Лабораторная работа: Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = ¦(х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

¦(х) = ln x

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение

Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом

h = 0,04:

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

1.  На отрезке [ a, b] задать одномерную сетку

h_x = {x_i / x_i = x_{i –1} + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

и значения y_i = f(x_i) в узлах сетки x_i, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x^* Î (a, b).

2.  Положить a_i = y_j, i = 0, 1, 2, …, n.

3.  Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов c_i, i = 0, 1, 2, …, n.

4.  Определить значения коэффициентов d_i и b_i, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

d_i = (c_i – c_i – 1) / h_i, i = 1, 2, …

5.  Определить значение индекса 0 < k £ n из условия x^* Î [x_k – 1, x_k].

6.  Вычислить по формуле

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* – x_k) + (c_k / 2)(x^* – x_k)² + (d_k / 6)(x^* – x_k)³.

7.  Процесс завершен: S(x^*) – результат интерполяции табличных данных в точку x^* Î (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Значение функции в точке находится по формуле:

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* – x_k) + (c_k / 2)(x^* – x_k)² + (d_k / 6)(x^* – x_k)³

2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта

, , 0 £ х £ 1

Решение. Метод Эйлера

- разностная аппроксимация Эйлера. Точность метода . Метод Рунге-Кутта

дифференциальный интерполирующий уравнение сплайн

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблиц:

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутта

3. Найти решение задачи безусловной минимизации ¦(х) ® min, х Î R². Установить множество глобального решения

¦(х) =

Решение

Данная задача решается методом сопряженных направлений (градиентов). Алгоритм данного метода представлен далее.

Метод сопряженных направлений

1  Начать с точки x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, …, x_n⁽⁰⁾)^т и n-линейно независимых направлений s⁽ⁱ⁾,

i = 1, 2, …, n, которые могут быть выбраны, например, совпадающими с координатными направлениями e⁽ⁱ⁾, i = 1, 2, …, n. Положить k = 1.

2  Начиная с точки x⁽⁰⁾ осуществить одномерный поиск для функции f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽¹⁾.

3  Начиная с точки z⁽¹⁾ осуществить последовательно n – 1 одномерный поиск для f(x) сначала в направлении s⁽¹⁾, а затем из полученной точки в направлении s⁽²⁾ и т. д. до одномерного поиска в направлении s^(n – 1) включительно. В результате этих действий будет определена точка x⁽²⁾.

4  Начиная с точки x⁽²⁾ осуществить одномерный поиск для f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽²⁾.

Согласно обобщенному свойству "параллельного подпространства" направление

s^(n + 1) = z⁽²⁾ – z⁽¹⁾

будет сопряженным по отношению к направлениям s⁽ⁿ⁾, s^(n – 1), …, s^{(n – k + 1)} (для k = 1 – только к направлению s⁽ⁿ⁾).

5  Начиная с точки z⁽²⁾ осуществить поиск в направлении s^(n + 1) и определить x^*.

6  Положить k: = k + 1. Если k = n, перейти к выполнению п. 8.

7  Положить z⁽¹⁾: = x^* и s⁽ⁱ⁾: = s^(i + 1), i = 1, 2, …, n.и перейти к выполнению п. 2.

8  Процесс вычислений завершен: x^* – точка минимума функции f(x).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Таблица результатов

Точка (2,-2) – точка минимума функции. В этой точке функция принимает значение .