Реферат: Высшая математика

Государственный университет управления

Институт заочного обучения

Специальность – менеджмент

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Высшая математика.

Вариант № 1.

Выполнил студент Ганин Д.Ю.

Студенческий билет № 1211

Группа № УП4-1-98/2

Москва, 1999 г.

Содержание

Часть I.________________________________________________________ 3

Задание №2. Вопрос №9.________________________________________________________ 3

Задание №3. Вопрос №1.________________________________________________________ 3

Задание №12. Вопрос №9._______________________________________________________ 5

Задание №13. Вопрос №2._______________________________________________________ 5

Задание №18. Вопрос №9_______________________________________________________ 6

Часть II._______________________________________________________ 9

Задание №8. Вопрос №8.________________________________________________________ 9

Задание №12. Вопрос №9.______________________________________________________ 10

Задание №14. Вопрос №2.______________________________________________________ 10

Задание №15. Вопрос №6.______________________________________________________ 11

Задание №18. Вопрос №9.______________________________________________________ 12

Дополнительно Часть I._______________________________________ 13

Задание №7. Вопрос №1._______________________________________________________ 13

Задание №9. Вопрос №8._______________________________________________________ 13

Задание №11. Вопрос №6.______________________________________________________ 14

Задание №15. Вопрос №1.______________________________________________________ 15

Дополнительно Часть II._______________________________________ 15

Задание №7. Вопрос №1._______________________________________________________ 15

Задание №9. Вопрос №8._______________________________________________________ 16

Задание №11. Вопрос №6.______________________________________________________ 18

Задание №15. Вопрос №1.______________________________________________________ 18

Часть I.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

Построить график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P) и найдите координаты точки равновесия, если , .

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

Т.к. функции Q_S(P) и Q_D(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

, из этой системы получаем:

, тогда , значит координаты  т.M.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

Решение:

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение

Решение:

Решение:

1.    Область определения данной функции: .

2.    Найдем точки пересечения с осями координат:

3.    Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.

4.    Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.

5.    Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка  - точка экстремума функции.

На участке производная  > 0, значит, при , заданная функция возрастает.

На участке производная  < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).

Следовательно  - точка максимума заданной функции .

6.    Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.  , значит , тогда , отсюда

Отсюда , .

На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции.

На участке  производная  >0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.

На участке производная <0, значит, при  график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки ,  - точки перегиба графика заданной функции .

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Часть II.

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны  и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

,   ,

Решение:

Пусть  - функция прибыли, тогда

Найдем первые частные производные функции :

, . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:

Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого

введем обозначения: , , ,

тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:

Решение:

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .

Решение:

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда

фундаментальную систему решений образуют функции:

,

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений  и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Представим правую часть уравнения, как  и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

. Имеем , , тогда т.к.  - многочлен второй степени, то общий вид правой части:  . Найдем частные решения:

, ,

Сравним коэффициенты при  слева и справа, найдем , решив систему:

, отсюда .

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .

Дополнительно Часть I.

Найти предел: .

Решение:

.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

.

Решение:

1.    Область определения данной функции: .

2.    Т.к. точка  не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к.  и , следовательно, уравнение  – уравнение вертикальной асимптоты.

3.    Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: .

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты  с осями

 координат:

С осью OX: точка,

с осью OY: точка

Исходя из определения производной, докажите: .

Решение:

Т.к. по определению производная функции  в точке  вычисляется по формуле , тогда приращение  в точке : .

Следовательно .

Найдите пределы, используя правило Лопиталя:  .

Решение:

.

Дополнительно Часть I I.

Написать в точке  уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции  в точке  имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки  вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:

.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в области: .

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

, точка  не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями  и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

1.    , тогда ,  , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Эта система имеет четыре решения:

2.    , тогда ,  ,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Эта система также имеет четыре решения:

Следовательно, заданная функция  в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках  и  и наименьшего в точках  и  при этом графики функций  и  касаются окружности  в точках ,  и ,  соответственно (см. рис.6).

Вычислить неопределенный интеграл: .

Решение:

Решить уравнение:  .

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение:

.