Реферат: Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть 
- непустое множество, то есть 
.
Определение. Бинарной операцией на множестве 
называется отображение
прямого произведения 
.
Другими словами: если каждой упорядоченной паре
элементов множества поставлен в соответствие
единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная
операция на множестве .
Пример.
Пусть 
- произвольные высказывания
: 
- бинарная операция на множестве
высказываний.
Пусть - произвольные множества
: 
- бинарная операция на множестве
множеств.
Пусть 
: 
- бинарная операция на множестве
действительных чисел.
: 
- не является бинарной операцией
на множестве 
, так как 
.
Если 
- произвольная бинарная операция
на множестве 
и паре 
ставится в соответствие элемент 
(то есть 
), то вместо
записи 
пишут
, то есть
имеем 
. Элемент называется
композицией элементов 
.
Определение. Пусть 
. Отображение 
называется 
- местной
операцией на множестве . Число - ранг операции.
Определение. Нульместной операцией на множестве называется
выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число 
называется рангом нульместной
операции.
Определение. Одноместные операции называются унарными
операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества ставит в
соответствие элемент из множества , то есть унарная операция – это
отображение множества во множество .
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть - множество натуральных чисел
- унарная операция
- не является унарной операцией
На множестве высказываний операция 
: 
- унарная операция
На множестве подмножеств универсального множества операция дополнения – унарная операция.
Определение. Отображение из множества 
называется частичной - местной
операцией на множестве , если область определения отображения
не совпадает с 
.
Виды бинарных операций
Пусть 
- бинарные операции на множестве .
Операция 
- коммутативна на множестве 
.
Операция - ассоциативна на множестве 
.
Операция 
- дистрибутивна слева относительно
операции 
.
Операция дистрибутивна справа относительно
операции 
.
Пример.
Операция 
на множестве - коммутативна,
ассоциативна.
Операция 
на множестве - коммутативна,
ассоциативна.
На множестве множеств операции 
и 
дистрибутивны относительно
друг друга.
На множестве функций композиция функций - ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.
п.2. Понятие алгебры.
Определение. Алгебра 
, где , 
- множество операций на .
Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть - множество высказываний
- алгебра логики высказываний.
Пусть - множество натуральных чисел
- алгебра натуральных чисел
относительно операций и .
Определение. Алгебра 
называется подалгеброй алгебры , если
множество 
;
-
ограничение операции .
Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная
тройка 
,
где , - множество
операций на ;
- множество
отношений на .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/