Реферат: Утечка заряда в конденсаторах

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Диэлектрик в конденсаторе обладает конечным удельным (Ом·см) сопротивлением ξ, которое может зависеть от координат. Ток через конденсатор при U0 = const составляет

I = \frac{U_0}{R}

(46)

где в случае ξ = ξ(x) или ξ = ξ(r)

R=\int\limits_{x_1}^{x_2} \frac{\xi(x)}{S(x)} {\rm d}x {\rm или} R = \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{\xi(r)}{S(r)} {\rm d}r

(47)

S(x) (или S(r)) обозначает площадь эквипотенциальной поверхности. Если батарею отключить, то напряжение на конденсаторе будет спадать по закону

-C \frac{{\rm d}U}{{\rm d}t} = I(t) = \frac{U(t)}{R}

(48)

где C - емкость. Отсюда получаем

U(t) = U_0\cdot \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)

(49)

Задача. Найти сопротивление R цилиндрического конденсатора (R1, R2, L, ξ = сonst).

Решение: Эквипотенциальные поверхности - это боковые цилиндрические поверхности, площадь каждой из которых

S = 2π L r

Поскольку ξ = const, по формуле для сопротивления получаем:

R = \int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{\xi}{2\pi L r} {\rm d}r = \frac{\xi}{2\pi L} \ln\frac{R_2}{R_1}

Задача: Напряжение на сферическом конденсаторе емкости C (R1, R2) после отсоединения его от батареи спало в η раз за время Δ t. Найти удельное сопротивление диэлектрика (диэлектрик считать однородным).

Решение: Омическое сопротивление описанного конденсатора равно

R = \xi \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{{\rm d}r} {4\pi r^2} = \frac{\xi}{4\pi}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right)

где ξ - искомое удельное сопротивление.

Если t = 0 соответствует моменту отсоединения батареи, то, как следует из условия, напряжение на конденсаторе в момент t = Δ t составляет U0/η (U0 - начальное напряжение):

U(\Delta t) = \frac{U_0}{\eta} = U_0\cdot\exp \left(-\frac{\Delta t}{RC}\right)

откуда получается

R = \frac{\Delta t}{C\ln\eta}

Приравнивая это R и выражение для того же R через ξ, имеем

\xi = \frac{4\pi \Delta t}{C\ln\eta}\left(\frac{1} {R_1}-\frac{1}{R_2}\right)^{-1}

Задача: Напряжение на цилиндрическом конденсаторе с радиусами обкладок R1, R2 и длиной L спало в η раз за время Δ t после отсоединения конденсатора от батареи. Найти удельное сопротивление диэлектрика (диэлектрик однороден и имеет проницаемость ε).

Ответ: \xi = \frac{\Delta t}{\varepsilon_0\varepsilon \ln\eta} (нет зависимости от R1, R2, L).

Задача. В диэлектрике проницаемости ε на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости расположен небольшой металлический шарик радиуса a<< l. Найти ток, если между шариком и плоскостью поддерживается разность потенциалов U, а удельное сопротивление среды ξ.

Решение Ток может быть найден в любом эквипотенциальном сечении. Например, можно вычислить ток непосредственно на плоскости, с использованием составляющей электрического поля, перпендикулярной к плоскости и легко вычисляемой методом изображений:

E_{\bot} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon} \cdot\frac{l}{(r^2+l^2)^{3/2}}

Мы здесь считаем заряд точечным, так как поле ищется далеко от него.

I = \int \vec{j}\cdot{\rm d}\vec{S} = \frac{1}{\xi}\int E_{\bot} {\rm d}S = \frac{2\pi}{\xi}\cdot \frac{ql}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\int\limits_0^{\infty} \frac{r {\rm d}r}{(r^2+l^2)^{3/2}} = \frac{q}{\xi\varepsilon_0 \varepsilon}

Чтобы связать q с приложенным напряжением, нужно знать емкость C, которая уже найдена в разделе "Вычисление емкости": C = 4πε0ε a. Получается, что

I = \frac{CU}{\xi\varepsilon_0\varepsilon} = \frac{4\pi a U}{\xi}

Эта задача могла быть решена и проще: сопротивление R между шариком и плоскостью сосредоточено, в основном, вблизи шарика. Тогда при его вычислении можно грубо считать поле вокруг шарика сферически-симметричным, что дает

R = \xi\int\limits_a^{\infty}\frac{{\rm d}r} {4\pi r^2} = \frac{\xi}{4\pi a}

после чего ток найдется как I = U/R. Однако, применение такого метода предварительного нахождения R, например, в похожей задаче, в которой вместо заряда задан провод, уже невозможно, в то время как способ интегрирования тока вблизи плоскости остается вполне состоятельным.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r