Курсовая работа: Уравнения смешанного типа

Содержание

Введение

1. Нелокальная граничная задача Ι рода

2. Нелокальная граничная задача II рода

Литература

уравнение спектральный нелокальный дифференциальный

Введение

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучаться систематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа были найдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, в частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б. Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].

Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И. Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11], А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.

Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.

Первые фундаментальные исследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикоми в начале прошлого столетия. Для уравнения

 (0.1)

он поставил следующую задачу: пусть  область, ограниченная при  гладкой кривой  с концами в точках  и  оси  а при характеристиками  уравнения (0.1). Требуется найти функцию  (отрезок оси ), удовлетворяющую уравнению (0.1) в  и принимающую заданные значения на  Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определённых дополнительных требованиях относительно поведения  в  гладкости граничных данных и характера дуги . Эта краевая задача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.

М.А. Лаврентьев с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложил новое модельное уравнение

 (0.2)

Подробное исследование задачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В. Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.

Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области .

В работах Сабитова К.Б. исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа

в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.

Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обосновании корректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.

Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения следующих задач:

Рассмотрим вырождающееся уравнение

(0.3)

где  в прямоугольной области

заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

Задача 1. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

; (0.4)

 ; (0.5)

 (0.6)

 (0.7)

где и  заданные достаточно гладкие функции, причём

Для того же уравнения исследована и следующая задача:

Задача 2. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

 (0.8)

 ; (0.9)

 (0.10)

 (0.11)

где  и – заданные достаточно гладкие функции, причём

,  ,

Для указанных задач установлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующих рядов.

1. Нелокальная граничная задача Ι рода

Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа

(1)

где  в прямоугольной области заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

Задача 1. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

; (2)

 ; (3)

 (4)

 (5)

где и  заданные достаточно гладкие функции, причём

Пусть решение задачи (2) Рассмотрим функции

 (6)

 (7)

(8)

Дифференцируя дважды равенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальное уравнение

 (9)

с граничными условиями

, (10)

(11)

Общее решение уравнения (9) имеет вид

где  и  функции Бесселя первого и второго рода соответственно,модифицированные функции Бесселя,  и  произвольные постоянные,

Подберём постоянные  и  так, чтобы выполнялись равенства

 (13)

Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя

и модифицированных функций Бесселя

в окрестности нуля, первое из равенств (13) выполнено при  и любых  и , а второе равенство выполнено при

Подставим полученные выражения для постоянных  и  в (12), тогда функции примут вид

Отметим, что для функций (14) выполнено равенство

Отсюда и из равенств (13) вытекает, что является продолжением решения  на промежуток  и,наоборот,  является продолжением решения  на промежуток . Следовательно, функции (14) принадлежат классу  и удовлетворяет уравнению (9) всюду на . Теперь на основании (10) и (11) получим систему для нахождения  и :

 (15)

Если определитель системы (15):

 (16)

то данная система имеет единственное решение

 (17)

 . (18)

С учётом (17) и (18) из (14) найдём окончательный вид функций

 (19)

Где

 (20)

 (21)

 (22)

 (23)

Дифференцируя дважды равенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции , получим однородное дифференциальное уравнение

 (24)

с граничными условиями

(25)

Решение задачи (24) и (25) будет иметь вид

 (26)

Аналогично для функции  получаем неоднородное уравнение

 (27)

с граничными условиями

 (28)

(29)

Общее решение уравнения (27) имеет вид

Равенства  будут выполняться при следующих значениях постоянных

,

при любых и  Подставим выражения для постоянных  и  в (30), тогда функции примут вид

  (31)

Для нахождения  и  на основании (28) и (29) получим систем

 (32)

Если выполнено условие (16), то  и  определяются по формулам:

 (33)

, (34)

Найденные значения  и  по формулам (33) и (34) подставим в (31), тогда функции  будут однозначно построены в явном виде:

 (35)

Из формул (19), (26), (35) следует единственность решения задачи (2)так как если   на , то ,  для на  Тогда из (6) имеем:

Отсюда в силу полноты системы

в пространстве  следует, что функция  почти всюду на  при любом .

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1. Если существует решение  задачи (2)то оно единственно только тогда, когда  при всех

Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых  и  нарушено условие (16), т. е.  Тогда однородная задача (2) (где  имеет нетривиальное решение

Выражение для  на основании следующих формул

приводим к виду

Поскольку при любом  и

где  и положительные постоянные, то функция

где  в силу теоремы Хилби  имеет счётное множество положительных нулей.

Следовательно, при некоторых  может иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку  любое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям  Поэтому при больших n выражение может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема  Чтобы такой ситуации не было, надо показать существование  и  таких, что при любом  и больших  справедлива оценка

Представим (16) в следующем виде

 (36)

где

Как известно  функция  строго убывает, функция  строго возрастающая по , поэтому величина

есть бесконечно малая более высокого порядка, чем  при больших . Поэтому рассмотрим только выражение

Используя асимптотическую формулу функции  при

Получаем

Где

Отсюда видно, что если, например,где  то при

Тем самым справедлива следующая

Лемма 1. Существует  и постоянная  такие, что при всех  и больших  справедлива оценка

 (37)

Рассмотрим следующие отношения:

,

Лемма 2. При любом  для достаточно больших n справедливы оценки:

;

;

где ,  здесь и в дальнейшем, положительные постоянные.

Доказательство. С учётом (36) функция  примет вид

Оценим функцию  при  и больших  :

.

На основании поведений функций в окрестности бесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим

 (38)

где здесь и далее произвольные постоянные.

При 0 и n>>1 в силу асимптотических формул имеем

 (39)

Сравнивая (38) и (39) при любом  получим

Далее вычислим производную

Оценим эту функцию при  и больших :

 (41)

При  и больших фиксированных  имеем

 (42)

Из оценок (41) и (42) следует, что при всех

Вторую производную функции  вычислим следующим образом:

Используя формулы ([1], стр. 90)

Получаем

Зная оценку (40) для  из последнего равенства при всех  имеем

Функция  с учётом (36) примет вид:

 .

Оценим её, используя лемму 1 при 0 и больших n:

 (43)

При  и больших фиксированных :

 (44)

Из оценок (43) и (44) имеем:

 (45)

Вычислим производную :

.

Оценим функцию  при  и :

 (46)

При  и  имеем:

 (47)

Сравнивая (46) и (47) при всех , получим

Теперь вычислим вторую производную функции

Используя формулы

Получим

Отсюда на основании оценки (45) будем иметь

 (48)

Аналогично получаем оценку для функции  и :

Лемма 3. При любом  для достаточно больших  справедливы оценки:

Доказательство. Используя    и  функцию , определяемую формулой (19), представим в следующем виде:

 (49)

Из (49) в силу леммы 2 получим оценки для функций   и  Аналогичные оценки справедливы и для функций   и  Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть   то справедливы оценки:

 (50)

При получении оценок (50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на условию Гёльдера с показателем

Теорема 2. Пусть   и выполнены условия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решение определяется рядом

 (51)

где функции ,  определены соответственно по формулам (26), (35), (19).

Доказательство. Поскольку системы функций

образуют базис Рисса, то если , тогда функцию  можно представить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в  при любом . В силу лемм 3 и 4 ряд (51) при любом  из  мажорируется сходящимся рядом

поэтому ряд (51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области . Следовательно, функция  непрерывна на  как сумма равномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в  мажорируются также сходящимся числовым рядом

Поэтому сумма  ряда (51) принадлежит пространству  и удовлетворяет уравнению (1) в . Следствие 1. Построенное решение  задачи (2)-(5) принадлежит классу  и функция  всюду в  является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа  уравнения (1) как особая линия устраняется.

2. Нелокальная граничная задача II рода

Рассмотрим уравнение (1) в прямоугольной области  и исследуем сопряжённую относительно задачи 1 задачу.

Задача 2. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

 (52)

 ; (53)

 (54)

 (55)

где  и – заданные достаточно гладкие функции, причём ,  ,

Пусть решение задачи (52)- (55). Вновь воспользуемся системами

Рассмотрим функции

 , (56)  (57)

 (58)

Дифференцируя дважды равенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение

 (59)

с граничными условиями

 (60)

(61)

Следуя §1 решение задачи (59)-(61) построим в виде

 (62)

C учётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим для функции  однородное дифференциальное уравнение

 (63)

с граничными условиями

 (64)

Решение задачи (63) и (64) имеет вид

 (65)

Дифференцируя дважды равенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородное уравнение для функции

 (66)

с граничными условиями

, (67)

. (68)

Решение этой задачи определяется по формуле

 (69)

Из формул (62), (65), (69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если  на то , ,  для на Тогда из (56)-(58) имеем:

, ,

Отсюда в силу полноты системы

в пространстве  следует, что функция  почти всюду на  при любом .

Теорема 3. Если существует решение  задачи (52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех n выполняется условие (16).

Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых  и  нарушено условие (16), т. е. . Тогда однородная задача (52)-(55) (где  ) имеет нетривиальное решение

Теорема 4. Если   ,  и выполнены условия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и оно представимо в виде суммы ряда

где функции ,  определены соответственно по формулам (65), (62), (69).

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.

Следствие 2. Построенное решение  задачи (52)-(55) принадлежит классу  и функция  всюду в  является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа  уравнения (1) как особая линия устраняется.

Литература

1.  Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.М.: Наука, 1966. Т.

2.  Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ,

3.  Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 185. – № 4. – С. 739 – 740.

4.  Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /

А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981.– 448 с.

5.  Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.I./ Г.Н. Ватсон.–М.: ИЛ, 1940.– 421 с.

6.  Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. – М.: ИЛ, 1960. – 421 с.

7.  Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д. Джураев – М.: ИЛ, 1961. – 208 с.

8.  Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. – Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. – С.172 с.

9.  Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. – М.: МГУ, 1988. – 150 с.

10.  Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. – С. 176 – 184 с.

11.  Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой – полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. – 1996. – Т. 32, №4. – С. 565 – 567 с.

12.  Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б. Сабитов, Г.Г. Биккулова, А.А. Гималтдинова – Уфа.: Гилем, 2006. – 150 с.

13.  Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа – М.С. Салахитдинов. – Ташкент: Фан, 1974. – 156 с.

14.  Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М Смирнов. – М.: Высшая школа, 1985. – 304 с.

15.  Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. – 1956. – Т. 20. – №2. – с. 196 –202 с.