Реферат: Контрольная работа

№385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.


По определению несобственного интеграла имеем:

           


Интеграл сходится.

№301. Найти неопределенный интеграл.


Представим подинтегральную функцию в виде слагаемых



№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.



Понизим порядок дифференциального уравнения, т.е. введем новую функцию        , тогда

             и получаем уравнение


Это линейное уравнение первого порядка.

Введем новые функции u=u(x) и v=v(x).

Пусть                 , тогда                      , т.е.


                                                            (1)


Предположим, что функция                          такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т.е., что она является решением дифференциального уравнения.


 

это уравнение с разделяющимися переменными



Здесь

Подставляем значение v в уравнение (1), получаем


Следовательно,


а т.к.                , то


решим отдельно интеграл

                                                                                                , тогда


общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных условиях


Т.к.                      , то


                                                                                               

Т.к.                    , то


                                                            - частное решение при заданных условиях.

№543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.


Составим характеристическое уравнение


Т.к.                  , то общее решение запишется в виде


Найдем частное решение т.к. в правой части стоит         , то


Найдем           и


Подставим значение      и        в данное уравнение, получим:


Общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных начальных условиях

                        , т.к.                , то

                                    , т.к.                , то

решаем систему


                                    и


                                    - частное решение при заданных начальных условиях.