Курсовая работа: Теория вероятностей

Министерство высшего образования Российской Федерации

Ижевский Государственный Университет

Кафедра ВТ

Курсовая работа

Вариант Ж - 5

Выполнил: студент гр. 462

Проверил: Веркиенко Ю. В.

2006 г.

Содержание

Цель работы

Задание

1. Генерирование выборок

2. Поиск оценок для выборок

3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии

4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

7. Проверка гипотезы о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову)

8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии

10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

Выводы

Цель работы

Выполнить все одиннадцать пунктов работы по заданию и сделать выводы.

Задание

На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерировать две выборки объема n

x1,¼,xn       (1)

y1,¼,yn       (2)

Для выборок (1), (2) найти оценки     Ex, Sx,  wx, wy.

Для (1) построить доверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Для (1), (2) построить доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Для (1) построить эмпирическую интегральную функцию распределения  и теоретическую (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x(1), x(n)) на 5-6 интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

Проверить гипотезы: о величине среднего (m), дисперсии (s2), о нормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову).

Проверить гипотезу о независимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.

Для уравнения (модели)  с заданными коэффициентами bi составить систему условных уравнений, считая  и найти по МНК оценки коэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона  или с равномерным шагом на отрезке [–1, 1].

Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза в точках x=-1, 0, 1.

По доверительным интервалам оценить значимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, если доверительный интервал накрывает значение, равное нулю.

При выполнении курсовой работы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборок равна 1. Уровень значимости a = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.

1.  Генерирование выборок

На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерируем две выборки объема n = 17, где m = 3 и s2 = 1

x1,¼,xn       (1)

y1,¼,yn       (2)

Вариационные ряды:

 (1) (2)

2.  Поиск оценок для выборок

Для найденных выборок (1), (2) находим оценки     Ex, Sx,  wx, wy.

Выборочное среднее:

Квадрат средне – квадратичного отклонения:

Оценка центрального момента 3-го порядка:

Оценка центрального момента 4-го порядка:

Коэффициент эксцесса:

Коэффициент асимметрии:

Оценка корреляционного момента:

Оценка коэффициента корреляции:

Размах выборки:

3.  Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии

Для (1) строим доверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Считаем s2 известной.

Считаем s2 неизвестной.

Таким образом, при различных вариантах μmin, μmax имеют почти одинаковые значения.

Подставляем табличные значения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что

,

,

4.  Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

Для (1), (2) строим доверительный интервал для коэффициента корреляции.

U = 1,96

Так как , то пусть , отсюда z = 0,693

То есть |z| ≤ 0,693.

Если z = –0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициента корреляции –0,6 < Rxy < 0,6.

5.  Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

Создание ступенчатой функции, при скачке высотой 1/n.

Построение эмпирических Fx(u), Fy(u) и теоретических интегральных функций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленным оценкам математического ожидания и с. к. о.

Пусть u = 0, 0.001…6, тогда

,

- - - - теоретическая функция распределения.

____ функция для нормального закона с оценками среднего и дисперсии.

6.  Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

случайный выборка доверительный интервал

Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х(1),х(n)) на несколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

k*sigx - ширина интервалов разбиения, k - коэффициент шага разбиния. взято симметрично от среднего значения по 4 интервала

- - - - теоретическая функция плотности распределения.

____ эмпирическая кривая плотности распределения.

7.  Проверка гипотезы о величине среднего (m), дисперсии (s2), о нормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову)

Проверка по критерию согласия  Пирсона:

По данным выборки найдем теоретические частоты , затем, сравнивая их с наблюдаемыми частотами , рассмотрим статистику  - случайная физическая величина, имеющая распределение  с k степенями свободы. Если сумма , то выборочные данные согласуются с нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Определим  с  степенями свободы:

Как видно условие  выполняется.

Проверка по критерию согласия Колмогорова:

Условие:

где , где максимальное значение разности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.

 при для X, и при для Y.

 - критическое значение квантиля распределения Колмогорова.

Так как условие  – выполняется, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.

8.  Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

Чтобы из выборки х получить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).

Проверим гипотезу о независимости :

Так как  из нормального закона , то

Так как условие  – выполняется, то выборки независимы.

Теперь нам необходимо проверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках

:

так как F< ,то нет оснований, отвергать нулевую гипотезу.

9.  Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.

Для уравнения модели

Генерируем выборку с шагом

h = 1/N, где N = 100

Пусть даны коэффициенты регрессии:

β0 = 0; β1 = 1; β2 = 1; β3 = 0; β4 = 0; β5 = 1;

Значения матрицы плана

Сформируем элементы матрицы А вида:

Формирование правых частей нормальной системы

Где  случайная величина, сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.

Информационная матрица

Решение относительно коэффициентов регрессии.

Для нахождения вида уравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии  данного уравнения.

Уравнение регрессии :

Графики уравнения регрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициенты регрессии:

- - - - уравнение регрессии

____ случайная выборка из нормального закона

10.  Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

Доверительные интервалы будем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии .

В случае нормальных ошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:

где  - остаточная сумма квадратов;  - диагональный элемент ковариационной матрицы вида

 так как слагаемых в уравнении регрессии шесть.

              (1)

                            (2)

                            (3)

Строим интервал для коэф-та регрессии:

Доверительный интервал , где из таблицы находим.

k = 6;

Тогда для r = [1…6] будем

брать соответствующий элемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1) (2) (3).

Нахождение доверительного интервала для  (фактор ):

-

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Доверительные интервалы для ,, не накрывают значение равное нулю, следовательно, факторы ,, являются значимыми, а факторы ,, - незначимыми.

11.  Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

Исключив из уравнения регрессии незначимые факторы, приходим к следующему виду:

Таким образом, из графика видно, что при исключении из уравнения регрессии незначимых факторов график не изменился. Найдем доверительный интервал для остаточной дисперсии

 при .

А доверительный интервал найдём из следующего двойного неравенства:

Таким образом, доверительный интервал для остаточной дисперсии есть:

Выводы

Таким образом, в данной курсовой работе были изучены методы обработки случайных выборок с нормальным законом распределения. Так же найдены оценки коэффициентов регрессии и построены доверительные интервалы. В последнем пункте работы были оценены значимости факторов по доверительным интервалам.