σ_1< σ₂

σ₂

σ₁

Левосторонняя асимметрия

Правосторонняя асимметрия

плосковершинное распределение

нормальное распределение

островершинное распределение

σ₂

Показатели

Надежность результата изменяется с ростом числа временных периодов и потребительских корзин.

6.4 Практика применения индексов в экономике

Пример1. Расчет паритета покупательной способности ППС (Kaufkraft-parität KKP, Parity of purchasing powerPPP) .

ППС показывает, сколько иностранной валюты должно быть израсходовано для покупки потребительской корзины, которую внутри страны приобретают на отечественную валюту (в расчете на единицу).

Таблица 6.4.

С точки зрения страны 2:

ППС = (Стоимость потребительской корзины страны 2 в стране 1)/

(Стоимость потребительской корзины страны 2 в стране 2)

Потребительская корзина по стране 2 стоит в стране 1 на 76% больше, чем в стране 2.

Пример 2. Расчет индекса DAX (Der Deutsche Aktienindex)

DAX строится на основе индекса Ласпейреса в форме среднего арифметического индекса. Расчет проходит ежеминутно по стоимости 30 акций ведущих фирм и компаний Германии. Критериями для включения в список являются:

- биржевой оборот за последние 12 месяцев,

- объем рыночной капитализации (рыночная стоимость акций),

- раннее появление данных о курсе,

- свободное размещение,

- доступность на рынке,

- переплетенность капитала с АО, акции которых участвуют в расчете DAX.

Например, в 1995 г. в состав DAX входили:

Формула индекса:

Fti - фактор веса,

pti - действительный курс акции i,

А = const = 29356.73

Фактор веса Fti =  eit – корректирующий коэффициент акций i,

Kit – cвязывающий коэффициент, устраняет скачки индекса при изменении списка акций в его составе,

git – количество акций i

Справочно: значения индекса DAX в разные годы

Пример 3. Анализ изменения стоимости акций.

Акции, обращающиеся на рынке, анализируются по таким направлениям, как:

1)  сравнение изменения индекса акций и индекса рынка или его отдельного сегмента, т.е. оценка спроса на данный вид акций;

2)  изменение цен на акции в разных сегментах рынка, т.е. какой сегмент является наиболее привлекательным для инвесторов в данный момент;

3)  изменение цен на акции в разных странах (регионах), т.е. опредение инвестиционной привлекательности страны (региона);

4)  изменение цен на акции отдельных компаний, групп компаний относительно друг друга.

Таблица 6.5.

Некоторые данные об акциях компаний A,B,C

1) Темп роста (снижения) средней цены акций по простой арифметической:

Средняя цена в базовом периоде:

Средняя цена в текущем периоде:

Темп роста равен:

Это означает, что средняя цена акции возросла на 12,57%.

2) Рассчитаем темп роста средневзвешенной цены акции (за вес возьмем количество обращающихся акций).

Т.е. средневзвешенная цена акции возросла на 4,44%.

3) Средний темп прироста цены акции:

 или 7,84% среднего темпа прироста.

Вывод: общая тенденция характеризуется однонаправлено (курс растет), но есть расхождения в величинах показателей.

ТЕМА 7. ОСНОВЫ СТАСТИКИ НАСЕЛЕНИЯ

Bevölkerungsstatistik Demographic statistics

7.1 Предмет и задачи статистики населения

Предмет данного раздела статистики – население, рассматриваемый фактор – труд.

Население (Bevölkerung, Population) – это совокупность людей, проживающих на определенной территории, непрерывно возобновляющаяся за счет рождения и смертей.

Объектом наблюдения статистики населения могут быть различные совокупности: и население в целом, и отдельные группы.

Источники статистики населения:

1)  перепись (единовременное наблюдение в сплошной или выборочной форме);

2)  микроперепись (охватывает 5% постоянного населения);

3)  текущий учет (ЗАГС, паспортные столы, паспортно-визовая служба МВД);

Задачи статистики населения:

1)  учет и анализ численности и размещения населения;

2)  учет и анализ состава и структуры населения;

3)  учет движения населения и его воспроизводства;

4)  изучение социальных характеристик населения;

5)  разработка и совершенствование методологии переписи и текущего учета населения.

7.2 Статистика численности и состава населения

1)  Показатели численности

Численность населения (Bevölkerungszahl, Size of population) – это количество лиц, проживающих на определенной территории страны или в отдельных ее регионах.

Учет осуществляется на определенную дату и время (критический момент наблюдения).

Различают следующие категории населения: постоянное (ПН), наличное (НН), временно проживающее (ВП) и временно отсутствующее (ВО) население.

Постоянное население (Wohnbevölkerung, Stable population) – это лица, постоянно проживающие на данной территории, независимо от их фактического местонахождения на момент учета.

Наличное население (Ortsanwesende Bevölkerung, Available population) - это лица, которые на момент учета фактически находятся в данном населенном пункте, независимо от их постоянного места жительства.

Временно проживающее население (Vorübergehend anwesende Bevölkerung, Temporary staying population)- это лица, которые на момент учета находятся на территории данного населенного пункта, но постоянно проживают в другом.

Временно отсутствующее население (Vorübergehend abwesende Bevölkerung, Temporary absentee population) – это лица, находящиеся в момент учета за пределами места жительства.

Пример. На начало 2001 г. наличное население г. Нижнего Новгорода составляло 1356,5 тыс. чел, постоянное население – 1351,7 тыс. чел.

При проведении переписи обычно учитывают наличное население с пометкой о временном проживании или временном отсутствии.

Все категории связаны между собой следующим образом:

ПН = НН – ВП + ВО

НН = ПН – ВО + ВП

Определение категории имеет большое значение для планирования экономики и социального развития (например, количество мест в школах определяют по постоянному населению, а объем товарооборота – по наличному населению).

В основе анализа численности населения лежит показатель среднегодовой численности, который рассчитывается по формуле средней арифметической:

где S1 и S2 – численность населения на начало периода 1,2

Пример. Среднегодовая численность наличного населения г. Нижнего Новгорода в 2000 г. составила 1361,7 тыс. чел.

Если имеются данные по ряду периодов, равноотстоящих друг от друга, то используется более точная формула средней хронологической.

Если интервалы не равны, имеем среднюю хронологическую взвешенную (пример см. в теме ряды динамики).

Наиболее часто применяются показатели абсолютного прироста (уменьшения) численности населения Sn – S1; коэффициента (темпа) роста Sn/S1; коэффициента (темпа) прироста населения Sn/S1 – 1; среднегодового темпа роста  ; плотности населения, численности городского и сельского населения; численности населения по отдельным регионам.

Пример: Плотность – это количество жителей на квадратный километр. В настоящее время плотность населения составляет в РФ 8,7 чел/км2 и в Нижегородской области 48 чел/км2. Для сравнения: плотность населения в ЕС равна 115 чел/км2, в США - 28,2 чел/км2, в Японии 331, 7 чел/км2.

2)  Показатели структуры населения

Показатели структуры (состава) населения – это возрастная структура населения, численность мужского и женского населения, национальный состав, группы населения по составу семьи, источникам средств к существованию и т.д..

Так, для анализа и оценки возрастно-половой структуры населения существуют так называемые возрастные пирамиды:

 возраст (год рождения,)  

 М Ж

численность, тыс. чел.

Рис. 7.1. Схема возрастной пирамиды

В данном случае пирамида отображает прогрессивную структуру населения. Стационарная и регрессивная структура имеет место тогда, когда пирамида принимает соответственно прямоугольную форму или форму перевернутого треугольника, т.е. когда население соответственно распределяется по возрастным группам равномерно или стареет.

Население склонно к округлению возраста на 0 и на 5. В результате в возрастных группах, оканчивающихся на 0 и на 5, образуются наросты – так называемая аккумуляция возрастов. Для избежания этого кроме возраста спрашивают еще и год рождения.

Показатели демографической нагрузки отражают нагрузку на общество непроизводительного населения. Рассчитываются такие показатели, как отношение общего числа детей, лиц пенсионного возраста и их общей совокупности к численности населения трудоспособного возраста.

 Пример. В РФ на 1000 лиц трудоспособного возраста в 1995 г. приходилось 430 детей и подростков 0-15 лет и 325 лиц старше трудоспособного возраста, всего – 755 чел.

Практическое применение эти показатели имеют при расчете затрат на пенсионное обеспечение, на содержание детей, на социальные мероприятия.

7.2 Статистика естественного движения и статистика миграции населения

Воспроизводство населения – это процесс постепенной смены населения через смену уходящих поколений.

Уровень воспроизводства характеризуется показателями естественного движения населения. При их изучении используют абсолютные (число родившихся, умерших) и относительные показатели (исчисление в расчете на 100, 1000, 10000… человек).

Коэффициенты рождаемости:

N – число родившихся.

Коэффициенты смертности:

M – число умерших.

Коэффициент естественного прироста населения:

Используют также специальные коэффициенты такие, как специальный коэффициент рождаемости:

SF - среднегодовая численность женщин, способных к деторождению (в фертильном возрасте – 15-49 лет).

Повозрастной коэффициент рождаемости:

N15-19 – число родившихся от матерей в возрасте 15-19 лет.

Повозрастной коэффициент смертности:

Отдельно вычисляют коэффициенты смертности детей до одного года:

N1 – число родившихся в этом году;

N0 – число родившихся в предыдущем году;

М0 – число умерших.

m0 – число умерших в текущем году из родившихся в предыдущем;

m1 - число умерших в текущем году из родившихся в этом же году.

Коэффициент жизненности:

На базе этих показателей применяют стандартизированные (нормированные) показатели. Они нормируются, например, по удельному весу отдельных групп в структуре населения I.

Коэффициент смертности:

 Обобщающие показатели воспроизводства населения – это показатели суммарной плодовитости, брутто-коэффициент воспроизводства и нетто-коэффициент воспроизводства.

Суммарная плодовитость – это количество детей, рожденных одной женщиной за весь фертильный период.

Fx – вероятность родить ребенка в возрасте x лет (15≤x≤49);

Кp – повозрастной коэффициент рождаемости.

Брутто-коэффициент воспроизводства показывает, сколько девочек в качестве смены оставляет каждая женщина.

δ – доля девочек среди родившихся.

Нетто-коэффицие воспроизводства (исчисляется только для женщин) показывает, сколько девочек доживает до возраста своей матери.

Lx – среднее число женщин в возрасте от x до x+1 года.

Маятниковая миграция – это перемещения с места жительства на работу и обратно.

Существует три показателя миграции:

1)  Коэффициент прибытия:

2)  Коэффициент убытия:

3)  коэффициент механического прироста

Общий коэффициент прироста населения – это сумма коэффициентов естественного прироста и механического прироста.

K = Kест.пр. + Kмех.пр.

Для более глубокого анализа и изучения особенностей демографических показателей в отдельных возрастных группах применяют табличный счет населения (например, таблицы смертности, плодовитости и т.д.).

Таблицы строят в полном и кратком варианте (полная таблица – с одногодичным интервалом, краткая – с интервалом в 5-10 лет).

Экономические таблицы могут содержать следующие данные:

1)  Возраст – X;

2)  Число доживших до возраста X – lx;

3)  Число умерших в возрасте от X до X+1 – dx;

4)  Вероятность умереть в течение следующего года – qx;

5)  Вероятность остаться в живых в следующем году – px;

6)  Средняя продолжительность предстоящей жизни населения - exº.

Рассмотрим некоторые взаимосвязи между этими величинами:

Тx – число предстоящих человеко-лет жизни.

W – предельный возраст;

Lx – число доживших до возраста Х лет.

7.4 Перспективные расчеты численности населения

Существуют следующие методы перспективного расчета:

1)  глобальный метод (на основе данных о численности населения в начальном периоде и коэффициентов механического и естественного прироста):

К – общий коэффициент прироста населения.

2)  метод передвижки возрастов:

Глобальный метод хорошо применяется для определения общей численности населения, но не применяется для определения численности отдельных возрастных групп. Для этого можно использовать метод передвижки возрастов (табличный счет).

ТЕМА 8. ИЗМЕРЕНИЕ УРОВНЯ КОНЦЕНТРАЦИИ

Konzentrationsmessung Measurement of concentration

8.1 Постановка проблемы

Измерение уровня концентрации – это одна из задач статистического анализа. Она заключается в определении степени концентрации изучаемого признака по единицам совокупности, а также в оценке неравномерности его распределения.

Подобные цели часто ставятся на практике. Например:

1)  в сфере социальной политики, при анализе уровня жизни населения (например, проблема неравномерного распределения доходов);

2)  в антимонопольной политике и политике развития конкуренции (выявление доминирующего положения на рынке и рыночной силы хозяйствующих субъектов);

3)  для стратегического планирования и анализа рынка отдельных фирм (например, оценка доли рынка по имущественному обороту, прибыли, числу занятых и т. д.).

Как можно заметить даже из приведенного выше списка, концентрация в экономическом смысле может касаться двух аспектов: во-первых, сосредоточения экономических признаков (рыночной власти, доли рынка и др.) у немногих единиц совокупности; во-вторых, существования значительных различий, неравенства в размере отдельных единиц совокупности. Соответственно различают абсолютную концентрацию и относительную концентрацию (Absolute und relative Konzentration, Absolute and relative Concentration).

Пример:

- 1,7 % населения обладают более чем 70 % имущества – относительная концентрация;

- на рынке определенного товара 3 наиболее крупных предприятия имеют совокупную долю 90 % - абсолютная концентрация.

 Различие абсолютной и относительной концентрации особенно заметно в случае строго равномерного распределения объема признака по единицам совокупности: относительная концентрация будет равна 0, а абсолютная концентрация будет тем больше, чем меньше число единиц совокупности.

8.2 Показатели концентрации

Для измерения относительной концентрации наиболее часто применяется кривая концентрации -кривая Лоренца (Lorenzkurve, Lorenz curve) и рассчитываемые на ее основе показатели.

Пример. Рынок снабжается пятью предприятиями. Три предприятия имеют по10 % рынка каждое, четвертое – 20 %, пятое – 50 %.

Для построения кривой Лоренца представим данные в виде накопленной частоты объема совокупности (число предприятий в %) и накопленной частоты объема признака (доля рынка в %). Данные представляются в ранжированном виде (или по возрастанию, или по убыванию).

Таблица 8.1.

Данные о снабжении рынка предприятиями

Прохождение кривой L сравнивают с прямой D, проходящей под углом 45%. Прямая D соответствует идеальному случаю равномерного распределения и называется прямой равномерного распределения.

 Накопленная доля рынка в %

100 A

80

60 D

40 L

20

 B

 0 20 40 60 80 100

Накопленная доля предприятий в %

Площадь, заключенная между прямой D и кривой L показывает степень концентрации. Чем больше площадь, тем больше концентрация.

Треугольник AOB соответствует случаю абсолютной монополизации.

В нашем примере визуально можно сделать вывод о существенной концентрации доли рынка у ведущих предприятий.

Если мы будем сравнивать площадь, заключенную между прямой D и кривой L и площадь треугольника АОВ, то получим коэффициент Джини (Gini-Koeffizient, Gini coefficient). Он используется для количественной оценки уровня концентрации:

dxi – доля i-ой группы в общем объеме совокупности;

dyi - доля i-ой группы в общем объеме признака;

dyiⁿ - накопленная доля i-ой группы в общем объеме признака.

Или в немецком варианте:

n – число единиц совокупности;

i – порядковый номер единицы совокупности.

Коэффициент Джини изменяется от 0 до 1:

0 ≤G≤1

При G=0, то признак распределен равномерно, кривая L совпадает с прямой D. При G=1 площадь, заключенную между прямой D и кривой L и площадь треугольника АОВ совпадают, т.е. имеется одна единица совокупности -абсолютная монополия – с долей рынка 100 %.

Пример расчета коэффициента Джини.

1) По немецкому варианту формулы и данным табл. 8.1.:

= 0,36

Значение коэффициента Джини подтверждает вывод о существенной концентрации признака "доля рынка".

2) По российскому варианту формулы и данным таблицы 8.2.:

Таблица 8.2.

Распределение доходов населения в _ месяце 199_ г.

Источник данных: (Шмойлова Р.А., 1996, с.365)

Рассчитаем коэффициент Джини:

При разделении совокупности на десять равных групп формула коэффициента Джини упрощается:

Таким образом, концентрация доходов населения (или дифференциация населения по уровню доходов) в нашем примере составила 21 %, что не является критической величиной.

Для измерения абсолютной концентрации применяют другие показатели концентрации: коэффициент концентрации, индекс Герфиндаля, индекс Розенблюта, экспоненциальный индекс, коэффициент энтропии и др..

Коэффициент концентрации CRg (Konzentrationsrate, Concentration ratio)- самый простой показатель концентрации:

pi – доля i-го значения признака;

g – число единиц совокупности с наибольшими значениями признака (g = 3, 4, 5, …).

По данным табл.8.1.:

т.е. рынок сильно монополизирован

Индекс Герфиндаля (Herfindahl-Index, Herfindahl index) имеет в основе формулу средней арифметической взвешенной, где весами выступают сами доли pi:

По данным таблицы 8.1.:

Подтверждается вывод о сильной монополизации рынка.

В разных странах критические значения коэффициента концентрации и индекса Герфиндаля разные. Так, в РФ они приняты следующими:

В ФРГ доминирующее положение предприятия или группы предприятий на рынке возникает, если

- на 1 предприятие приходится свыше 1/3 всего оборота на рынке, либо

- на 3 и менее предприятий – свыше ½ оборота, либо

- на 5 и менее предприятий – свыше 2/3 оборота.

В США безопасным с точки зрения монополизации считается рынок с HHI < 1000, при HHI > 1800 рынок считается слабоконкурентным, при 1000 ≤ HHI ≤ 1800 требуются дополнительные исследования. Максимально возможная концентрация долей крупнейших предприятий на рынке составляет:

Экспоненциальный индекс (Exponentialindex, Exponential index) основывается на средней геометрической взвешенной:

К особой группе показателей рыночной силы можно отнести индекс Линда (Linda-Index, Linda index) который связан с поиском границы олигополии:

Аi – общая доля i единиц совокупности с наибольшими значениями признака в объеме признака;

Аk – доля k изучаемых единиц совокупности в объеме признака. (примеры расчета индекса Линда и экспоненциального индекса)

8.3 Применение методов измерения уровня концентрации в экономике

Рассмотрим применение методов измерения уровня концентрации в экономике на примере анализа и оценки состояния конкурентной среды на нижегородском рынке наружной рекламы.[1]

Под продуктовыми границами рынка понимается часть товарной группы "Услуги в области рекламы" – "Услуги по распространению рекламы" (конкретно речь идет о распространении наружной рекламы).

Покупателями на рынке услуг в области рекламы всегда выступают рекламодатели. Продавцами услуг по распространению рекламы выступают рекламораспространители Нижегородской области и других крупных российских городов и регионов, а также других стран.

Географическими границами рынка услуг по распространению наружной рекламы является территория г. Нижнего Новгорода.

В 1997 г. 40 рекламных фирм предлагали услуги по распространению наружной рекламы, в 1998 г. - 52 фирмы. Ограничимся, однако, 8 фирмами, так как эти фирмы являлись наиболее крупными и объем предоставляемых ими услуг составил 90% от общего объема рынка.

Доли хозяйствующих субъектов на рынке услуг по распространению наружной рекламы в 1996-1997 гг. отражены в таблице 8.3.

Таблица 8.3.

Доли хозяйствующих субъектов на рынке услуг по распространению наружной рекламы

Подсчитаем уровень концентрации трех (CR3), четырех (CR4), шести (CR6) и восьми (CR8) крупнейших продавцов на рынке.

Индекс Герфиндаля за 1996 г. составил:

3х3 + 12х12 + 9,5х9,5 + 2х2 + 18х18 + 11,5х11,5 + 32х32 + 2х2 + 10х10 = 1831,5

За 1997 г. :

3,6х3,6 + 24,4х24,4 + 11,2х11,2 + 1,3х1,3 + 5,6х5,6 + 10,4х10,4 + 32х32 + 1,5х1,5 + 10х10 = 1988,26

В соответствии со значениями коэффициента концентрации и индекса Герфиндаля определяем тип рынка:

- в 1996 г. - умеренно концентрированный рынок, так как коэффициент концентрации трех крупнейших продавцов равен 62 %, т.е. 45 < CR3< 70. Индекс Герфиндаля равен 1831,5, т.е. 1000 < HHI < 2000;

- в 1997 г. тип рынка определен аналогично - умеренно концентрированный, так как коэффициент концентрации равен 68 %, т.е. 45< CR3< 70. Индекс Герфиндаля равен 1988,26, т.е. 1000 < HHI < 2000.

Итоговая оценка состояния конкурентной среды на товарном рынке "Услуги по распространению наружной рекламы" в г. Нижнем Новгороде представлена в таблице 8.4.

Таблица 8.4.

Сводная таблица оценки состояния конкурентной среды на рынке "Услуги по распространению наружной рекламы"

ТЕМА 9. Корреляционный и регрессионный анализ

 Korrelations- und Regressionsrechnung Correlation and regression analysis

9.1 Понятие корреляции и регрессии

Корреляция (Korrelation, Correlation)– это изучение взаимосвязей двух или более величин.

Регрессия (Regression) – это нахождение аналитического выражения взаимосвязи, т.е. определение конкретной формулы.

При изучении взаимосвязей одни признаки – факторные обусловливают изменение других – результативных. Факторные признаки обычно обозначаются Х, результативные Y.

Методы корреляции предназначены для изучения корреляционной зависимости, которую нужно отличать от функциональной зависимости. Функциональная зависимость означает полное соответствие между изменениями факторного и результативного признака, т.е. зная факторный признак, можно точно определить результативный. Корреляционная связь означает, что одному значению факторного признака соответствует неопределенное число результативных признаков, т.е. мы можем с помощью корреляционного анализа установить лишь тенденцию изменения результативного признака при изменении факторного.

Задачи, которые решают корреляционный и регрессионный анализы:

1)  предварительный анализ статистической совокупности;

2)  установление факта наличия связи, ее направления и формы;

3)  установление степени тесноты связи;

4)  построение регрессионной модели;

5)  интерпретация и практическое использование выводов и результатов.

9.2 Показатели корреляции

Показатели корреляции отражают тесноту корреляционной связи.

Корреляционную связь различают:

I.  По числу переменных:

1) 

2)  сложная (множественная):

II. 

1)  позитивная;

2)  негативная.

III.  По форме связи:

1)  линейная;

2)  нелинейная.

                         Y_i     экстремально  позитивная связь                  сильная позитивная связь

                                                                                X_i

                                       слабая позитивная связь                                     сильная негативная связь

                                           нет связи                                                  экстремально негативная связь

                                  нелинейная позитивная связь                                                      нелинейная связь

Рис. 9.1. Виды связей между двумя переменными

Основными показателями корреляции являются:

1)  коэффициент Фехнера;

2)  коэффициент ассоциации;

3)  коэффициент контингенции;

4)  критерий согласия - χ²;

5)  коэффициент корреляции рангов;

6)  коэффициент корреляции;

7)  коэффициент детерминации;

8)  корреляционное отношение.

Рассмотрим все эти показатели подробнее.

Коэффициент Фехнера (Fechner-Koeffizient, Fechner coefficient):

nс – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней;

nн - число несовпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней.

Пример (см. табл.9.1.):.

Вывод: существует слабо выраженная негативная связь между X и Y.

 Коэффициент Фехнера изменяется от -1 до +1.

 В общем случае, если показатели корреляции:

 0 ≤ П ≤ 0,3 , то существует слабая связь;

 0,3 ≤ П ≤ 0,7 – умеренная связь;

 0,7 ≤ П ≤ 1 – сильная связь.

Таблица 9.1.

Данные для расчета коэффициента Фехнера

По номинально измеряемым признакам можно рассчитать лишь коэффициенты ассоциации (Assoziationskoeffizient, Association coefficient) и контингенции (Kontingenzkoeffizient, Contingent coefficient) .

Таблица 9.2

Данные для расчета коэффициентов ассоциации и контингенции

Существует ли зависимость между двумя качественными признаками – полом и отношением к спорту?

1)  по коэффициенту ассоциации

Вывод: вряд ли существует такая зависимость, т.е. степень зависимости невелика.

2)  по коэффициенту контингенции:

Вывод: связь еще слабее.

Более точным по сравнению с рассматриваемыми коэффициентами является критерий согласия - χ² Пирсона (χ² Anpassungstest nach Pearson, Pearson χ²-test of goodness of fit), отражающий связь между двумя и более признаками.

О – реальные значения признаков;

Е – теоретически выровненные значения признаков.

Пример .По данным таблицы 9.3. нужно ответить на вопрос: зависит ли частота несчастных случаев от смены? Предварительная гипотеза: связь отсутствует.

Таблица 9.3

Данные о несчастных случаях по предприятию N

Вычислим критерий согласия - χ²:

Чем больше χ², тем больше вероятность того, что между О и Е есть существенные различия, т.е. наша гипотеза (связь отсутствует) неверна. Напротив, чем меньше χ², тем несущественнее, случайнее различия между О и Е, т.е. тем больше вероятность верности гипотезы.

По специальным таблицам находим критериальное значение χ² с вероятностью 95 % и числом степеней свободы 2 (равно числу строк таблицы-1, т.е. 3-1=2):

χ² = 5,99

Таким образом, в нашем примере χ² небольшой (4,8 < 5,99), различия между О и Е случайны, фактическое распределение несчастных случаев по сменам не отличается существенно от теоретически выровненного. Вывод: с 95 % вероятностью можно утверждать, что наша гипотеза верна.[2]

Для ординально измеряемых признаков применяется коэффициент корреляции рангов по Спирмену r (Spearmanscher Rangkorrelations-koeffizient, Spearman's rank correlation coefficient).

d – разность порядковых номеров (рангов) факторного и результативного признаков;

n – число наблюдений.

Пример: (см. табл. 9.4):

Вывод: существует сильная положительная зависимость между стажем и производительностью

Таблица 9.4

Стаж и производительность труда по 5 работникам предприятия N

Наиболее точным показателем корреляции является коэффициент корреляции (Korrelationskoeffizient, Coefficient of correlation ). Он позволяет учесть не только знаки отклонений значений признака от их средних, но и саму величину отклонений. Его можно рассчитать в два шага:

1)  расчет показателя ковариации (kovarianz, covariance)

Однако полученные абсолютные величины нельзя сравнивать между собой, т.к. сами признаки X и Y могут быть выражены в разных единицах измерения или средние `Х и`Y могут быть различны по величине. Поэтому отклонения значений признаков от средних нормируют по среднему квадратическому отклонению, т.е. выражают в долях от sx и sy .

2)  расчет коэффициент корреляции

На практике применяют другую формулу:

По данным табл. 9.4 рассчитаем коэффициент корреляции:

Вывод: между стажем и производительностью труда существует сильная положительная связь.

Коэффициент детерминации (Bestimmtheitskoeffizient, coefficient of determination):

Он имеет очень простой смысл: какая часть колебаний результативного признака вызвана факторным признаком. В нашем примере 72.25% изменений в производительности труда вызван влиянием стажа работника.

Все эти коэффициенты применяются без ограничений при прямолинейной зависимости. При криволинейной зависимости (параболической) они не годятся. Здесь применяются показатель, называемый корреляционным отношением h (Korrelationsverhältnis, Correlation ratio).

δ² - межгрупповая дисперсия;

σобщ² - общая дисперсия совокупности.

Учитывая правило сложения дисперсии, можно написать видоизмененную формулу корреляционного отношения

 - средняя из групповых дисперсий.

Различают эмпирическое (фактическое) корреляционное отношение и теоретическое корреляционное отношение. В последнем для расчета δ² берут выровненные (т.е. рассчитанные по уравнению регрессии) значения результативного признака y. Теоретическое корреляционное отношение еще называют индексом корреляции.

В целом корреляционное отношение является универсальным показателем корреляции и используется при прямо- и криволинейной зависимости. При строго прямолинейной зависимости коэффициент корреляции и корреляционное отношение совпадают, но чем больше кривизна, тем сильнее они отличаются друг от друга.

Для этого коэффициента существует аналогичный предыдущему коэффициент детерминации - η².

Для проверки значимости показателей корреляции рассчитывают их ошибки. Средние квадратические ошибки показателей корреляции имеют вид:

При количестве наблюдений менее 30 в знаменателе под корнем лучше брать n-1.

Показатель корреляции должен в 2-3 раза превосходить ошибку, чтобы с вероятностью 0,95 (0,997) говорить о связи между явлениями.

9.3 Регрессия

Регрессия (Regression)– это определение формы взаимосвязи 2-х или более признаков (определение тенденции развития явления).

Этапы регрессионного анализа:

1)  определение функций, которыми характеризуется наша зависимость (прямая, парабола, гипербола и т.д.);

2)  определение параметров (коэффициентов) выбранной функции

                     Y

                                                                                                            aX+b

              Y_i                                                  (X_i;Y_i)

                                   Y_i=(aX_i+b)

Коэффициенты

                                                              aX_i+b

                       b

                                                        X_i                                                       X

Рис. 9.2. Графическое изображение метода наименьших квадратов

Используют метод наименьших квадратов:

Его сущность заключается в нахождении таких параметров (коэффициентов) уравнения регрессии, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических (выровненных) значений.

Формулы для расчета коэффициентов в случае линейной зависимости:

В нашем примере (см. данные табл. 9.4):

b = 6 – 1,7*3 = 0,9

3)  определение функции регрессии:

4)                  

5)               Y

6) 

7) 

8)  10

9)  9

10)  8                                         Ŷ=1.7X+0.9

11)  7

12)  6

13)  5

14)  4

15)  3                       a=tg α

16) 2                      

17)  1

18)            0     1     2     3     4     5                                 X

19) 

20)  найдя уравнение регрессии можно продолжить зависимость за известные пределы или найти дополнительные показатели внутри их, т.е. экстраполировать или интерполировать значения .

При этом нужно учитывать среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии.

Последняя формула более точна и удобна.

 .ТЕМА 10. РЯДЫ ДИНАМИКИ

Zeitreiheanalyse The analysis of time series

10.1 Понятие рядов динамики

Ряд динамики (или временной, или хронологический ряд) – это ряд чисел, характеризующих развитие явления во времени. Ряд динамики следует отличать от ряда распределения.

В общем виде ряд динамики обозначается, как

У каждого ряда динамики имеются два элемента: уровень ряда y и момент (период) времени t. Уровень ряда – это показатель, характеризующие объект исследования.

Различают два вида рядов динамики:

1)  моментный ряд дает сведения о развитии явления на какие-то последовательные моменты времени (например, численность населения на 1.01.2000);

2)  интервальный ряд дает сведения о развитии явления за определенные периоды времени (например, выпуск продукции предприятия за квартал).

В уровнях моментного ряда содержится повторный счет, следовательно, их не имеет смысла суммировать (можно найти только изменение - разность). По интервальным рядам можно определять суммы и нарастающим итогом – конечный показатель.

Компоненты ряда динамики:

1)  тренд (Trend, trend) – это основная тенденция развития явления (в долгосрочном плане) – T(t);

2)  циклическая (конъюнктурная) компонента (zyklische Komponente, cyclical component) показывает влияние конъюнктурных колебаний (периодически повторяющихся в среднесрочном плане) – Z(t);

3)  сезонная компонента (die Saisonkomponente, season component )отражает влияние сезонных или краткосрочных колебаний – S(t);

4)  остаточная компонента (die Restkomponente, rest component)отражает влияние прочих факторов, объяснимых и нет – R(t).

                                                                Z(t)                    S(t)    

                                        T(t)

Рис. 10.1. Компоненты ряда динамики

Между компонентами ряда динамики существует связь. Она бывает двух видов: 1) аддитивная (Additive Verbundenheit,  a additive relationship)

                                   d₂

                   d₁

2) мультипликативная (Multiplikative Verbundenheit, a multiplicative relationship)

                                                                  d₃

                            d₂        

                         d₁

или

На практике совмещают трендо трендовые и конъюнктурные колебания, обозначая их как Т, а остаточную компоненту прибавляют к сезонной. Тогда получается

для аддитивной и мультипликативной связи соответственно.

Анализ рядов динамики предполагает решение следующих задач:

1)  определение среднего уровня ряда;

2)  определение темпов роста и прироста;

3)  определение тренда;

4)  определение сезонной компоненты;

5)  преобразование рядов: сглаживание, выравнивание, интерполяция, экстраполяция, приведение рядов к одному основанию, смыкание рядов.

10.2 Показатели ряда динамики

Каждый ряд характеризуется начальным уровнем, конечным уровнем и промежуточными уровнями. Важным показателем является средний уровень ряда.

Для интервального ряда средний уровень рассчитывается по среднеарифметической простой и взвешенной (если интервалы в рядах, соответственно, равноотстоящие и неравноотстоящие):

где n – число уровней

ti – длительность интервала времени между уровнями

Примеры.

1) Предприятие выпускает продукцию по кварталам года

 I кв. – 300 тыс.,

 II кв.– 250 тыс.,

 III кв.– 100 тыс.,

 IV кв.– 500 тыс.

Т.к. ряд интервальный с равноотстоящими интервалами, применим среднюю арифметическую простую:

2) Предприятие выпустило продукции за первые 3 месяца года на 300 тыс., за последующие 2 месяца – на 250 тыс., за 1 месяц – на 100 тыс. и за оставшиеся 6 месяцев – на 500 тыс. Т.к. это интервальный ряд с неравноотстоящими интервалами, применяем среднюю арифметическую взвешенную:

Для моментного ряда c равноотстоящими интервалами средний уровень исчисляется по формуле средней хронологической простой, которая имеет следующий вид:

Пример. Остатки оборотных средств предприятия составили

на 1.01 – 110 тыс.,

на 1.02 – 120 тыс.,

на 1.03 – 130 тыс.,

на 1.04 – 140 тыс.,

на 1.07 – 170 тыс.

Определим средние остатки оборотных средств за I квартал:

В случае если интервалы неравноотстоящие, применяют формулу средней хронологической взвешенной:

В нашем примере средние остатки оборотных средств за полугодие:

Эту задачу можно решить и другим способом (в несколько действий) – используя среднеарифметическую простую:

10.3 Темпы роста и прироста

Темп роста (Wachstumsfaktor, Growth factor) отвечает на вопрос, во сколько раз изменилось явление и получается делением последующего уровня ряда на предыдущий.

Темп прироста (Wachstumsrate, Growth rate) отвечает на вопрос, на сколько увеличилось явление и получается делением абсолютного прироста на предыдущий уровень.

Среднегодовой темп роста находится по средней геометрической:

Пример. Фирма произвела услуг в 1 году – на 100 у.е., во 2 году – на 120 у.е.,

в 3 году – на 132 у.е. и в 4 году – на 200 у.е.

Среднегодовой темп прироста нельзя находить как среднее из годовых темпов прироста. Для этого существует формула:

Т.е. среднегодовой темп прироста составил 0,26 или 26 %.

10.4 Правила составления рядов динамики

Анализ рядов динамики дает правильные результаты при условии правильного составления ряда. Для этого существуют следующие правила:

1)  Все уровни динамического ряда должны быть сопоставимыми во времени. Например, численность населения обычно указывается на начало года.

2)  Все уровни динамического ряда должны быть сопоставимыми в пространстве, т.е. относиться к одной и той же территории.

Исключение допускается только в случае, когда территориальные изменения рассматриваются как самостоятельный показатель динамики (например, в 1993 г. в состав Нижегородской области вошел Сокольский район

Ивановской области).

3)  Все уровни динамического ряда должны быть сопоставимыми по методологии расчета.

Если способы расчета меняются с течением времени, то нужно сделать пересчет. Например, для составления динамического ряда произведенного в Нижегородской области ВВП данные по производству совокупного общественного продукта (СОП), рассчитывавшегося до начала 90-х годов, пересчитываются в ВВП.

10.5 Преобразование рядов динамики

При анализе рядов динамики приходится делать некоторые преобразования, которые улучшают условия анализа.

I.  Сглаживание и выравнивание ряда (die Glättung, smoothing)

Это делается для погашения случайной колеблемости уровней ряда. Иными словами сглаживание и выравнивание выявляют основное направление развития явления (тренд).

Существуют следующие методы сглаживания и выравнивания:

1)  выявление тренда визуальным методом (на графике)

Этот метод наиболее прост и наименее точен.

2)  механическое выравнивание

Оно заключается в укрупнении интервалов путем расчета средних уровней не за один период, а за несколько. Например, этот прием часто используют при обработке динамических рядов урожайности сельскохозяйственных культур, рассчитывая среднюю урожайность не за 1 год, а за 5 лет.

3)  метод скользящей средней

Этот метод применяется следующим образом (см. данные табл. 10.1).

Скользящая средняя заменяет несколько уровней одним значением. В первую очередь выбирается интервал сглаживания (в нашем примере – 3 мес.). Чем он больше, тем сглаживание сильнее

Далее подсчитывают значения средней:

и т.д.

Таблица 10.1

Сведения о продажах продукции по месяцам на предприятии N

Недостаток этого метода в том, что теряются уровни в начале и в конце ряда, а при криволинейном развитии явления скользящая средняя смещает уровни ряда. Для избежания этого применяют более сложный расчет скользящей средней взвешенной.

4)  аналитическое выравнивание. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной функции (кривой).

В нашем случае это линейная зависимость (уравнение прямой), хотя выравнивание может осуществляться и с помощью гиперболы, параболы, показательной, экспоненциальной и др. функций:

Коэффициенты a и b находятся по методу наименьших квадратов. Расчет можно значительно упростить, если изменить нумерацию уровней ряда (так, чтобы Σ ti = 0 и при четном, и при нечетном числе уровней) – см. верхние строки табл. 10.1.

Пример (см. табл. 10.1).

Теперь подсчитываем выровненные значения y:

и т.д.

Далее можно вычислить разницу между трендовыми значениями и первоначальными уровнями ряда. Это даст нам возможность оценить и, если нужно, устранить влияние сезонной компоненты.

II.  Приведение ряда динамики к одному основанию

Используется в случае, если необходимо сравнение или сопоставление тенденций в нескольких рядах.

Примеры.

1)  Начальные уровни рядов динамики находятся в различных периодах (табл. 10.2). По какому предприятию темп роста выпуска продукции выше?

Таблица 10.2

Выпуск продукции по двум предприятиям (в %)

1΄ - это 1-й ряд, приведенный к другому основанию (к 1987 г.) по пропорции:

Тр1987 = 100 % Тр1988 =  = 104 % и т.д.

Таким образом, в сопоставимом виде у предприятия 2 темп роста выпуска продукции выше, чем у предприятия 1.

2)  уровни ряда динамики выражены абсолютными величинами и начальные уровни имеют различные размеры (табл. 10.3). По какому предприятию темп роста выпуска продукции выше?

Таблица 10.3

Выпуск продукции по двум предприятиям (в тыс. руб.).

При сравнении динамики выпуска продукции двух предприятий после перевода абсолютных значений в относительные можно сделать вывод о более высоких темпах роста на первом предприятии.

3) Ряды динамики можно приводить к одному основанию не по одному показателю, а по нескольким показателям.

Так, например, на предприятии имеются данные о средней производительности труда и заработной плате (табл. 10.4.). Как соотносятся между собой темпы роста этих двух показателей ?

Таблица 10.4.

Средняя производительность труда и заработная плата по предприятию

После перевода показателей в относительный вид можно сказать, что темп роста производительности труда за рассматриваемый период опережал темп роста заработной платы. Следовательно, предприятие развивалось устойчиво, его конкурентоспособность возрастала.

III.  Смыкание рядов динамики

Метод применяется, если необходимо совместить два динамических ряда, характеризующих одно явление.

Пример.

Таблица 10.5

Данные о продажах предприятия

Иногда рассчитывают коэффициент до и после реорганизации:

IV.  Интерполяция и экстраполяция

Интерполяция – это нахождение уровней внутри динамического ряда.

Экстраполяция - это нахождение уровней за пределами динамического ряда.

Неизвестные уровни находятся с помощью всех перечисленных выше методов.

10.6 Определение и устранение влияния сезонных колебаний

Для определения сезонных колебаний существует два способа:

I.  Если мы исходим из того, что тренд не определен или неизвестен.

В таком случае цель состоит в нахождении ряда динамики, очищенного от сезонных колебаний, прохождение которого похоже на тренд (показывает такую же, как тренд, тенденцию развития).

Пример.

Таблица 10.5

Оборот предприятия за три года

Руководство предприятия хотело бы знать, насколько велико влияние сезонных условий на оборот (такая постановка вопроса типична для некоторых отраслей, например, для сельского хозяйства).

1)  Определим среднемесячный оборот по годам

1 год – 252/12=21

2 год – 276/12=23

3 год – 288/12=24

2)  Рассчитаем относительные показатели (sij)

Относительный показатель = (Реальный месячный оборот)/

(Средний оборот за месяц)

Результат (95,2%) показывает, что оборот в этот период был на 4,8% ниже среднемесячного уровня.

Январь 2-го года:

3) Рассчитанные величины для одноименных месяцев складываются, и вычисляется их средняя, которая называется сезонным индексом или индексом сезонности (si)

Это означает, что за три года оборот предприятия в январе-месяце подвержен влиянию сезонных колебаний на 8,7% ниже нормального годового значения.

Все двенадцать индексов сезонности образуют так называемую сезонную волну (1200,0), которая тем сильнее, чем больше отклонения в каждом месяце от нормального значения (100%).

4) Исключаем влияние сезонной компоненты (Si)

Чтобы получить значения ряда, очищенные от сезонных колебаний (выровненные значения), нужно от каждого уровня ряда отнять сезонную компоненту.

Январь 1-го года:

Это означает, что если бы в этот период не было бы сезонных колебаний, то оборот составил бы 21,9 тыс. у.е.

II.  Если нам известен тренд ряда

1-й шаг. Расчет тренда любым способом

2-й шаг. Определение вида связи компонент ряда и расчет сезонных значений в виде разницы или частного.

3-й шаг. Определение сезонной компоненты, как среднеарифметическую из сезонных значений.

4-й шаг. Исключение влияния сезонной компоненты.

ТЕМА 11. Выборка

Stichprobenverfahren Sampling

11.1 Понятие выборки

Выборка (Stichprobe, sample) – это один из видов несплошного наблюдения, когда о целом судят по части. В качестве теоретических основ выборочного наблюдения используется теория вероятностей и математическая статистика, в особенности теоремы Бернулли, Пуассона, Чебышева, Ляпунова, закон больших чисел.

Для того, чтобы выборка давала хорошие результаты, необходим случайный отбора, т.е. избежание преднамеренности (в прикладных науках, например, в маркетинговых исследованиях, бывают исключения).

Условия проведения выборки:

1)  требуемая точность устанавливается самостоятельно;

2)  выборка должна давать значительное сокращение расходов по сравнению со сплошным наблюдением.

Причины проведения выборки:

1)  невозможность сплошного наблюдения;

2)  повышенная трудоемкость сплошного наблюдения;

3)  необходимость проверки результатов сплошного наблюдения.

Условные обозначения, используемые в этой теме:

N – объем генеральной совокупности;

n – объем выборки;

 - генеральная средняя;

 - средняя выборки;

w – выборочная доля;

p – генеральная доля;

σ² - генеральная дисперсия;

s² - выборочная дисперсия.

11.2 Способы отбора

Существует несколько способов, обеспечивающих случайность и исключающих преднамеренность отбора:

1)  собственно случайный отбор (Zufallsstichprobe, random sample) - это отбор по жребию, по таблице случайных чисел.

Случайный отбор бывает повторным (отобранная единица совокупности может снова попасть в выборку) и бесповторным (отобранная единица совокупности вновь в выборку не возвращается). Пример повторного отбора – измерение плотности пассажиропотока на определенном городском маршруте. Пример бесповторного отбора – лотерея "Спортлото".

Бесповторный отбор более точен, но и более сложен.

2) механический отбор (Mechanische Auswahl, mechanical sample) - отбор из списков.

На всю генеральную совокупность составляется общий список и далее из него через равный интервал отбирают нужное количество единиц.

Размер интервала равен 1/долю выборки. Так, при 2 %-ной выборке интервал будет равен 1/0,02 = 50 ед.

Общий список составляется двумя способами: единицы совокупности располагаются в случайном порядке или в определенном порядке, имеющем прямое или косвенное отношение к цели исследования. При первом варианте отбор можно начинать с любой единицы, при втором – с середины первого интервала. Примеры: табельные номера работников предприятия (первый вариант), алфавитный список студентов потока (второй вариант)

3) типический отбор (geschichtete Auswahl, stratified sample)

При этом способе генеральная совокупность разбивается на типические группы, которые должны как можно сильнее отличаться друг от друга и быть однородными внутри. Тогда типический отбор дает хорошие результаты. Затем из каждой типической группы первыми двумя способами отбирают единицы в выборочную совокупность.

Пример. Обследуются предприятия различных форм собственности. Формы собственности представляют различные типические группы.

4) серийный отбор (Klumpenauswahl, cluster sample)

Генеральная совокупность разбивается на серии. В отличие от типических групп, серии должны как можно менее отличаться друг от друга и быть разнородными внутри. Обследуется часть серий, зато внутри серии – как правило, все единицы. Отбор из серий в выборку также осуществляется первыми двумя способами.

Пример. Обследование одного ящика пива из партии.

11.3 Ошибки выборки

При проведении любого наблюдения случаются ошибки. Выборка характеризуется прежде всего ошибками представительства или репрезентативности, суть которых заключается в отклонениях выборочных значений от генеральных:

где Δ – предельная ошибка выборки (absolute Stichprobenfehler, absolute sampling error)

Для каждого способа отбора существуют свои формулы ошибок.

1)  Случайный отбор

- повторный случайный отбор:

где μ средняя (стандартная) ошибка выборки;

 t – кратность средней ошибки выборки;

 n – объем выборки.

 Кратность средней ошибки выборки связывает наши расчеты с определенной вероятностью p, что расчет ошибки правильный:

при p=0,997 t=3,

при p=0,954 t=2,

при p=0,683 t=1 и т.д. (см. таблицу нормального распределения).

Данная формула верна лишь для случая нормального распределения. В случаях отклонений от нормального распределения пользуются таблицей распределения Стьюдента. Например, при n<30 - случай малой выборки – в знаменателе будет n-1, а t будет определяться по таблице распределения Стьюдента, у которой 2 входа: вероятность p и число степеней свободы k:

При p=0,95 t=12,71 (k=1),

При p=0,95 t= 4,3 (k=2),

При p=0,95 t= 3,18 (k=3),

При p=0,95 t= 2,79 (k=4),

При p=0,95 t= 1,96 (k = ¥) и т.д. (см. таблицу распределения Стьюдента)

Пример. Из стада в 10 тыс. коров обследовано 100 коров. Половина из обследованных признана породистой. Определить долю породистых коров во все стаде.

Доля породистых коров во всем стаде p = w ± D.= 0,5 ± 0,098

w = 0,5

При t = 1,96 (вероятность 95 %) D = 1,96  = 0,098.

Т.е. с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всем стаде породистых коров 50 ± 9,8 %.

- бесповторный случайный отбор:

2)  Механический отбор

Используются те же формулы, хотя фактически ошибки при данном виде отбора составляют меньшую величину. Следствие отрицательное – ошибки завышаются, следствие положительное – повышается уверенность в надежности результата.

3)  Типический отбор

Вместо общей дисперсии (σ²) используется средняя из внутригрупповых дисперсий :

- повторный типический отбор:

- бесповторный типический отбор:

4)  Серийный отбор

Здесь вместо общей дисперсии используется межгрупповая дисперсия δ²:

- повторный серийный отбор

- бесповторный серийный отбор

где s – число отобранных серий,

S – общее число серий в генеральной совокупности.

В случае, если внутри серий обследуются не все единицы, формулы усложняются:

- повторный серийный отбор

- бесповторный серийный отбор

где m – число отобранных в сериях единиц

После нахождения величины ошибки определяются доверительные интервалы:

11.4 Необходимая численность выборки

1)  Случайный отбор

- повторный отбор

На практике при определении численности выборки встает вопрос о нахождении генеральной дисперсии. Существуют следующие способы:

а) если ранее уже проводилось обследование данной совокупности, то дисперсия берется из архива;

б) проводится пробное обследование, чтобы по его результатам ориентировочно определить выборочную дисперсию;

в) самый дешевый и распространенный способ – взять максимально возможную дисперсию - σ² = max из предполагаемых. Для этого используют размах вариации R. По правилу шести s он приблизительно равен 6s: R » 6s. Тогда s » R/6, а

Если речь идет о доле, то w(1-w) = 0,5 (1-0,5) = 0,25.

- бесповторный отбор

Пример. Определить численность выборки, если

D2 = 0,01

N = 100

s2 = 1

t = 2

Тогда n =  Þ лучше провести сплошное обследование, а не выборочное.

2)  Механический отбор

Используются те же формулы.

3)  Типический отбор

В формулах вместо выборочной дисперсии (σ²) используется средняя из внутригрупповых дисперсий :

статистический наблюдение индекс население

- повторный отбор:

- бесповторный отбор:

4)  Серийный отбор

В формулах вместо выборочной дисперсии σ² используется межгрупповая δ²:

- повторный отбор:

- бесповторный отбор:

11.5 Практика применения выборки

Основные направления применения выборочного метода на практике:

1)  маркетинговые исследования;

2)  изучение общественного мнения;

3)  обследование уровня цен и объемов продаж в регионах;

4)  оценка качества продукции;

5)  статистический контроль производства;

6)  обработка материалов переписи населения и переписей вообще.

[1] По материалам Доклада Нижегородского территориального управления Министерства РФ по антимонопольной политике и поддержке предпринимательства "Состояние конкуренции на товарных рынках Нижегородской области в 1998 г."

[2] Более подробно о χ²-тесте и других тестах – см. раздел статистическая проверка гипотез