Шпаргалка: Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

1. Матрицы. Терминология и обозначения.

Матрицей размера (mxn) называется набор m×n чисел – элементов м-цы Ai,j, записанных в виде прямоугольной таблицы:

Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj – jтым столбцом.

М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 – столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1, ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой. Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е

Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.

2. Действия с матрицами

1)    Сложение

Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:

Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)

C=A+B (размер всех м-ц: mxn)

2)    умножение м-цы на число

Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица: B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:

Вij=С×Aij (I=1…m, j = 1…n)

В=С×А

вычитание:

С=А+(-)В = А-В

3)    умножение м-ц

А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:

Сij = Ai1×B1j+… Ain×BnJ

С=АВ. Можно записать так:

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА

Св-ва умножения м-цы:

(АВ)С=А(ВС)

А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.

3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы

Сумму Н всех элементов  квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:

1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

отсюда вытекает, что

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

называется транспонированной по отношению к м-це А=

Обозначается А^Т. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы в строки и если А размером mxn, то А^Т будет размером nxm

Св-ва операции транспонирования.

1 (А^Т)^Т=А

2 (А+В)^Т=А^Т+В^Т

3 (СА)^Т=СА^Т (С-число)

4 (АВ)^Т=А^Т×В^Т

4. Элементарные преобразования матрицы.

1 Переставление двух строк

2 Умножение строки на не равное 0 число В

3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.

Также производят элементарные преобразования столбцов.

5. Матрицы элементарных преобразований.

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:

1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк например м-ца:

получена перестановкой 2 и  4 строки

2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не нулевое число:

отличается от единичной элементом В во второй строке

3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:

Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на матрицу элементарных преобразований

Элементарные преобразования строк м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j строки м-цы А на число В

3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева

Элементарные преобразования столбцов м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j столбца м-цы А на число В.

3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.

6. Определители

С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.

Определителем м-цы второго порядка:

наз число: а11×а22-а12×а21

Определитель м-цы третьего порядка:

=

=

также можно восп правилами треугольника:

Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен, определитель м-цы порядка n будет равен:

D= a11×M11-a21×M21+…+(-1)ⁿ⁺¹×an1×Mn1

где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1 столбца и j  строки.  Это называется разложением определителя по 1 ому столбцу.

число: Аij=(-1)^I+1×Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в определителе [А]  с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно записать так:

Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на их алгебраический дополнитель.

7. Свойства определителя

1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [A^T]=[А]

отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств определителя.

2 Линейность

Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:

тогда D=fD’+lD’’

где:        

отличаются от D только I-тыми строками.

3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой строк, то В* = -В

4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0

5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого определителя на это число

6 определитель с 0 строкой = 0

7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)

8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.

9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение соответствующих элементов другой строки опр  = 0

8.    Обратная матрица

Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.

М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:

В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы Aji, эл-та аji в м-це А.

М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими св-вами:

АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)

Матрица А^-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство:

АА^-1=I, А^-1А=I

М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I, где - неизвестная матрица.

Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной матрице

1 Привести к треугольному виду

2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам

3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1 строке последнюю умноженную на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится к матрице у которой все эл-ты п-ного столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.

2 метод построения обратной м-цы путем составления расширенной матрицы (метод Жордана)

1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную матрицу I того же порядка т. е. получаем м-цу (А|I) элементарными преобр строк м-ца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному, полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А

15. Понятия связанного и свободного векторов.

Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в двух направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим направленный отрезок АВ, а если т. В- начало, а т. А – конец, то направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..

Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС совпадают обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат на одной прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД – параллелограмм. Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины.

Св-ва связанных в-ров:

1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ

2 Если АВ=СД, то и СД = АВ

3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF

От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному.

Свободные в-ры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно. или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного в-ра АВ.

Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нуль-вектор обоз 0 со стрелкой.

Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры, полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0, Если а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.

16.   Линейные операции над в-рами

1 сложение в-ров

Пусть даны в-ры: а и в

от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило треугольник и правило параллелограмма.

Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:

(а+в)+с=а+(в+с),

2 Умножение в-ра на число

Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны.

Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что

1 длина его |b|=|C|×|a|

2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C<0). – М.: Обозн в=С×а. При С=0 положим, что Са=0.

Св-ва умножения

1 (С+Д)×а=С×а+Д×а

2 С×(Д×а)=(С×Д)×а

3 С×(а+в)=С×а+С×в (Си Д любые дейст. числа, а и в – в-ры)

В-р, длина которого = 1 называется единичным в-ром или ортом и обоз а0, его длина |a0|=1

Если а ¹ 0, то а0 = 1/|a|, есть единичный в-р (орт) направления в-ра а.

Противоположный в-р (-а) –а || а, противоположно направлен в-ру а

а+(-а)=0; -а= (-1)×а

3 вычитание в-ров

разностью в-ров а и в наз в-р с, такой, что в+с =а

а- уменьшаемый, в- вычитаемый, с- разность.

1 разность в-ров а и в явл диагональю параллелограмма, построенного на в-рах а и в, направленная в сторону уменьшаемого в-ра.

Пусть а и в ненулевые в-ры. отложим их от т. О, а=ОА, в=ОВ. Углом между в-рами а и в наз. наименьший угол между в-рами ОА и ОВ

Если угол между а и в = П/2 эти в-ры наз ортогональными.

17.   Координаты и компоненты в-ра

Обозначаем в прямоугольной декартовой системе координат положительные направления осей OX,OY,OZ единичными в-рами : i, j, k, попарно ортогональными и равными единице.

Найдутся числа x,y,z, для которых:

а = xi+yj+zk (2) Эта ф-ла наз. разложением в-ра по орто-базису

Эти в-ры называются ортонормированным базисом. Для каждого в-ра а разложение по орто-базису единственно, т. е. коэффициенты x,y,z в разложении в-ра а по векторам i,j,k определены однозначно. Эти коэффициенты наз координатами в-ра а, они совпадают с координатами z,y,x т. А

a={x,y,z} это означает, что в-р однозначно задается упорядоченной тройкой своих коэффициентов

В-ры xi, yj, zk, сумма которых = а, называются компонентами в-ры а. Два в-ра а и в равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.

Радиус-вектором в т. М(x,y,z) называется вектор r=xi+yj+zk, идущий из начала коорд т. О в т. М

Линейные операции над в-рами в координатах.

Имеем 2 в-ра а={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}, таких, что а=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+xz2k

сумма будет:

a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k

a+b={x1+x2, y1+y2, z1+z2}

при сложении в-ров их координаты попарно складываются. Для вычитания так же.

С×а={Cx1,Cy1,Cz1}

при умножении на число, все его координаты умножаются на это число.

В-ры а и в коллинеарны тогла и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

18.   Проекция в-ра на ось

Прямая l, с заданным на ней направлением называется осью.

Величиной направленного отрезка Ав на оси l наз. число, обозначаемое: (АВ) и равное длине отрезка АВ, взятом со знаком +, если напр АВ совп с напр. прямой и со знаком – если не совп.

Проекцией в-ра АВ на ось l наз величина, направленного отрезка СД, построенного опусканием перпендикуляров из в-ра АВ на ось l, обозн: Pr_lAB=(СД)

Свойства проекции:

1 Проекция в-ра АВ на какую-либо ось l = произведению длины в-ра на косинус угла между осью и этим в-ром.

Pr_lAB=|AB|×cosa

2 Проекция на ось l в-ра С×а =С× Pr_lа, С- произв. число.

3 Проекция суммы в-ров на какую либо ось = сумме проекции в-ров на эту же ось

19.   Скалярное пр-е в-ра

20.   Векторное пр-е в-ра

21.   Смешанное пр-е в-ров

22.   Деление отрезка в данном отношении

т М ¹ В делит отрезок [АВ] в отношении l, если АМ = l× АВ. Т. М расположена на Ав при этом, если

1 М внутренняя точка АВ, то l  >0 (случайц внутреннего деления)

2 М=А, l  = 0

3 М лежит вне Ав, l  <0 (случай внешнего деления)

Других вариантов расположения т. М быть не может, и ни водном из вариантов l ¹ -1

Если  А(r1), B(r2), M(r) – точки пространства и М – делит АВ в отн l, тогда:

это соотношение в координатной форме имеет вид: для А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) и M(x,y,z)

Если М – середина АВ, то l =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так:

Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и задачу решают первые 2 ф-лы ,а если А и В М лежат на плоскости ОХ, тор первой ф-лой.

23.  Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой

Если взять на плоскости фиксированную точку О и какую-либо прямую L, то положение этой прямой относительно плоскости будет определено если задать расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра из  т. О на эту прямую; и единичный вектор n0=1 – перпендикулярный прямой L и направленный из начальной т. О к этой прямой.

Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется так, что проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:

это соотношение выполняется для каждой точки прямой L и нарушается когда т. М лежит вне ее.

Заметив, что: это можно записать так:

 (2) полученное ур-е наз. нормальным (нормированным) уравнением прямой в векторной форме. Радиус в-р r – произвольной точки прямой наз. текущим радиус в-ром прямой.

Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее начало в т. О, в-ры r, n0 можно записать так:

n0={cosj, sinj}; r={x,y}

уравнение (2) примет вид:

 (3) это нормальное уравнение прямой в координатной форме, относительно прямых х и у; оно явл ур-ем 1 степени, тем самым в Декартовой прямоугольной системе всякое положение прямой определяется ур-ем 1 степени относительно переменных х и у верно и обратное.

Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А²+В² ¹ 0

если домножить его на постоянный множитель m, положа:

m×А= cosj, m×В= sinj, m×С = -р, где:

называется нормирующим множителем.

И уравнение получается нормальным .Общее уравнение (4) определяет прямую как множество точек М плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Нормальный в-р прямой -  всякий ненулевой (не обязательно- единичный) в-р перпендикулярный этой прямой. Вектор n = {A,B} будет нормальным вектором прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом коэффициенты А и В при текущих координатах х и у являются координатами нормального в-ра этой прямой. Все отсальный нормальные в-ры прямой можно получить умножая в-р n на произвольное ¹ 0 число.

24.  Уравнение прямой на плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.

Для того, чтобы найти ур-е прЯмой L, проходящей через т. М0, заданную радиус-вектором r0={x0,y0}, перпендикулярную вектору  n={A,B}, проведем радиус-вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой

в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру n, поэтому их скалярное пр-е = 0

(r-r0)× n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М принадлежащих прямой и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным уравнением исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой в коорд форме:

A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)

25.  Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..

Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я  Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз. неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти ОХУ. Возможны случаи:

1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат

2 А=0 L: Ву+С=0 -  нормальный в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось ОХ

3 В = 0 L: Ay+C=0 0 -  номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая параллельна ось ОУ

4 А=0, С=0 L: By=0Ûy=0ÛL=OX

5 B=0, C=0 L: Ax=0Ûx=0ÛL=OY

6 A ¹ 0, В ¹ 0, С ¹ 0 L; - не проходит через начало координат и пересекает обе оси.

26.   Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если общее уравнение прямой, при В ¹ 0 переписать в виде:

и приравняв:

 и получим ур-е с угловым коэффициентом

у=кх+b (10), где число к = tga, a - величина угла наклона прямой к оси ОХ, угол, отсчитываемый в направлении противоположном движению часовой стрелки от положительного направления оси ОХ до данной прямой.

В случае L||ОХ, или L=OX, a=0

В случае L||ОY, или L=OY, a=П/2 и угловой коэффициент не существует.

27.  Ур-е прямой, проход через данную т., с данным угловым коэфф. Ур-е прямой проход через две данные точки.

Если прямая задана т М0(х0, у0) и угловым коэффициентом к, тогда на основании ур-я (10) можно получить ур-е искомой прямой:

у-у0=к(х-х0) (11)

Ур-е прямой проходящей через две заданных точки

Зададим прямую точками  М1(х1,у1) и М2(х2,у2), х1 ¹ х2. М1 и М2 принадлежат прямой, откуда следует:

у-у1=к(х-х1) для М1и у-у2=к(х-х2) для М2

откуда:

(12) Эта ф-ла позволяет вычисли ть угловой коэффициент, зная коорд двух точек.

Если у1 ¹ у2, то подставляя к из ф-лы (12) в равенство: у-у1=к(х-х1), получаем:

(13) Искомое уравнении прямой, проход через две заданных точки.

28.   Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстоянием от т. М* до прямой L наз. длину отрезка М*N – перпендикуляра L^{^} опущенного из т. М* на эту прямую.

Если М*(х*, у*) – заданная точка,

а  - нормальное ур-к прямой L, то расстояние от М* до L выч. по ф-ле:

d=d(M*,L)=|x*cosj+y*sinj-p| (14)

 d=d(M*,L)=|r^x×n0 -p|

обозначим через d(M*,L)= r^x×n0 –p= x*cosj+y*sinj-p т. е.: d(M*,L)= |d|

по знаку d можно судить о расположении точек О и М*, относительно прямой L:

Если О и М* расположены по разные стороны относительно прямой, то d  > 0 , если по одну сторону – то d<0.  Величина d называется отклонением т. М* от прямой L.

Если прямая задана общим уравнением, то расстояние вычисляется по ф-ле:

29.   Уравнение прямой в отрезках

Рассматривая общее ур-е прямой, при А,В,С ¹ 0, переписав его в виде:

 и  положив

а = - С/A в = - С/В получим ур-е прямой в отрезках:

 (16)

Для нахождения т. М1 пересечения  прямой (16) с осью ОХ достаточно решить систему уравнений:

для пересечения с осью ОУ получаем:

Параметры а и в в(16) определяют величину отрезков Ом1 и ОМ2, отсекаемых прямой от осей координат.

30.   каноническое уравнение прямой

Ненулевой в-р коллинеарный прямой называется ее направляющим в-ром.

Из аксиом следует, что через заданную точку проходит только одна прямая с заданным направляющим в-ром.

 Прямая L, с направл. в-ром S проходящая через т. М0(х0, у0). проходит через т. М(х,у) тогда и только тогда, когда в-ры М0М и S 0 коллинеарны т. е. М0М=tS, t'R) (17) Это ур-е наз векторным уравнением прямой.

Если М0(х0, у0), М(х,у) – текущие точки прямой L;  S={m,n} – направляющий вектор прямой , тогда в-р М0М = {x-x0, y-y0}

Записав условия коллинеарности из (17) в векторной форме получим: x-x0=tm, y-y0=tn или:

(18) Ур-е наз. каноническим ур-ем прямой на плоскости.

Обозначает лишь пропорциональность и в случае, когда m = 0 или n = 0 равносильно ур-ям:  х-х0=0 или у-у0=0 соответственно.

31.   Параметрическое уравнение прямой на плоскости.

Представляет собой другую форму записи ур-я (17)

пусть r=ОМ, а r0=OM0 – радиус в-ры точек М и М0 относительно начала координат, тогда М0М = r-r0 и ур-е (17) зап. в виде: r=r0+tS, t'R

или в координатной форме, в системе ОХУ:

(20), t'R

ур-я (19) и (20) наз параметрическими уравнениями прямой на плоскости в векторной и координатной формах.

32.   Угол между двумя прямыми на плоскости.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости

а) прямые L1 L2 заданы общими уравнениями

L1:=А1х+В1у+С1=0, А1²+В1²>0

L2:=А2х+В2у+С2=0, А2²+В2²>0

j(угол между ними)= углу между их нормальными в-рами n1 ={A1,B1}  и n2={A2,B2}

оттуда вытекает, что

L1|| L2 Û n1 || n2Û n1 = ln2

A1=lA2, B1=lB2

L1 ^ L2 Û n1 ^  n2Û n1×n2 =0 Û

Û A1×A2+B1×B2=0

б) прямые заданы каноническим уравнением

угол между ними равен углу между их направляющими векторами:

S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому:

L1|| L2 Û S1 || S2

L1 ^ L2 Û S1 ^ S2 Û S1×S2=0 Û

m1×m2+n1×n2=0

в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом

L1:= у=к1х+в1

L2:= у=к2х+в2

за угол между прямыми принимаемся наименьший угол на который нужно повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2 вокруг т. пересечения прямых.

Через a1 и a2 обоз углы наклона прямых  L1 и L2 к оси ОХ

Угол между прямыми j= a2- a1

tga1=k1, tga2=k2

L1|| L2 Û a1 = a2 (j=0) Û k1=k2

L1 ^ L2 Û j=П/2

k2=  -1/k1

33.   Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.

Зафиксировав неку т. О в пространстве положение плоскости П будет определено, если задать следующие величины: расстояние до нее от начальной т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра, опущенного из т. О на плоскость П и единичный в-р n0, |n0|=1, перпендикулярный плоскости П и направленный из начальной т. О к этой плоскости.

Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так, что

pr_n0 OM=p (1)

это соотношение вып для каждой т. принадлежащей плоскости, а для не принадлежащей – нарушается.

(1) являет уравнением этой Плоскости П

pr_n0 OM=r×n0 или r×n0-p=0 (2)

ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Радиус-вектор r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус вектором.

Введем в пространстве прямоугольную Декартову систему координат, поместив ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0 можно записать так: n0={cosa, cosb, cosd);

r={x,y,z}

Ур-е (2) примет вид:

x× cosa +y×cosb+z×cosd-p=0 (3) – нормальное уравнение плоскости в координатной форме

Особенности ур-я (3)

1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1:

cos²a+cos²b+cos²d=1

2 свободный член (-р) £0

Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени.

Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость

Ур-е:

Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида.

Всякий ненулевой, перпендикулярный плоскости вектор наз. нормальным вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный в-р плоскости, заданной ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в ур-е (4) являются координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие нормальные вектора получают из в-ра n умножая его на любое ¹ 0 число.

34.   Ур-е плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению

Уравнение плоскости, проходящей через т. М0, заданной r0={x0,y0,x0}, перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так:

Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р М0М=r-r0 лежит в плоскости П и значит перпендикулярен в-ру n., поэтому их скалярное пр-е = 0

(r-r0)×n=0 (1) Рав-во (1) справедливо для всех т. М плоскости П и нарушается если М не принадлежит этой плоскости, тем самым – (1) – векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме это выражается так:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0

35.   Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости

По виду общего ур-я можно судить о том как лежит плоскость относительно системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я = 0, то оно наз. неполным.

Возможны случаи:

1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат

2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 -  нормальный в-р n={0,B,C} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ

3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0  -  нормальный в-р n={А,0,С} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ

4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А,B,0} перпендикулярен OZÛП ||OZ плоскость параллельна оси OZ

5 А=0, C=0 П: By+D=0Û y= - D/BÛ тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит П||OXZ

6 А=0, В=0 П: Cz+D=0Ûz= - D/CÛ П||ОХ, П||OY значит П||OXY

7 C=0, В=0 П: Ax+D=0Û x= - D/AÛ П||ОZ, П||OY значит П||OYZ

8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 Û z=0Û П||ОXY, O Π П значит П= OXY

9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 Û y=0Û П||ОXZ, O Π П значит П= OXZ

10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 Û x=0Û П||ОXY, O Π П значит П= OXY

11 A ¹ 0, В ¹ 0, С ¹ 0 П; - не параллельна ни одной из осей и пересекает их.

36.   Уравнение плоскости проходящей через три данный точки

Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие на одной прямой. Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости.

r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и r={x,y,z} – радиус векторы данных точек.

В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1  их смешанное произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию:

(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10)

а ее координаты линейному уравнению:

 (11)

ур-е (10) векторное, а ур-е (11) – координатные уравнения искомой плоскости.

37.   Уравнение плоскости в отрезках.

 Представив общее ур-е плоскости при A,B,C,D ¹ 0 в виде:

и положив a= - D/A, b = -D/B, c = -D/C, получим уравнение плоскости в отрезках:

Найдем координаты точек М1, М2, М3 пересечения П с осями OX, OY, OZ

для М1 имеем

x=a, значит М1(а,0,0)

аналогично получаем:

М2(0,в,0): М3(0,0,с)

Значения а,в,с определяют величину отрезков, отсекаемых П на осях координат.

38.   Расстояние от точки до плоскости

Пусть М*(x*,y*,z*) – заданная точка,

xcosa+ycosb+cosg-р=0 – заданное уравнение плоскости

расстояние от т. М* до плоскости П выч. по ф-ле:

d=d(M*, П) = |x*cosa+y*cosb+z* cosg| (13)

обозначим через d(M*, П)=r*×n0-p= x*cosa+y*cosb+z* cosg-p. Если т М* и т. О –начало координат лежат по разные стороны от П, то d>0, а если по одну сторону, то d<0, d - отклонение т. М* от плоскости П.

Если П задана общим уравнением, то расстояние от т. М* до П =

39.   Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

П1 и П2 две заданные плоскости

П1: A1x+B1y+C1Z+D1=0

П2: A2x+B2y+C2Z+D2=0

A1²+B1²+C1²>0, A2²+B2²+C2²>0

углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов образованных этими плоскостями. (в случае параллельности угол между ними равен 0 или П) один из этих двугранных углов = <j между нормальными в-рами: n1={A1,B1,C1} и n2={A2,B2,C2} этих плоскостей.

Отсюда вытекает:

П1 || П2 Û n1 || n2 Û n1=ln2 Û A1=lА2, B1=lB2, C1=lC2

условие параллельности плоскостей

П1 ^ П2 Û n1^ n2 Û n1×n2=0 Û A1A2+B1B2 + C1C2=0 условие перпендикулярности плоскостей.

40.   параметрические уравнения прямой в пространстве.

 Положение прямой в пространстве будет однозначно определено, если задать т. М0 на прямой (при помощи радиус-в-ра r0, относит некоторого фиксированного О) и направляющего в-ра S (S ¹ 0), которому прямая параллельна.

Перемещение т. М прямой, соотв ее радиус в-ру ОМ=r ОМ=ОМ0+М0М (1)

М0М||S, M0M=t×S  

r=r0+t×S (2)

Введем в пространство прямоугольную декартову систему координат, поместив начало координат в т. О.

т. М0 имеет коорд. (x0,y0,z0); т. M (x,y,z), напр. в-р S={m,n,k}, тогда ур-е записанное в коорд форме:

(3)

Ур-я (2) и (3) наз. параметрическими уравнениями прямой в пространстве в векторной и координатной форме  соответственно. Числа m,n,k наз. направляющими коэффициентами этой прямой.

41.   Каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение (2), озн. коллинеарность в-ров r-r0 и S может быть записана и в терминах пропорциональности в-ров.

r-r0={x-x0,y-y0,z-z0}; S={m,n,k}

(4)

Ур-е (4) наз. каноническим ур-ем прямой в пространстве, в нём x0,y0,z0 – коорд. Т. М., лежащей на прямой, а m,n,k – координаты направляющего в-ра прямой.

Система ур-й (4) определяет прямую, как линию пересечения двух плоскостей.

Также как и для канонического уравнения на плоскости ур-е (4) говорит лишь о пропорциональности координат в-ров: r-r0 и S. Если например m=0, то ур-е переходит в ур-е x-x0=0, 

если m=0 и n=0, то у р-е будет:

x-x0=0, у-у0=0,

42.   Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Еси на до найтить урювнение примой проход. через т. М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2)

Для решения в каноническом виде:

Надо знать коорд одной из точек нах на прямой и направляющий в-р. За т. на прямой можно принять любую , например, М1(x1,y1,z1), за направляющий вектор прямой –

вектор М1М2 = {x2-x1,y2-y1,z2-z1}

Уравнение искомой прямой следует из ур-я (4):

(5)

43.   Общее уравнение прямой в пространстве. переход к каноническим уравнениям

Всякие две непараллельные между собой и не совпадающие плоскости, определяют прямую, как линию их пересечения.

Пусть ур-я этих плоскостей в прямоугольной декартовой системе координат OXYZ:

П1: A1x+B1y+C1z+D1=0

П2:A2x+B2y+C2z+D2=0

рассматриваемые совместно:

(6)

Эти уравнения наз. общими уравнениями прямой L, являющийся линией пересечения этих плоскостей. От общий уравнений прямой можно перейти к каноническим, для этого надо знать какую-нибудь точку прямой и её направляющий вектор. точку прямой наёдем из (6), выбирая одну из координат произвольно и решая полученную систему относительно оставшихся 2 координат. Для отыскания направляющего в-ра S прямой, заметим, что этот в-р, направленный по линии пересечения данных плоскостей должен быть перпендикулярен нормальным в-рам n1={A1,B1,C1} и n2{A2,B2,C2} так как векторное произведение n1х n2 перпендикулярно каждому из векторов n1 n2, то в качестве напр. в-ра можно взять в-р S= n1х n2.

Найденные координаты подставляются в ур-е (4)

44.   Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

<j между двумя прямыми L1, L2 = углу между направляющими в-рами:S1={m1,n1,k1} и S2={m2,n2,k2}, посему:

(8)

Возможные случаи:

1 L1 || L2 отсюда вытекает S1 || S2

(9)

2 L1 ^ L2 отсюда вытекает S1 ^ S2 = 0Û Û m1×m2+n1×n2+ к1×к2=0

45.   Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Если дана прямая:

и плоскость:

П: Ax+By+Cz+D=0

<j между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных прямой с её проекцией на эту плоскость.

Угол буде равен:

a=углу между нормальным в-ром Плоскости П n и направляющим в-ром прямой S.

возможны случаи:

1 L || П отсюда вытекает S ^ n Û S× n = 0

Am+Bn+Ck=0 –уравнение параллельности прямой и плоскости.

2 L1 ^ L2 отсюда вытекает n || S

 - уравнение перпендикулярности прямой и плоскости.