Статья: Сегнетоэлектрики
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Сегнетоэлектрики
представляют собой специфический класс сред, характеризующийся высоким
значением диэлектрической проницаемости (на основной кривой поляризации), нелинейностью
зависимости , гистерезисом зависимостей D(E) и P(E), а также
сохранением поляризованности
после отключения
внешнего поля. Именно последнее свойство наиболее важно, и во многих случаях
под словом "сегнетоэлектрик" подразумевается "область спонтанной
поляризованности
", слабо
чувствительная к дополнительному наложению электрического поля.
Расчет поля сегнетоэлектриков производится следующим образом. По формулам
|
(50) |
находится
связанный заряд, а затем находится создаваемое им поле с помощью закона
Кулона, как если бы этот заряд был свободным:
|
(51) |
Если
есть выраженная симметрия, то возможно и применение теоремы Гаусса в виде . Мотивацией
такого метода является уравнение Максвелла
.
При наличии, помимо сегнетоэлектриков, еще и сторонних зарядов поле последних суммируется с полем сегнетоэлектриков.
Для
нахождения смещения привлекается
соотношение
|
(52) |
При этом никаких ε для сегнетоэлектрика вводиться не должно.
Задача.
Имеется бесконечная пластина из однородного сегнетоэлектрика с
поляризованностью . Найти векторы
и
внутри и вне пластины, если вектор
направлен a)
перпендикулярно, b) параллельно поверхности пластины.
|
Решение
Разберемся прежде всего в том, какова будет в обоих случаях, то
есть какие связанные заряды присутствуют. Для этого надо проверить, как
изменяется
в направлении самого себя. В случае б)
, в том числе и
на границах; на них
, конечно, изменяется,
но не в направлении
. А вот в случае
а) имеет место скачок
от (до) нуля на
границах как раз в направлении
. Соответственно, поверхностная
плотность заряда равна:
σ'(a) = ± P |
причем
знак плюс берется для той поверхности, в сторону которой "смотрит"
вектор , по определению σ'. Как уже говорилось,
σ'(b) = 0 |
Следовательно, в случае а) мы имеем ситуацию, аналогичную конденсатору и получаем
|
в то время как
|
Заметим,
что в случае а) ошибкой было бы записать D = σ'; теорема Гаусса
применяется к вектору .
Соответственно,
по формуле имеем:
|
= |
|
|
|
= |
|
Задача. Пластина из сегнетоэлектрика с поляризованностью P, перпендикулярной поверхностям, помещена в конденсатор, обкладки которого замкнуты друг на друга. Пластина занимает η-ю часть зазора и параллельна обкладкам конденсатора. Найти E и D в пластине и в остающемся незаполненным зазоре.
|
Решение Если Eplate и Eair обозначают электрическое поле, соответственно, в пластине и в воздушном зазоре, то, ввиду замкнутости обкладок конденсатора друг на друга,
η Eplate +(1–η) Eair = 0 |
Величина D в зазоре и в пластине одна и та же, так как любой другой вариант противоречил бы условиям для нормальной компоненты D на границе пластина-воздух.
Dplate = ε0Eplate+P = Dair = ε0Eair |
Из последней цепочки равенств имеем
Eair = Eplate+ε0–1P |
Используя это, получаем
η Eplate +(1–η)(Eplate+ ε0–1P) = 0 |
откуда
Eplate = –(1–η)ε0–1P, Eair = ηε0–1P |
Смещение всюду одно и то же и равно Dplate = Dair = η P.
Задача.
Тонкий диск радиуса R из сегнетоэлектрического материала поляризован однородно
и так, что вектор лежит в плоскости
диска. Найти
и
в центре
диска, считая, что толщина диска h намного меньше, чем R.
|
Решение
Введем систему координат так, чтобы плоскость xy была плоскостью диска, а . Найдем связанные заряды.
всюду равна нулю,
за исключением обода диска (на круглых поверхностях диска тоже
, так
как там
не меняется в направлении
). Поверхностный
заряд составит
σ' = –Pr|R+0+Pr|R–0 = Psinφ |
где
φ угол в полярной системе координат, отсчитываемый от оси x, как обычно.
Зная σ', можно найти поле по закону Кулона (
):
|
= |
|
|
= |
|
||
= |
|
При
получении последнего равенства использовано условие R>> h. Обратим
внимание на то, что при R→∞ .
Смещение
найдется просто как
|
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.