Курсовая работа: Теоремы Силова
ВВЕДЕНИЕ
Строение абелевых групп во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные подгруппы также играют существенную роль. Теорема, доказанная норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конечных групп. Она неоднократно обобщалась в разных направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.), так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами. Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
Говорят, что группа G действует на множестве М, если для каждых
элементов
,
определен
элемент 
,
причем 
и
me=m для всех , 
; здесь e — единица группы G.
Множество 
называется
орбитой элемента m. Очевидно, орбиты любых двух
элементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество М
разбивается на непересекающиеся орбиты. Людвиг Силов (норв. Peter Ludvig
Mejdell Sylow — фонетически правильней транслитерация «Сюлов»; 1832—1918) — норвежский
математик. Автор нескольких работ по теории эллиптических функций и по теории
групп. С 1858 по 1898 годы был учителем в школе в городе Фредериксхальд. В 1862
году Силов заменил профессора по теории Галуа в университете Христиании, где он
поставил задачу, которая привела к наиболее важному результату его жизни — так
называемым теоремам Силова, опубликованным в 1872 году.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕМЫ СИЛОВА
Пусть G – конечная группа, а р – простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка pt называются р-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по р, то есть | G | = pns , где s не делится на р. Тогда силовской р-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок pn. Под N(P) понимается нормализатор подгруппы Р в G.
Теорема 1.(первая теорема Силова).
Силовские р-подгруппы существуют.
Доказательство.
Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:
а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа 
(как элемент примарного разложения центра), которая
нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок,
чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская
p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской
p-подгруппой G.
б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы
сопряжённости:
(поскольку если элемент лежит в
центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится
на p, значит, должен найтись класс Ka, порядок которого не делится
на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pnr, r < s.
Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и
будет искомой.
Теорема 2.(вторая теорема Силова).
Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg − 1, где g — элемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).
Доказательство
Итак, пусть силовские р-подгруппы в G существуют и Р — одна из них. Пусть, далее, 
— произвольная
р-подгруппа группы G, не обязательно силовская.
Заставим
действовать левыми сдвигами на множестве 
левых смежных классов G по Р. Длина любой орбиты относительно делит порядок 
,
. Таким образом,
где
,... — длины орбит. Так как НОД(m,p) = 1, то хотя бы одна
орбита имеет длину pki = 1, т.
е.
(1)
для некоторого элемента
. Переписав соотношение (1) в виде
, мы приходим
к заключению, что
(2)
(поскольку 
— группа). В частности, если — силовская
р-подгруппа, то | | = |Р|, и из (2) следует, что =.
Теорема 3(третья теорема Силова).
Количество силовских p-подгрупп сравнимо
с единицей по модулю p 
и делит порядок G.
Доказательство.
Рассмотрим несколько более общую ситуацию. Именно, пусть 
, где 
, t может делится на p, и
пусть 
-
число всех подгрупп порядка 
в G.
Оказывается, что имеет место сравнение 
, в частности, G содержит подгруппы любого порядка , s=1,2,…,n и 
.
Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами группы G на себе индуцирует действие G на множестве
всех -элементных подмножеств 
. Причём 
. Множество 
разбивается на G-орбиты 
, так что
,
где 
- стационарная подгруппа
некоторого представителя 
.
Так как 
, то 
-
объединение нескольких правых смежных классов G по 
. Поэтому 
, откуда 
. В случае 
имеем 
. Равенства 
и 
эквивалентны.
Получаем
(
- некоторый элемент из G) и, стало быть, 
- подгруппа порядка . Орбита 
исчерпывается
некоторым числом левых смежных классов 
группы G по 
.
Обратно: каждая подгруппа 
порядка 
приводит к орбите 
длины t. Различные подгруппы 
с 
приводят к различным орбитам 
, поскольку из 
следует 
, откуда 
и 
. Таким образом,
имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами порядка и орбитами длины t. Тогда сравнение записывается как
Где следовало бы написать 
, чтобы подчеркнуть зависимость от G.
Если взять за G циклическую группу
порядка 
,
то для неё 
и поэтому
Так как левые часть сравнений по одному и тому же модулю совпадают, то имеем
А это и даёт искомое сравнение
Получим полезное уточнение теорем Силова.
Теорема 4.
Справедливы следующие утверждения:
1).силовская p-подгруппа P группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда 
2).конечная группа G порядка 
является прямым
произведением своих силовских 
- подгрупп 
в точности тогда, когда
все эти подгруппы нормальны в G.
Доказательство.
1).Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р
порядка 
,
по второй теореме Силова сопряжены, и если P–одна из
них, то
нормальна в G
2).Если 
- прямое произведение своих
силовских подгрупп, то 
нормальна в G как любой прямой множитель. Значит условие нормальности
необходимо.
Пусть теперь нормальна в G, 
, т.е. 
. Заметим, что 
. Стало быть, 
, а отсюда для
любых 
имеем
Т.е. элементы 
и 
перестановочны.
Представим, что единичный элемент 
записан в виде 
, где 
- элемент порядка 
. Положив 
и
воспользовавшись перестановочностью 
получим
Но так как а и 
взаимно просты, то 
. Это верно
при любом j, и, стало быть, равенство 
возможно лишь при 
С другой стороны, каждый элемент 
порядка 
, 
записывается в виде 
, 
, .
Достаточно положить 
, где показатели определяются
условиями
теорема силов конечная группа
,
Если теперь 
- другая запись x в виде произведения -элементов, то в силу
перестановочности , 
с различными нижними индексами
будем иметь
,
что, как было показано выше, влечёт равенства
, т.е. 
.
Итак, каждый элемент группы G записывается,
и притом единственным образом в виде .
Замечание
Нормальная силовская p-подгруппа P группы G характеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого автоморфизма 
.
Действительно, 
, поэтому 
- силовская р-подгруппа, и, стало
быть, 
,
если .
Аналоги силовских подгрупп прослеживаются в алгебраических структурах, далёких
от конечных групп.
Следствие
Если все делители | G | , кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).
Примеры силовских подгрупп.
Пример 1.
Аддитивная группа кольца вычетов 
разлагается в прямое произведение
своих силовских p-подгрупп, которые являются
циклическими подгруппами порядков 
, если n имеет
каноническое разложение n=.
Пример 2.
Силовские p-подгруппы симметрических
групп. Как мы знаем, 
Каков максимальный показатель e(n), при котором 
делит n!? В последовательности 1,2,…,n кратными
p будут числа p,2p,…,kp, где 
, поэтому 
. Так как 
, то 
Удобно
разложить n по основанию p: 
, тогда 
Рассмотрим сначала группы 
, когда n степень
p. Пусть в 
уже найдена силовская p-подгруппа, т.е. подгруппа 
порядка 
. Построим по ней в 
подгруппу 
порядка 
. Для этого разобьём
переставляемые символы 1,2,…,
на последовательные отрезки длины
. Если 
и x – подстановка на символах i-го
отрезка, то легко сообразить, что 
- подстановка на символах (i+1)-го отрезка (сложение по модулю p). Отсюда видно, что подгруппа, порождённая подгруппами 
, является из
прямым произведением, и, стало быть, подгруппа , порожденная подгруппой и элементом с,
изоморфна сплетению 
. Подгруппа - искомая, так как 
.
Одновременно мы видим, что силовская p-подгруппа
в изоморфна
последовательному сплетению (…(
циклической группы 
с самой собою m раз.
Теперь пусть n произвольно. Разобьём
символы 1,...,n на 
одноэлементных, 
р-элементных и т.д.
отрезков. На каждом из этих отрезков рассмотрим симметрическую группу – она
будет некоторой степени , а в ней возьмём силовскую p-подгруппу, построенную как выше. Так как эти подгруппы
действуют на непересекающихся множествах, то их порождение 
является их прямым
произведением, а потому имеет порядок
Следовательно, - силовская p-подгруппа в . Из построения видно, что она
изоморфна прямому произведению нескольких последовательных сплетений типа (…(.
Пример 3
Рассмотрим общие линейные группы над конечными полями. Пусть p – простое число, m, n – целые числа 
и 
. Покажем, что 
- силовская p-подгруппа группы 
. Посчитаем порядки этих групп.
Какие n-ки над полем 
могут быть первой строкой
невырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме нулевой, т. е. 
штук. Если первая строка
выбрана, то в качестве второй строки можно взять любую, не пропорциональную
первой; таких строк
. Если две первые строки уже
выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно
от первых двух; это дает 
возможностей. И так далее. Значит,
.
Так как угловые элементы матриц пробегают независимо друг от
друга всё поле, а всего угловых мест 
, то 
. Из сравнения порядков мы видим,
что -
силовская p-подгруппа группы .
Нахождение силовской подгруппы.
Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
ГЛАВА 2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМ СИЛОВА
Задача 1.
Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой.
Решение
,
значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N5 должно делить 14 и сравнимо
с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна
силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть
простой.
Задача 2
Найти силовские р-подгруппы в группе всех матриц 
с определителем 1 над
полем из
р элементов.
Решение.
Пусть 
- группа с определителем 1 над полем из р
элементов. Из разложения
полной линейной группы 
в смежные классы по 
следует, что
(1)
Рассматривая как группу автоморфизмов
двумерного векторного пространства V над , легко найти
порядок 
.
Действительно, действует на множестве пар 
базисных
векторов. Образом 
может быть любой отличный от нуля
вектор 
(их
всего 
штук), а при всяком выборе 
образом 
может быть любой вектор 
из 
(таких векторов
имеется 
штук). Стало быть, 
, что в сочетании с (1) приводит к
формуле
По крайней мере две силовские р-подгруппы группы мы находим сразу:
, 
.
В соответствии с теоремой 3 имеем 
а так как
и, следовательно, нормализатор 
содержит подгруппу
порядка p(p-1), то остаётся единственная возможность
.
Между группой
и симметрической группой 
непосредственно устанавливается
изоморфизм
(обе группы имеют одинаковое задание образующими и соотношениями).
При p>2 группа 
имеет центр 
порядка 2. Фактор-
группа 
,
которую естественно называть проективной специальной группой(она является
группой преобразований проективной прямой 
) , играет важную роль в алгебре
со времён Галуа. Дело в том, что при p>3 группа
простая,
и это, наряду с 
,- один из самых ранних примеров
конечных простых групп.
Задача 3
Описать с помощью теоремы Силова все возможные типы групп порядка pq.
Решение
Пусть р, q — простые числа, р < q. Какой должна быть группа G порядка pq? Силовские р- и д-подгруппы из G, будучи подгруппами простого порядка, являются циклическими. Пусть (а), (b) — соответственно силовские р- и q-подгруппа. По теореме Силова число силовских q-подгрупп в G имеет вид 1+kq и делит pq, поэтому силовская q-подгруппа (b) единственна. В частности, она нормальна в G. Число силовских р-подгрупп имеет вид 1+кр и делит q, поэтому возможны два случая:
а) Силовская р-подгруппа (а) единственна. Тогда она нормальна и,
значит,
.
Так как 
, то 
. Таким
образом, в этом случае 
.
б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это возможно лишь при
условии 
. Пусть 
. Если r=1, то снова ,т. е. . Пусть 
. Индукцией по
х получаем 
, откуда 
для всех
целых х, у. При х=р, у=1 это дает 
, кроме того, получаем
формулу умножения 
.
Обратно, легко проверить, что если , , 
, то эта
формула умножения определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец, решения
сравнения
составляют циклическую группу порядка р, поэтому те из них, которые
, имеют вид 
, где r — одно из них. Все эти решения определяют одну и ту же
группу, так как замена порождающего а на 
приводит к замене r на 
.
Таким образом, с помощью теоремы Силова мы описали все возможные
типы групп порядка pq; их оказалось два — абелев и неабелев, причем второй
существует только при условии .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При изучении абелевых групп видно, что их строение во многом
определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп
максимальные р-подгруппы также играют существенную роль. В этом курсовой были
доказаны теоремы Силова о конечных группах: для каждой степени 
, делящей порядок
группы, существует подгруппа порядка , причем если 
делит порядок группы,
то всякая подгруппа порядка содержится в некоторой подгруппе
порядка ;
все максимальные р-подгруппы попарно сопряжены в группе, а их число сравнимо с
1 по модулю р. Эта теорема была доказана норвежским математиком Л. Силовом в
1872 году. В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы
конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами.
Из теоремы Силова вытекает, в частности, что силовские р-подгруппы
конечной группы — это в точности подгруппы порядка 
, где — максимальная степень р, делящая
порядок группы. Отметим, что если число m делит
порядок конечной группы G, но не является степенью простого числа, то в G может
и не быть подгрупп порядка m — например, в
знакопеременной группе А4 порядка 12 нет подгрупп порядка 6.
В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.
3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М.:Наука, 1982.