАТ на тему: "Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых ...
Здесь L(r, ѭ) - прямая, ортогональная лучу, имеющему угол ѭ ѭ положительным направлением оси X, и отстоящая от начала координат на расстояние r (r 0), при r < 0 L(r, ѭ) - прямая ...
Если s3 = 0, s1 = r cosl , s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l +p /2 ...
Раздел: Рефераты по медицине
Тип: реферат
Физика в МГУ (билеты-вопросы-ответы) по лекциям Ремезовой Н.И. и ...
Программа по физике в МГУ. Механика. 1.1.Кинематика. Механическое движение. Механическое движение телаизменение его положения в пространстве ...
F=kq1q2/r2, разделим обе части наq1, тогда E=kq2/r2=q/4pee0r2.
Согласно закону сохранения энергии, работа электрического поля превращается в тепловую энергию проводника A=Q. Q=А=IUt=I2Rt=U2t/R. Q=I2Rt- закон ДжоуляЛенца (для последовательного ...
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат