Статья: Методические аспекты построения и анализа электродинамических уравнений Максвелла
В.В. Сидоренков, МГТУ им. Н.Э. Баумана
На основе первичных фундаментальных соотношений электромагнетизма - закона Кулона взаимодействия неподвижных электрических точечных зарядов и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений построена система дифференциальных уравнений Максвелла классической электродинамики.
В курсе общей физики при изложении природы электричества [1] концепция электромагнитного поля является центральной, поскольку посредством такого поля реализуется один из видов фундаментального взаимодействия разнесенных в пространстве материальных тел. Физические свойства указанного поля математически представляются системой функционально связанных между собой уравнений в частных производных первого порядка, первоначальная версия которых была получена во второй половине XIX века Дж.К. Максвеллом [2] обобщением эмпирических фактов. В структуре этих уравнений, описывающих поведение электромагнитного поля в неподвижной среде, заложена основная аксиома классической электродинамики - неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитного полей. В современной форме такая система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
(a)
, (b)
,
(c)
, (d)
. (1)
Здесь
векторные поля: электрической и магнитной
напряженности, соответственно,
электрической
и магнитной
индукции, а также
плотности электрического тока
;
и
- абсолютные электрическая и
магнитная проницаемости,
- удельная электрическая проводимость
материальной среды,
- объемная плотность стороннего
электрического заряда.
Покажем, как на основе первичных фундаментальных соотношений электромагнетизма - закона Кулона взаимодействия электрических точечных неподвижных зарядов
(2)
и закона сохранения электрического заряда [1]
(3)
цепочкой последовательных физико-математических рассуждений можно построить систему электродинамических уравнений Максвелла (1). Представляется, что логика таких рассуждений позволит обучаемым яснее и глубже понять сущность корпускулярно-полевого дуализма природы электричества.
Фундаментальность
закона Кулона (2) состоит в том, что его посредством описывается силовое
взаимодействие разнесенных в пространстве неподвижных электрически заряженных
материальных тел, где для изучения следствий такого взаимодействия вводят
понятие электрического поля в виде напряженности – силы Кулона на единицу
заряда: ,
где
- пробный
точечный заряд. Топология структуры электрического поля точечного заряда
такова, что
интеграл от этой функции по сфере любого радиуса константен:
, а при использовании
понятия телесного угла несложно убедиться: поток вектора поля электрической
индукции (смещения)
через произвольную замкнутую
поверхность S тождественно равен суммарному стороннему электрическому заряду
в объеме
внутри этой
поверхности, причем на самой указанной поверхности посредством интегрирования
поля электрической индукции
определяется индуцируемый
поляризационный электрический заряд
, так что
:
.
Такие
рассуждения называют электростатической теоремой Гаусса. Она описывает
результат электрической поляризации. Правда, обычно в физические подробности
процесса поляризации не вникают, а потому в данной теореме о заряде в теореме
просто не говорят. Здесь надо иметь в виду, что равенство нулю суммарных
величин указанных зарядов, соответственно, электрического потока:
, вовсе не
означает отсутствие электрического поля в этой области пространства, поскольку
электрические заряды бывают положительными и отрицательными, и указанное поле
может создаваться электронейтральными источниками, например, электрическими
диполями. Это свойство электростатического поля качественно отличает его от
ньютоновского поля тяготения, где источники такого поля – гравитирующие массы
имеют один знак. В системе электродинамических дифференциальных уравнений (1)
теорема Гаусса представлена (см. теорему Гаусса-Остроградского) соотношением
(1b), описывающим результат электрической поляризации среды, где в случае
электронейтральности (
) среды оно имеет вид
.
Воспользуемся
теперь другим первичным фундаментальным законом электромагнетизма - законом
сохранения электрического заряда (3), структурно представляющим собой уравнение
непрерывности. Закон гласит: изменение заряда в данной точке пространства единственно
возможно лишь за счет транспорта зарядов извне
, ведь по определению (теорема
Гаусса-Остроградского) дивергенция - это объемная плотность потока векторного
поля в данной точке. Тогда подстановка в (3) уравнения (1b) дает формулу
. И с учетом
того, что для любого векторного поля
, получаем еще одно уравнение
обсуждаемой здесь системы:
(1с). Это уравнение обычно
называют законом полного тока: электрические токи проводимости и смещения
порождают вихревое магнитное поле, силовые линии векторов напряженности
которого
охватывают линии этих токов.
Итак,
в области существования движущихся зарядов и переменных во времени
электрических полей , то есть в уравнении (1с) функция
является
чисто вихревой, а потому для математического уточнения данной топологии
магнитного поля введем соотношение
. Тем самым получим следующее
уравнение системы (1) – уравнение (1d). Поскольку дивергенция - объемная
плотность потока векторного поля в данной точке, то уравнение
способно описать не
только вихревые свойства функции
, но и ее потенциальную версию, случай
когда
. В
этой ситуации соотношение (1d) математически представляет физический результат
магнитной поляризации материальной среды. Комментируя физическое содержание
такого уравнения, обычно говорят, что оно наглядно иллюстрирует отсутствие в
Природе сторонних магнитных зарядов, подобных зарядам электрическим, при этом, входя
в противоречие, безосновательно называют
теоремой Гаусса магнитного поля, хотя
в рамках логики уравнений Максвелла базы для этой теоремы - магнитного закона
Кулона принципиально не существует.
Наконец,
частным дифференцированием по времени уравнения (1d) получаем на основе
адекватное
с учетом знака закону электромагнитной индукции Фарадея уравнение (1а), последнее
в системе (1). Итак, изменяющееся во времени поле магнитной индукции порождает
в данной точке пространства вихревое электрическое поле. Ввиду того, что в
уравнении (1a)
, то функция поля
является вихревой, и
эту топологию способно уточнить, согласно вышесказанному о дивергенции, уже
полученное нами ранее уравнение (1b) в виде
. Как видим, дивергентные
уравнения (1b) и (1d) как математически, так и физически весьма содержательны.
И
это только то, что лежит на поверхности. А если взглянуть глубже, то уравнения и
содержат
сведения о полях электрического
и магнитного
векторных потенциалов, связанных
с электрической -
и магнитной -
поляризациями. На
сегодня установлено [3, 4], что векторные потенциалы – полноправные физически
значимые поля, и учет этого обстоятельства позволяет углубить и кардинально
модернизировать концептуальные основы классической электродинамики, где
обсуждаемая здесь система уравнений Максвелла будет лишь рядовым частным
следствием.
Однако вернемся к уравнениям системы (1). Убедимся, что данная система замкнута и может быть представлена в виде математической задачи Коши - решение уравнений с заданными начальными условиями. Для этого, прежде всего, надо показать, что уравнение (1d) является следствием уравнения (1а), а уравнение (1b) есть следствие уравнения (1c). Вообще говоря, все это уже установлено в наших рассуждениях при построении уравнений системы (1), и все же проделаем обратное в явном виде. Итак, возьмем дивергенцию от (1а):
.
Поскольку
уравнение (1d) удовлетворяется при любых
, то оно верно
и для
.
Таким образом, уравнение (1d) действительно является начальным условием для
уравнения (1а). Аналогичная процедура с уравнением (1c) и сравнение этого
результата с уравнением непрерывности (3) дает цепочку:
.
А
так как уравнение (1b) справедливо при любых
, то оно верно
и для
.
Следовательно, уравнение (1b) - это начальное условие для уравнения (1c).
В
итоге с учетом уравнения непрерывности (3) система (1) действительно замкнута –
16 скалярных уравнений: (1a), (1c), (3) - 7 и материальные соотношения - 9 для
нахождения 16 скалярных функций: компонент векторов ,
,
,
,
и плотности заряда
.
Важнейшим
фундаментальным следствием уравнений Максвелла является тот факт, что и
компоненты
электромагнитного поля распространяются в пространстве в виде волн. Например, из
(1а) и (1c) сравнительно просто получить волновое уравнение для поля
электрической напряженности
:
. (4)
Аналогично
получается и уравнение волн поля магнитной напряженности , структурно полностью
тождественное уравнению (4). Видно, что скорость распространения этих волн
определяется только лишь электрическими и магнитными параметрами пространства
материальной среды:
,
и
, в частности, в отсутствие
поглощения (
)
скорость волн
.
С целью ответа на вопрос, что переносят эти волны, воспользуемся уравнениями Максвелла (1), являющиеся, в сущности, первичными уравнениями электромагнитной волны, откуда на основе уравнений (1а) и (1с) получаем закон сохранения энергии в форме, так называемой теоремы Пойнтинга:
. (5)
Видно,
что поступающий извне в данную точку среды поток электромагнитной энергии, определяемый
вектором Пойнтинга , идет на компенсацию джоулевых
(тепловых) потерь в процессе электропроводности и изменение электрической и
магнитной энергий, либо наоборот - эти физические процессы вызывают излучение
наружу потока электромагнитной энергии. Например, уравнение энергетического
баланса (5) показывает, что излучение вовне потока энергии
возникает при джоулевых
потерях
за
счет работы источника ЭДС, в котором
и
- антипараллельны. Соответственно,
при
производные
от слагаемых других энергий меньше нуля.
Существенно,
что вектор плотности потока электромагнитной энергии , отличен от нуля только там, где
одновременно присутствуют электрическая и магнитная компоненты поля, векторы
и
которых
неколлинеарны. Соответственно, как видно из уравнений (1а) и (1с), переносящая
энергию электромагнитная волна принципиально состоит из двух векторных взаимно
ортогональных
и
компонент. При этом несложно
убедиться [1], что уравнения Максвелла (1) описывают электромагнитную волну, колебания
и
компонент
которой синфазны между собой. Но такие колебания этих двух компонент в принципе
не отвечают механизму переноса энергии посредством волн произвольной физической
природы, когда в данной точке пространства происходит взаимное преобразование
во времени потенциальной (в нашем случае электрической) энергии в кинетическую
(магнитную) энергию, и наоборот.
Упрощенно,
ради наглядности этот процесс можно пояснить на примере колебаний физического
маятника, когда такой вид движения реализуется при сдвиге фазы колебаний
смещения и скорости маятника на , то есть благодаря обмену
кинетической и потенциальной энергиями, где полная энергия незатухающих
колебаний неизменна во времени. Следовательно, и в случае волны перенос энергии
возможен только при сдвиге фазы колебаний между ее компонентами на
, причем в
среде без потерь поток энергии не зависит от времени и точек пространства.
Однако, согласно уравнениям Максвелла, электромагнитных волн с такими
характеристиками в Природе не существуют.
Правда,
традиционная логика обсуждения переноса электромагнитной энергии такова, что
проблемы здесь как бы и нет - всем все понятно. Действительно, из решения
уравнений (1) для волновых амплитуд формально, но абсолютно строго
следует
-
закон сохранения энергии. В итоге однозначно доказано, что электрическая
энергия в точности равна энергии магнитной, переносимых волнами соответствующих
компонент электромагнитного поля. Именно так этот вопрос излагается учащимся, причем
правомерность такой методики аргументируется тем, что перенос энергии
электромагнитными волнами реален, и это физическое явление широко и всесторонне
используется во многих областях жизни современного общества. Однако это не
ответ на вопрос: как же все-таки эти энергии переносятся?
В
качестве конструктивного замечания отметим, что хотя и
компоненты электромагнитных волн
распространяются только совместно и их энергии равны, но при этом связи этих
энергий между собой нет (синфазность колебаний). Более того, в случае электро-
и магнитостатики эти энергии независимы в принципе. Следовательно, необходимо
приходим к выводу об объективности раздельного существования электрической и
магнитной энергий, при отсутствии каких-либо физических оснований считать, что
электромагнитная волна распространяется так же, как и все другие волны, посредством
взаимной перекачки энергии одного вида в другой. Но тогда становится совершенно
неясным, казалось бы, очевидное для каждого понятие электромагнитной энергии, а
также каков реальный механизм волнового переноса этого вида энергии?
Таким образом, проблема с выяснением физического механизма переноса энергии волнами электромагнитного поля объективно существует, она актуальна и для ее разрешения требуется далеко нестандартный подход. Информация: в настоящее время данная проблема активно, а главное успешно исследуется и находится в заключительной стадии разрешения (например, [3]).
Резюме. Показано, как на основе первичных соотношений электромагнетизма - закона Кулона взаимодействия неподвижных электрических точечных зарядов и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений можно построить систему дифференциальных уравнений Максвелла классической электродинамики.
Материал этого сообщения может быть полезен студентам при самообразовании, а преподавателям для занятий по курсам общей физики, классической электродинамики и сопутствующим им техническим дисциплинам.
Список литературы
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М.: Наука, 1977.
2. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и II. М.: Наука, 1989.
3. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. № 1. С. 28-37; // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 11. С. 75-82; // Материалы X Международной конференции «Физика в системе современного образования». - Санкт-Петербург: РГПУ, 2009. Том 1. Секция 1. “Профессиональное физическое образование”. С. 114-117; // Материалы VI Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем» - Воронеж: ВГТУ, 2009. Часть 1. С. 172-177; // Необратимые процессы в природе и технике: Сборник научных трудов. Вып. 3. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 56-83;
// http://scipeople.ru/publication/67585.