Статья: Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Для решения задач применяется выражение

= qinside

представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса: - собственно теорема Гаусса, - уравнение Максвелла ().

Eсли - некоторый вектор, то - поток вектора через поверхность. В частности, в вышеприведенном выражении стоит поток вектора . Векторный элемент площади . Орт нормали зависит от геометрии задачи:

=

Задача. Заряд q расположен в точке (0, 0, l). Найти поток вектора через круг радиуса R c центром в начале координат, лежащий в плоскости xy.

Решение: В плоскости xy зарядом создается поле

При вычислении потока нам потребуется величина , где - вектор нормали к кругу, который во всех точках ориентирован одинаково, а именно по или . Примем для определенности

Тогда, поскольку , а , имеем:

В последнем выражении сделан переход к полярным координатам: r - это расстояние от начала координат в плоскости xy. Теперь можно производить интегрирование по площади круга:

Φ =

=

=

Задача. Вычислить поток вектора через сферу радиуса R.

Ответ: Φ = 4π Ra

Теорема Гаусса верна всегда (это математический закон), но помогает только в симметричных случаях, когда очевидна геометрия поля. В декартовом случае заряд должен изменяться только вдоль одной координаты (например x), в цилиндрическом - только в зависимости от удаления от оси цилиндра r, а в сферическом тоже только от r, но r - удаление от центра шара. Тогда при правильном выборе гауссовой поверхности поток вычисляется очень просто, так как параллелен вектору на части поверхности и ортогонален ему на другой её части.

Выбор гауссовой поверхности при расчете поля в точке x (или r):

- плоскостная геометрия: цилиндрическая поверхность любой формы сечения yz и любой его площади (S), занимающая область (–∞... x) вдоль оси x;

- сферическая геометрия: сфера радиуса r

- цилиндрическая геометрия: цилиндрическая поверхность круглого сечения радиуса r, имеющая произвольную длину L вдоль оси z.

= Dr(r)· 4π r2 – сферическая геометрия
Dr(r)· 2π r L – цилиндрическая
Dx(x) · S – Dx(–∞)· S – плоская геометрия

Dx(–∞)≠ 0 только в некорректных задачах. При этом Dx (–∞) = –qinside(x = +∞)/2S.

Как записать qinside для разных геометрий? Если мы различаем между зарядами ρ, σ, λ, q (то есть не пытаемся всё свести к ρ, приписывая ему и бесконечные значения), то

qinside =

qc - точечный заряд в центре, σi - заряды концентрических сфер радиусов Ri (таких сфер может быть произвольное количество), а интегрирует объемный заряд. Аналогично в другой геометрии: λa - заряженная нить по оси цилиндра z, σi - заряды цилиндров радиусов Ri.

Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена как ρ(x) = α x2; при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x), применяя теорему Гаусса.

Решение: Начать следует с нахождения поля как функции координаты Ex(x). Берем гауссову поверхность в виде цилиндрической поверхности, занимающей область (–∞... x) вдоль оси x и имеющей площадь сечения S в плоскости yz.

Поскольку

мы имеем выражение теоремы Гаусса в виде

=

В зависимости от того, в какой диапазон попадает x (x<–a, –a<x<a, x>a), левая часть дает

=

=

= 0, x<–a

Подставляя qinside в теорему Гаусса, с учетом Dx = ε0Ex получаем поле:

Теперь можно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу

в которой x может быть как больше, так и меньше нуля. Соответственно, для каждого из трех отрезков, на которых найдено Ex, получаем:

φ(x) =

=

=

Как видим, в итоге получается тот же результат, который был ранее получен путем решения уравнения Пуассона.

Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r) и φ(r).

Решение: По теореме Гаусса,

qinside = 4π r2 Dr(r) = 4π ε0 r2 Er

причем

qinside = 0 при r<R1
4πσ1R12 при R1<r<R2
4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2

Cоответственно, поле на каждом из участков будет

Er = 0 при r<R1

При вычислении потенциала мы должны вычислить интеграл . При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:

φ(r) =

=

φ(r) =

=

φ(r) =

=

В этих выражениях для φ(r) возможны очевидные алгебраические упрощения, но мы оставим их в таком виде, поскольку в дальнейших задачах они нам потребуются именно такими.

Задача. Имеется равномерно заряженный по объему (ρ0) бесконечно длинный цилиндр круглого сечения радиуса R. Найти поле Er(r) и потенциал φ(r); при вычислении потенциала положить φ|r = 0 = 0.

Решение: В цилиндрической системе координат при наличии только объемного заряда имеем:

= Dr(r)· 2π r L = qinside
qinside =

Здесь L - произвольно выбранная длина вдоль оси цилиндра, которая далее сокращается. При вычислении qinside необходимо раздельно рассматривать случаи r<R и r>R:

qinside =

После этого, так как Dr = ε0Er, получаем поле:

Er(r) =

Er(r) =

Потенциал находится интегрированием Er с оговоренным в задаче условием φ|r = 0 = 0:

φ(r) =

φ(r) =

=

Из вида получившегося φ(r) ясно, что на бесконечности потенциал оказывается бесконечным. Это следствие некорректности ситуации: описанный в задаче цилиндр имеет бесконечную длину и несет бесконечный суммарный заряд, чего на практике быть не может. Чтобы избежать проблем, возникающих при естественном условии φ|r = ∞ = 0, искусственно задано φ|r = 0 = 0.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
Если D(x)=НОД(f(x), g(x)), где f(x), g(x)ЄP[x], то сущ-т ѭ(x), ѭ(x)ЄP[x], что f(x)ѭ(x)+g(x)ѭ(x)=D(x). Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x): f(x) = g(x)q(x)+r1(x), g(x ...
С-а V - наз-ся век-м прост-м над полем Р, а эл-ы мн-ва V - векторами = a, b,c,.x, y, если 1. (V, ѭ, +,-)- аддит-я абел-я группа, 2. (ѭ*ѭ)*a=ѭ*(ѭ*ѭ), Ґѭ,ѭЄP,aЄV.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Лекции по физике В.И.Бабецкого
(II курс факультета "Прикладная математика и физика" МАИ) 1999г. 1 Электромагнитное взаимодействие Мир состоит из взаимодействующих частиц. Всё, что ...
В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндрическую поверхность радиуса и высотой , цилиндрическая поверхность, закрытая двумя крышками для того, чтобы она была замкнутой.
Окружаем этот заряд сферой радиуса r. Вектор должен быть направлен по радиусу, это следствие сферической симметрии. , отсюда мы получаем:
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат
Геометрия Лобачевского
Тема: "Геометрия Лобачевского" Выполнила: Зайнулина Г. Г.Бишкек 2010 Н.И. Лобачевский и его геометрия До начала XIX столетия ни одна из попыток ...
После смерти Гаусса в его бумагах были найдены наброски отдельных наиболее простых теорем гиперболической геометрии.
Пусть V - векторное пространство размерности п над полем R (в дальнейшем будем рассматривать значения п = 2,3). Зададим билинейную форму g: V V = R, такую, чтобы квадратичная форма ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Электричество и магнетизм
ОБЩИЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ Ставрополь 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...
По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также равна нулю.
где I - сила тока, dl - вектор, по модулю равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r -радиус вектор, проведенный из элемента проводника dl в точку ...
Раздел: Рефераты по физике
Тип: книга
Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов
... и научно-методические основы изучения измерений геометрических величин в школе §1. Практическая деятельность учащихся при изучении геометрии §2. ...
В обучении геометрии этот принцип очень важен, так как в геометрии присутствует множество фигур, теорем и др., которые требуют демонстрации для прочного усвоения их свойств и ...
Радиус окружности - R, см
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа