5) Mножество хR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х₀[a,b]: f(х₀)=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х₀=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х₀)=f(х₀)-с=0 => f(х₀)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а₁)*g(b₁)<0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а₂)*g(b₂)<0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка [a_N,b_N] будем иметь: g(a_N)<0, g(b_N)>0, причем длина его равна b_N-a_N=(b-a)/2ⁿ0 при n. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках =>  точка x₀ из промежутка [a,b], для которой Lim a_N=Lim b_N= x₀. Покажем, что x₀-удовлетворяет требованию теоремы: g(a_N)<0, g(b_N)>0 => переходим к пределам: Lim g(a_N)0, Lim g(b_N)0, используем условие непрерывности: g(x₀)0 g(x₀)0 => g(x₀)=0 => f(х₀)-c=0 => f(х₀)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у₁,у₂У; у₁уу₂, тогда существуют х₁,х₂Х: у₁=f(х₁), у₂=f(х₂). Применяя теорему к отрезку [х₁,х₂]Х (если х₁<х₂) и к отрезку

[х₂,х₁]Х (если х₂<х₁) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при xa) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при xa)

Доказательство:

Пусть x_N: x_Na - произвольная посл-ть из области определения ф-ции хf(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность y_N: y_N=g(x_N) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(y_N)=f(b) (n) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(x_N))=Lim f(y_N)=f(b) (n). Заметим что в посл-ти y_N - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения y_Nb в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(y_N)f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x₀, а функция f непрерывна в точке у₀=g(x₀), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х₀.

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х₀ что f(х₀)=у₀ - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у₀ из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х₀Х, что f(х₀)=у₀. Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х₁> или <х₀, то соответственно и f(х₁)> или 0). Сопоставля именно это значение х₀ произвольно взятому у₀ из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’ у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у₀) при уу₀. Пусть f`(у<sub>0</sub>)=х<sub>0</sub>. Возьмем произвольно Е>0. Имеем уУ: |f`(у)-f`(у₀)|<Е <=> х₀-Е0+Е <=> f(х₀-Е)<у0+Е) <=> f(х₀-Е)-у₀<у-у₀0+Е)-у₀ <=> -’<у-у₀<”, где ’=у₀-f(х₀-Е)>у₀-f(х₀)=0, ”=f(х₀+Е)-у₀>f(х₀)-у₀=0,

полагая =min{’,”} имеем: как только |у-у₀|< => -’<у-у₀<” <=> |f`(у)-f`(у₀)|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция х^M/N - где mZ, nN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций х^M и х^1/M => ф-ция х^M/N - непрерывна при х>0. Если х=0, то х^M/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию х^N, nN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.

n=0: х^N тождественно равно константе => х^N - непрерывна х^-N=1/х^N, учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х0

2) х^N (nN) - тоже непрерывная функция

3) х^-N=1/х^N - суперпозиция ф-ий 1/х и х^N при х0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х^-N - непрерывная при х0, т.о. получили что х^MmZ - непрерывная ф-ция при х0. При х>0ф-ция х^N nN строго монотонно возрастает и ф-ция х^Nнепрерывна=>функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х^1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида а^X, а>0, а1 xQ.

Свойства: для mZ nN

1) (а^M)^1/N = (а^1/N)^M

(а^M)^1/N=(((а^1/N)^N)^M)^1/N = ((а^1/N)^N*M)^1/N = (((а^1/N)^M)^N)^1/N = (а^1/N)^M

2) (а^M)^1/N=b <=> а^M=b^N

3) (а^M*K)^1/N*K=(а^M)^1/N

(а^M*K)^1/N*K=b <=> а^M*K=b^N*K <=> а^M=b^N <=> (а^M)^1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: a^M/N=(а^M)^1/N=(а^1/N)^M,a^-M/N=1/a^M/N, а⁰=1

Св-ва: x,yQ

1) a^X * a^Y = a^X+Y

a^X * a^Y =b; x=m/n, y=-k/n => a^M/N * 1/a^K/N = b => a^M/N = b * a^K/N => a^M = b^N * a^K => a^M-K = b^N => a^(M-K)/N = b => a^X+Y = b

2) a^X/a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

(a^X)^Y=b; x=m/n, y=k/s => (a^M/N)^K/S=b => (a^M/N)^K=b^S => (a^1/N)^M*K=b^S => (a^M*K)^1/N=b^S => a^M*K=b^S*N => a^(M*K)/(S*N)=b => a^X*Y=b

4) x a^XY (a>1) - монотонность

z=y-x>0; a^Y=a^Z+X => a^Y-a^X=a^Z+X-a^X=a^X*a^Z-a^X=a^X*(a^Z-1) => если a^Z>1 при z>0, то a^XY.

z=m/n => a^Z=(a^1/N)^M => a^1/N>1 => (a^1/N)^M>1 => a^X*(a^Z-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x0 a^X1 (xR)

Т.к. Lim a^1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n₀: n>n₀ 1-E-1/N1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/NX1/N => 1-EX<1+E. => Lim a^X=1 (при x0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X, а>0, а1 xR.

Свойства: x,yR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_Nx, y_Ny => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_Nx, y_Ky => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x a^XY (a>1) - монотонность.

xR; x_Nx x’_Nx’ x_N,x’_NQ => x_NN => a^Xn < a^X’n => (n) a^Xa^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ a^Q>1 => a^X-X’1 => aXX’ - строго монотонна

5) при x n0 a^X 1

Т.к. Lim a^1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n₀: n>n₀ 1-E-1/N1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/NX1/N => 1-EX<1+E. => Lim a^X=1 (при x0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X=1 (n из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X-a^Xo= a^Xo(a^X-Xo - 1) при хx₀ x-x₀ n0 => a^X-x₀ n1 => при хx₀ lim(a^X - a^Xo)=

Lim a^Xo*Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна

33.Предел функции (1+x)^1/X при x0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)^1/X = e при x0

У нас есть Lim (1+1/n)ⁿ = e при n

Лемма: Пусть n_K n_KN Тогда (1+1/n_K)^Nke

Доказательство:

E>0 k₀: n>n₀ 0n n_K  k₀: k>k₀ => n_K>n₀ => 0k)^Nk

Lim (1+x_K)^1/Xk при x0+:

1/x_K=z_K+y_K, z_KN => 0y_K<1 => (1+1/z_K+1)^Zk<(1+x_K)^1/Xk < (1+1/z_K)^Zk+1=(1+1/z_K)^Zk*(1+1/z_K)=>(1+1/z_K+1)^Zk=(1+1/z_K+1)^Zk+1)/(1+1/z_K+1) => (1+1/z_K+1)^Zk+1/(1+1/z_K+1) < (1+x_K)^1/Xk < (1+1/z_K)^Zk*(1+1/z_K) kучитывая, что: (1+1/z_K)1 (1+1/z_K+1)1 => получаем:

eLim (1+x_K)^1/Xke => Lim (1+x_K)^1/Xk=e => Lim (1+x)^1/X=e при x0+

Lim (1+x_K)^1/Xk при x0-:

y_K=-x_K0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)^1/X=e при x0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)^1/X=e при x0

2) n lim (1+x/n)^N = (lim (1+x/n)^N/X)^X = e^X

3) xx^ R - непрерывна

x^=(e^{Ln x})^=e^{*Ln x}

непр непр непр непр

xLn x*Ln^{*Ln x} => xe^{*Ln x}

4) x0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)^1/X = Ln e = 1

4’) x0 Lim Log_A(1+x)^1/X = 1/Ln a

5) x0 Lim (e^X-1)/x = {e^X-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x0 Lim (a^X-1)/x = Ln a

6) x0 Lim ((1+x)^-1)/x = Lim ([e^*^{Ln (1+x)} -1/[Ln(1+x)]Ln (1+x)]/x = 11=

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция хf(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):x[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=, иначе mR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (с_N), такую что Lim c_N=m. Т.к. nN: c_N x_N[a,b]: c_NN)m. x_N - ограничена =>  x_Kn. Т.к. ax_Кnb => [a,b].

Для mR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем c_Knm.

Для m=+ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем c_Knm. Переходя к пределу в нер-вах c_KnKn)m, получим

Lim f(x_Kn)=b n но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x_Kn)=f() => f()=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке . Существование точки =Inf{f(x):x[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: Е>0  >0: х’,х”: |х’-х”|< => |f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там  зависит от Е и от х”, то здесь  не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если Е>0  >0: х’,х”: |х’-х”|< => |f(x’)-f(x”)|Е>0

Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|<, x’,x”I}, IDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf() называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf() = +Sin x - Wf() = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: Е>0 >0: Wf()Е Lim Wf()=0 0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>Е>0 >0 х’,х”: |х’-х”|<=>|f(x’)-f(x”)|Е. Возьмем  =1/к, кN х_K, х’_K[a,b]: |х_K-х’_K|<1/к |f(x_K)-f(x’_K)|E

Т.к х_K - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть x_Ks сходящуюся к х₀. Получаем: |х_Ks-х’_Ks|<1/к

х_Ks-1/k<х’_Ks<х_Ks-1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’_Ksх₀ k_S |f(x_Ks)-f(x’_Ks)|E к_S0E - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x₀ к функции xf(x): возьмем еще одну точку х соединим x₀ и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при хx₀, если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x₀,f(x₀) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x₀)+f(x₀). Необходимо только опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число х0 так, чтобы x₀+хХ. Рассмотрим секущую М_ОМ, М_О(x₀,f(x₀)), М(x₀+х,f(x₀+х)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(х)(х-x₀)+f(x₀), где k=f((x₀+х)-f(x₀))/х - наклон секущей. Если существует Lim к(х) при х0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(х)=при х0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(х))*(y-f(x₀))+x₀ перейдя к пределам при х0, получим x=x₀ (Lim x=Lim x₀ х0 => x = Lim x₀)

Определение: Производным значением функции f в точке х₀ называется число f’(х₀)=Lim (f(x₀+х)-f(x₀))/х xx₀, если этот предел существует.

Геометрически f’(х₀) - это наклон невертикальной касательной в точке (x₀,f(x₀)). Уравнение касательной y=f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀). Если Lim (f(x₀+х)-f(x₀))/х= х0, то пишут f`(x<sub>0</sub>)= касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x<sub>0</sub>. f`(x₀)=lim(f(x₀+х)-f(x₀))/х xx₀=>(f(x₀+х)-f(x₀))/х=f’(x₀)+(x), (x)0 при xx₀. f(x₀+х)-f(x₀)=f`(x₀)*х+(x)*х учитывая, что x₀+х=x и обозначая (x)*х через o(x-x₀) получим f(x)=f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)+o(x-x₀). Необхо димо заметить, что o(x-x₀) уменьшается быстрее чем (x-x₀) при xx₀ (т.к. o(x-x₀)/(x-x₀)0 при xx₀)

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x₀ если сR: в некоторой окрестности точки x₀ f(x)=С(x-x₀)+f(x₀)+o(x-x₀)

Теорема: Функция диффференцируема в точке x₀ <=>  f’(x₀)

Доказательство:

<=: f(x)=f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)+o(x-x₀) => f`(x₀)=C

=>: f(x)=C(x-x₀)+f(x₀)+o(x-x₀) => (f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=C+o(x-x₀)/(x-x₀)=C+(x), (x)0 при xx₀.

Переходим к пределу при xx₀ => Lim (f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x₀)

Определение: Если функция хf(x) дифференцируема в точке x₀, то линейная функция хf’(x₀)*х называется дифференциалом функции f в точке x₀ и

обозначается df(x₀). (диф-ал ф-ции хх обозначают dx). Т.о. df(x₀):хf`(x<sub>0</sub>)*х и dх:хх. Отсюда df(x<sub>0</sub>)=f’(x<sub>0</sub>)*dх => df(x<sub>0</sub>)/dх: хf`(x₀)*х/х=f’(x₀) при х0. В силу этого пишут также f’(x₀)=df(x₀)/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x₀, то f непрерывна в точке x₀.

Докозательство: f(x)=f(x₀)+f’(x₀)*(x-x₀)+o(x-x₀)f(x₀) при xx₀ => f непрерывна в точке x₀.

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x₀: это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x₀. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x₀, тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x₀)0) дифференцируемы в точке x₀ и:

1) (f+g)’(x₀)=f’(x₀)+g’(x₀)

2) (f*g)’(x₀)=f’(x₀)*g(x₀)+f(x₀)*g’(x₀)

3) (f/g)’(x₀)=(f’(x₀)*g(x₀)-f(x₀)*g’(x₀))/g(x₀)²

Доказательство:

1) f(x₀)=f(x₀+x)-f(x₀)

g(x₀)=g(x₀+x)-g(x₀)

(f+g)(x₀)=f(x₀)+g(x₀)=f(x₀+x)-f(x₀)+g(x₀+x)-g(x₀)

(f+g)(x₀)/x=(f(x₀+x)-f(x₀)+g(x₀+x)-g(x₀))/x=(f(x₀+x)-f(x₀))/x+(g(x₀+x)-g(x₀))/xf’(x₀)+g’(x₀) при x0

2)(f*g)(x₀)=f(x₀+x)*g(x₀+x)-f(x₀)*g(x₀)=(f(x₀)+f(x₀))*(g(x₀)+(x₀))-f(x₀)*g(x₀)=g(x₀)*f(x₀)+f(x₀)*g(x₀)+f(x₀)*g(x₀) (f*g)(x₀)/x=g(x₀)*(f(x₀)/x)+f(x₀)*(g(x₀)/x)+(f(x₀)/x)*(g(x₀)/x)*xf’(x₀)*g(x₀)+f(x₀)*g’(x₀) при x0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x₀ => Ф-ция g - непрерывна в точке x₀ => Е>0 (Е=|g(x₀)|/2) >0: |x|<=> |g(x₀+x)-g(x₀)|<|g(x₀)|/2.

g(x₀)-|g(x₀)|/20+x)0)+|g(x₀)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|x|<) видим что g(x₀+x)0.

Рассмотрим разность (1/g(x₀+x)-1/g(x₀))/x = -(g(x₀+x)-g(x₀))/x*g(x₀+x)*g(x₀) -g’(x₀)/g(x₀)² при x0

(f/g)’(x₀)=(f*1/g)’(x₀) => (2) = f’(x₀)*1/g(x₀)+f(x₀)*(1/g)’(x₀)=f`(x₀)*1/g(x₀)+f(x₀)*(-g’(x₀)/g(x₀)²)=(f’(x₀)*g(x₀)-f(x₀)*g’(x₀))/g(x₀)²

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x₀) = Cos (x₀)

2) Cos’(x₀) = -Sin (x₀)

Доказательство:

1)f/x=(Sin(x₀+x)-Sin(x₀))/x = Sin(x/2)/(x/2) * Cos(x₀+x/2) Сos x₀ при x0

2) g/x=(Cos(x₀+x)-cos(x₀))/x=Sin(x/2)/(x/2)*-Sin(x₀+x/2) -Sin x₀ при x0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x₀, а ф-ция f диф-ма в точке y₀=g(x₀), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x₀ и h’(x₀)=f`(y₀)*g’(x₀)

Доказательство:

y=y-y₀, x=x-x₀, f(y₀)=f’(y₀)*y+o(y), g(xo)=g’(xo)*x+o(x), y=g(x₀+x)

h(x₀)=f(g(x₀+x))-f(g(x₀))=f(y)-f(y₀)=f’(y₀)*y+o(y)=f’(y₀)*(g(x₀+x)-g(x₀))+o(g)==f’(y₀)*(g’(x₀)*x+o(x))+o(y)= f’(y₀)*g’(x₀)*x+f’(y₀)*o(x)+o(y)

h(x₀)/x=f’(y₀)*g’(x₀)+r, r=f`(y₀)*o(x)/x+o(y)/x

r=f`(y<sub>0</sub>)*o(x)/x+o(y)/x=f`(y₀)*((x)*x)/x+(’(x)*y)/x=f’(y₀)*(x)+’(x)*y/xf’(y₀)*0 + 0*g’(y₀) при x0 ((x)0 ’(x)0)

Производная:

1) x^=*x^-1

Lim (y/x)=lim((x+x)^-x^)/x = Lim x^* ((1+x/x)^)/x/x. Используя замечательный предел x0 Lim ((1+x)^-1)/x=, получим x0

Lim x^*Lim((1+x/x)^)/x/x = x^

2) (a^X)’=a^X*Ln a (xa^X)’=(xe^X*Ln a)’

xe^X*Ln a - композиция функций xе^X и xx*Ln a обе непрерывны на R => (xa^X)’=(xе ^X*Ln a)’=(xе^X*Ln a)’*(xx*Ln a)’=a^X*Ln a

Д-во : (e^X)’=e^X

Lim(y/x)=Lim(e^X+X-e^X)/x=Lime^X*(e^X-1)/x, используя зам-ный предел при x0 Lim(e^X-1)/x=1, получим при x0 Lim(y/x)=e^X

3) (Log_A(x))’=1/x*Ln a

Lim(y/x) = Lim (Log_A(x+x) - Log_A(x))/x = Lim 1/x*Log_A(1+x/x)/x/x, используя замечательный предел при x0 Lim Log_A(1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (y/x) = Lim 1/x*Lim Log_A(1+x/x)/x/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y₀, то g’(y₀)=1/f’(x₀), где y₀=f(x₀)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x₀))=g’(f(x₀))*f’(x₀)=1, g’(f(x₀))=g(y₀)=1/f’(x₀)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает () в (а,b) тогда  обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (). Если f диф-ма в точке x₀() и f’(x₀)0, то g диф-ма в точке y₀=f(x₀) и g’(y₀)=1/f’(x₀)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y₀: y_Ny₀, y_Ny₀ =>  посл-ть x_N: x_N=g(y_N), f(x_N)=y_N

g(y_N)-g(y₀)/y_N-y_O = x_N-x_O/f(y_N)-f(y_O) = 1/f(y_N)-f(y_O)/x_N-x_O  1/f’(xo) при nполучили при x_Nx_O g(y_N)-g(y_O)/y_N-y_O1/f’(x_O) => g’(у_O)=1/f’(x_O)

Производные:

1) xrcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. rcsin: [-1,1][-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2][0,1], то Cos y0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin²y)^1/2 = 1/(1-x²)^1/2

2) xArccos’x = -1/(1-x²)^1/2

3) xArctg’x = 1/1+x²

4) xArcctg’x= -1/1+x²

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x_O, то ф-ция f’(x):xf’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x_O или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x_O и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через f^N(x_O) - производную порядка n функции f в точке x_O и при n=0 считаем f⁰(x_O)=f(x_O).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x_O (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция xf^N-1(x) непрерывна в точке x_O, а при n2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x_O.

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке x_O называют функцию dхf^N(x)*dх и обозначают d^Nf(x). Таким образом d^Nf(x):dхf^N(x)dx^N.

Так как f^N(x)dх^N:dхf^N(x)dx^N, то d^Nf(x)=f^N(x)dхN. В силу этого соотношения производную f^N(x) обозначают также d^Nf(x)/dх^N

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d²y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х²)dx => d²y=у”(х²)dx²x+y’(x)*d²x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д²y=у’(х²)*dx²x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u⁰*v^N+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С⁰_N=1. Произведение u^N+1*v⁰ входит только в первую сумму с коэффициентом С^N_N=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид u^K*v^N+1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =>

получаем f^N+1(x)=u⁰*v^N+1++ u^N+1*v⁰=

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть xb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+(x-a))(x-a) 0<т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все х(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=> f’(x)0(f’(x)0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), с(x’,x”). По условию имеем f’(x)f’(x)в (a;b) => f’(c)f’(c)f(x”)f(x’)( f(x”)f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).

Следствие: Если x_O-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой -окр-ти точки x_O имеет разные знаки, то x_O-экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)x_O(-) => локальный min, (-)x_O(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло <=> если  А,ВМ [А,В]М

[А,В]М => [А,В]={А+t(В-А):t[0,1]} => А(1-t)+tВМ

[А,В]М => А,ВМ; ₁=1-t, ₂=t => ₁+₂=1 ₁,₂0 => ₁А+₂ВМ

Рассмотрим точки: А₁,А₂,...А_NМ ₁,₂0 i=1,n):_= 1

Докажем что i=1,n):_*А_I М

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) _=1 => приравниваем ₁=...=_=0 => верно

б) _<1 _*А₁ +...+ _*А_ +_*А_= (1-_)((_/1-_)*А₁+...+(_/1-_)*А_) + _*А_ = (1-_)*B + _*А_

BМ - по индуктивному предположению А_М - по условию=>(1-_)*B + _*А_М Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: А_IМ _0 i=1,n):_=1 => i=1,n):_*А_I М, x_I0, f(x_I)y_I => i=1,n):_*А_I =_x_I;_*y_If(_x_I)_*y_I

Неравенство Йенсена: А_IМ _0 _=1f(_x_I)_*f(x_I)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) x’,x_O,x”(a;b) x’O

(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(x_O-x’)(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’) => yf(x_O); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-x_O)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O) =>yf(x_O)

(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O)

“<=”