Контрольная работа: Обусловленность матрицы

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный технический университет

Бердский филиал

Расчетно-графическая работа

по курсу: «Вычислительная математика»

Выполнила:

Студентка II курса

Булгакова Н.

Группы ВТБ-81

Проверил:

Преподаватель

Голубева Елена Николаевна

г. 362964Бердск,

2010

Задание 1 Обусловленность матрицы

Задание: Дана система  уравнений ax=b порядка n. Исследовать зависимость погрешности решения x от погрешностей правой части системы b.

погрешность уравнение координата интерполяция дифференциальный

1.  Задать матрицу системы A и вектор правой части b, найти решение x системы Ax=b с помощью метода Гаусса.

2.  Принимая решение x, полученное в п.1, за точное,  вычислить вектор

относительных погрешностей решений  систем ,где компоненты векторов  вычисляются по формулам:

(-произвольная величина погрешности).

3.  На основе вычисленного вектора d  построить гистограмму. По гистограмме определить компоненту  , вектора b, которая оказывает наибольшее влияние на погрешность решения.

4.  Вычислить число обусловленности cond(A) матрицы A.

5.  Оценить теоретически погрешность решения  по формуле:

Сравнить значение  со значением практической погрешности  Объяснить полученные результаты.

Решение

1.  Задаём матрицу А.

Для заполнения используем код программы zapolnenie.cpp (см. приложение)

#include <iostream.h>

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <windows.h>

#include <dos.h>

main()

{

         double matr[100][100];

         for (int i=1;i<7;i++)

{

            for (int j=1;j<7;j++)

            matr[i][j]= 1000/(3*(pow(0.1*21*i*j,2))+pow(0.1*21*i*j,3));

}

         for ( int j=1;j<7;j++)

{

                            for ( int i=1;i<7;i++)

printf("%10.4f",matr[j][i]);

printf("\n");

}

   getchar();

}

Результат работы zapolnenie:

Найдем решение полученной матрицы используя программу gauss.cpp (см приложение)

Исходный  код   gauss.cpp:

#include <iostream.h>

#include <stdio.h>

#include <windows.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>

const int sz=6;

double A[sz][sz]={

            {44.4622,    7.8735,    2.7092,    1.2432,    0.6719,     0.4038},

             {7.8735,    1.2432,    0.4038,    0.1789,    0.0945,     0.0558},

             {2.7092,    0.4038,    0.1278,    0.0558,    0.0292,     0.0172},

             {1.2432,    0.1789,    0.0558,    0.0242,    0.0126,     0.0074},

             {0.6719,    0.0945,    0.0292,    0.0126,    0.0065,     0.0038},

             {0.4038,    0.0558,    0.0172,    0.0074,    0.0038,     0.0022}

                               }    ;

double  F[sz]={21.00,21.00,21.00,21.00,21.00,21.00} ;

double  X[sz];

double  b[sz+1],par;

//   функция вывода матрицы на экран

void Viv(double A[sz][sz])

{

int i,j;

for( i=0;i<sz; i++)

{

         for( j=0;j<sz; j++)

   printf(" %.4f  ",A[i][j]); //вывод на экрам исходной матрицы с заданным количеством знаков после запятой (5f)

   printf(" %.4f  ",F[i]);

   cout<<endl;

}

 system("pause");

}

///////////////  функция решения методом Гаусса 

void Resh(double A[sz][sz],double F[sz],double X[sz])

{

int i,j,k;

 for (k=0;k<sz;k++)

         {

                   // проверяем первый элемент

                            if (A[k][k]==0) //проверка на неноль

                                      {

                                      for (i=k;A[i][k]==0;i++);      // находим ненулевой 1й элемент

                                      for(j=k;j<sz;j++)               // меняем строки  в матрице

                                               {

                                               par=A[k][j];    //смена строк в матрице

                                               A[k][j]=A[i][j]; //путем записи в par и извлечения из него

                     A[i][j]=par;

                                               }

                par=F[k]; // смена строк  в ответе

                F[k]=F[i];

                F[i]=par;

                            }

                   // получаем 1й элемент единицу   (делим всю первую строку на a1,1  )

                            par=A[k][k]; //пишем в par первый элемент

                            for(int i=k;i<sz;i++)

         A[k][i]=A[k][i]/par;

         F[k]=F[k]/par;      // делим ответ на 1й

      // нулевой столбец

                            for(int j=k+1;j<sz;j++)

                                      {

                                               for(int i=k;i<sz;i++)

               b[i]=A[k][i]*A[j][k];

               b[sz]= F[k]*A[j][k];

                   for(int i=k;i<sz;i++)

               A[j][i]-=b[i];

               F[j]-=b[sz];

                                      }

         }

 for(i=sz-1;i>=0;i--) //обратка

         {

                   par=0;

                   for     (j=0;j<sz-1-i;j++)

      par+=A[i][sz-j-1]*X[sz-1-j];

                   X[i]=F[i]-par;

         }

}

//функция - точка входа в программу

void main()

{

  Viv(A);              // выводим матрицу

  Resh(A,F,X);   // решаем матрицу A методом Гаусса

  for(int i=0;i<sz;i++)  printf("\nX[%d]= %.5f \n\r",i,X[i]);   // вывод результата

 system("pause");

}

Результат работы gauss:

====================================================

точное

====================================================

44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

X[0]= 872.15582

X[1]= -16329.24792

X[2]= 10011.59140

X[3]= 111650.80126

X[4]= -26697.87796

X[5]= -144076.29603

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

2.  Вычисляем вектор  d.

Величина погрешности, вносимой в правую часть системы –  1%.

Сформируем векторы b (по заданному закону)

Для каждого из них найдем решение матрицы, используя gauss

С погрешностью в …. компоненте

======================================================

в первой

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   20.7900

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

X[0]= 872.07580

X[1]= -16327.25169

X[2]= 10005.24500

X[3]= 111652.84781

X[4]= -26679.82743

X[5]= -144100.68447

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

во второй

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   20.7900

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

X[0]= 874.15205

X[1]= -16398.19981

X[2]= 10378.69292

X[3]= 111250.49388

X[4]= -27254.14851

X[5]= -143256.57148

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в третьей

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   20.7900

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

X[0]= 865.80942

X[1]= -15962.14640

X[2]= 7652.50187

X[3]= 114149.98680

X[4]= -23271.06118

X[5]= -148104.07985

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в четвёртой

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   20.7900

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

X[0]= 874.20237

X[1]= -16729.55530

X[2]= 12510.77695

X[3]= 111600.37766

X[4]= -35532.05319

X[5]= -138409.12992

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в пятой

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   20.7900

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

X[0]= 890.20635

X[1]= -16885.51847

X[2]= 13438.40819

X[3]= 102816.62603

X[4]= -16375.93145

X[5]= -148185.68530

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в шестой

=====================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   20.7900

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

X[0]= 847.76738

X[1]= -15509.52337

X[2]= 5983.80758

X[3]= 117317.96737

X[4]= -30807.26724

X[5]= -140960.86219

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

На основе полученных значений сформируем вектор d

(см. файл «Вектор и гистограмма.xls»)

Отсюда видим, что

Строим гистограмму элементов вектора относительных погрешностей d. (см. файл «Вектор и гистограмма»)

По гистограмме видно, что наибольшее влияние на погрешность решения оказывает компонента  вектора .

Найдем число обусловленности  матрицы A

Число обусловленности   матрицы A вычисляется по формуле

Норма матрицы A:      =57,3638

Норма обратной матрицы :      =129841,19

7448184,055

Теоретическая оценка погрешности

Так как   то матрица плохо обусловлена, это значит, что незначительные изменения в правой части приведут к большой погрешности в решении.

Задача 2 Метод хорд

Методом хорд найти корень уравнения  с точностью .

Решение

Найдем интервал, в котором находится корень:

Корнем уравнения является точка пересечения этих функций

Из графика видно, что корень лежит в интервале .

Найдем неподвижный конец:

Для определения используем  horda.xls(см. приложение)

Неподвижный конец -1

Выполняем приближение, используя horda.xls

Окончание процесса – при  ,это и есть наш корень.

Задача 3 Решение СЛАУ

Решить систему уравнений ax=b, где

Вычислить точностные оценки методов по координатам: , - координаты численного решения,  - координаты точного решения.

1.  Метод простых итераций

Сделаем расчет, используя SLAU.xls

Решение, наиболее  близкое к точному, получено из таблицы 3

Х1=1,4740

Х2=1,9479

Х3=0,9109

Х4=2,9879

Найдём:

(МПИ)=1,9109

2.  Метод Зейделя

Сделаем расчет, используя SLAU.xls

Решение, наиболее близкое к точному, получено на 30 шаге вычислений

Х1=0

Х2=0,9999

Х3=0,9999

Х4=2

Найдём:

=0,0001

Вывод: МПИ - быстрее сходится, но обладает меньшей точностью, чем метод Зейделя, который  дольше сходится.

Задача 4 Сплайн интерполяция

Для вычислений используем splain.xls

Найдем :

Для вычисления q будем использовать метод прогонки.

Вычислим массивы коэффициентов a,b,c и правой части d:

Вычисление прогоночных коэффициентов:

Теперь вычисляем

Задача 5 Решение дифференциального уравнения

Для расчета использован файл diffur.xls

Мы выбираем шаг h, рассчитываем значения для точки  х+2h с шагом h  и 2h, если проверка на окончание процесса показала < δ, то берем шаг h и считаем с ним остальные точки, если же нет – берем новое h  и снова делаем проверку

R=0,000008 <0,00001Процесс закончен – шаг = 0,00004 Для наглядности возьмем шаг = 0,01