Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

            Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных[1] оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

            Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям[2] и оказались достаточно эффективными, [5-11].

            Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

   Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями  j=1,2,...,n, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют вектор , w(×)=. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов , lÎ(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал  назовем яркостью излучения e(×). Вектор  назовем цветом излучения e(×). Если  цвет e(×) и само излучение назовем черным. Поскольку равенства  и  эквивалентны, равенство  имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае  - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e(×) назовем белым и его цвет обозначим  если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

.

Векторы  , и   , , удобно считать элементами n-мерного линейного пространства . Векторы f_e, соответствующие различным излучениям e(×), содержатся в  конусе .  Концы векторов  содержатся в множестве , где Ï - гиперплоскость .

            Далее предполагается, что всякое излучение  , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями  все их выпуклые комбинации (смеси)  Поэтому векторы  в  образуют выпуклый конус , а векторы .

            Если то и их аддитивная смесь . Для нее

                  .                                             (1)

Отсюда следует

            Лемма 1. Яркость f_e и цвет  j_e любой аддитивной смеси e(×) излучений e₁(×),...,e_m(×), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.

            Подчеркнем, что равенство , означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и , как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e(×) на  в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

            Далее предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать базовые излучения , для которых векторы , j=1,...,n, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными, , j=1,...,n. В таком случае излучение  характеризуется лишь цветом , j=1,...,n.

            Для всякого излучения e(×) можно записать разложение

,                                                                      (1*)

в котором  - координаты  в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению e_j(×), i, j=1,...,n. Матрица  - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений  неотрицательны и , j=1,...,n. При этом яркость  и вектор цвета , , j=1,...,n, (конец которого лежит в Ï) определяются координатами a_j и цветами излучений , j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(×).

            В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .

            Заметим, что слагаемые в (1*), у которых a_j<0,[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -a_j>0: . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

            Определим в  скалярное произведение  и векторы , биортогонально сопряженные с : , i,j=1,...,n.

            Лемма 2. В разложении (1*) ,  j=1,...,n, . Яркость , где , причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так как , i,j=1,...,n.

            Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов  были координатами  f_e в некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов  и, тем более, для , [4].

            Пусть Х - поле зрения, например,  ограниченная область на плоскости R₂, или на сетке ,  спектральная чувствительность j-го детектора излучения, расположенного  в точке  ;   - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию

                                                                           (2**)

            Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображение определим равенством

   ,                                                                     (2)

в котором почти для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

 .

Цветные изображения образуют подкласс функций  лебеговского класса  функций . Класс цветных изображений обозначим L_E,_n.

            Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент  называется цветным изображением, а условие

                                                                   (2*)

условием физичности изображений f(×).

            Если f(×) - цветное изображение (2), то , как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , . Изображение  , назовем черно-белым вариантом цветного изображения f(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках множества Â={xÎX: f(x)=0} черного цвета j(x), xÎÂ, - произвольные векторы из , удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f(×) будем также называть цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b, xÎX.

3. Форма цветного изображения.

            Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения  в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

            Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×):, ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .

            Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет  преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A(j), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j. Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство  влечет . Если  - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j¢) и A(j) цвет изображения  может оказаться одинаковым[5].

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

            Для определения понятия формы цветного изображения f(×) на   удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1), 2) , , то , ; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно,  означает, что изображения f(×) и g(×) сравнимы по форме, причем форма  g(×)  не сложнее, чем форма f(×).      Если  и , то f(×) и g(×) назовем совпадающими по форме (изоморфными), f(×) _~ g(×). Например, если f(×) и g(×) - изображения одной и той же сцены, то g(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f (×), если .

            В рассматриваемом выше примере преобразования изображений , если между множествами A(j), и A¢(j¢), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A¢(j¢(j))= A(j),, причем, если . В этом случае равенства  и  эквивалентны,  и  изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

            Если же  не взаимно однозначно, то A¢(j¢)=U A(j) и . В этом случае равенство  влечет  (но не эквивалентно) ,  передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .

            Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX. Если преобразование  - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f(×), g(×) - изображения одной и той же сцены, но в g(×), вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть  F - некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования FÎF , поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f(×), то они, тем более, не будут отражены в g(×).

            Формой  изображения f(×) назовем множество изображений , форма которых не сложнее, чем форма f`(×), и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее  . Если считать, что  для  любого изображения , то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости в   в том смысле, что .

            Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

            Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде   здесь  - индикаторные функции непересекающихся подмножеств А_i, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции , ,  j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны.  Поскольку согласно лемме 2

  ,                              (3)

то цветное изображение f_e(×), такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве A_i, i=1,...,N. Для изображения ,  где , также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом A_i, если , - непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость  постоянны на A_i, i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения , если  не зависит явно от .  Для такого изображения примем следующее представление:

,                     (4)

его черно-белый вариант

                                                                           (4*)

на каждом A_i  имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)

                                                                (4**)

  не меняется на A_i и равен , i=1,...,N.

            Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения (4), имеющего на различных множествах А_i имеет несовпадающие яркости   и различные цвета , определим как выпуклый замкнутый в конус:

 .           (4***)

v(a), очевидно, содержится в n×N мерном линейном подпространстве

 ,            (4****)

 которое назовем формой a(×) в широком смысле.

            Форму в широком смысле любого изображения a(×), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах A_i ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство , натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF, где F - класс преобразований , определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во всех точках xÎX; здесь F - любое преобразование . Тот факт, что F означает как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения.

            Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А_i, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.

Лемма 3. Пусть {А_i} - измеримое разбиение X: .

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве A_i :

- постоянную яркость  и цвет  , если и только если выполняется равенство (4);

- постоянный цвет , если и только если в (3)                                                            ;

- постоянную яркость f_i , i=1,...,N, если и только если в (3)  не зависит от  , i=1,…...,N.

            Доказательство .     На множестве A_i яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]

                                     ,  , i=1,.…..,N.

            Если выполнено равенство (4), то   и  от  не зависят. Наоборот, если  и , то и , т.е. выполняется (4).

            Если   , то цвет  не зависит от  . Наоборот, пусть   не зависит от . В силу линейной независимости  координаты j_(i)(x) не зависят от  , т.е.  и, следовательно,    где  - яркость на A _i  и . Последнее утверждение очевидно n

            Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств A_i , i=1,...,N, поля зрения X.

            Итак, пусть в согласии с леммой 3

 ,                                        (5)

где,  - индикаторная функция A_i, , функция g_i(×) задает распределение яркости

                                                              (6)

в пределах A_i  при постоянном цвете

,  i=1,...,N,                       (7)

причем для изображения (5) цвета j_(i), i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции  g_(i), i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям  i=1,.…..,N.

            Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки   , позволяющее упростить выражения (6) и (7)  для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A_i задается функцией  а цвет на A_i равен

                            (7*)

            Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

                                              (8)

,                                                    

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого A_i, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в изображении  на некоторых различных подмножествах A_i, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение цвета  на различных подмножествах A_i, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения  по сравнению с формой f(×)  (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных A_i, i=1,...,N, считаются изоморфными f(×) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f(×). Если , то, очевидно, .

            Если в (8) яркость , то цвет  на A_i считается произвольным (постоянным), если же  в точках некоторого подмножества , то цвет  на A_i считается равным цвету  на , i=1,...,N.

            Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на A_i, i=1,...,N, тот же цвет, что и у  то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости  остаются произвольными (если , то цвет  на A_i определяется равным цвету f(×) на A_i, i=1,...,N).

            Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(×) в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости  при неизменном цвете j(x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения

                                                  (9)

назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти для всех , [ср. 2].  является линейным подпространством , содержащем любую форму

,                                       (10)

в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то  - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .

            Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.

            Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными)  изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения  в том случае, когда считается, что   для любого преобразования , действующего на изображение  как на вектор  в каждой точке  и оставляющего  элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле  определяется как оператор  наилучшего приближения изображения  изображениями

где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

                                                                (10*)

а  - оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для  является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого .

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в  цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение  поля зрения X  и требуется определить  из условия

                           (11)

            Теорема 1.  Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид

,  i=1,...,N,  j=1,...,n,                                  (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

 .                (13)

Оператор  является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)  изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого A_i , i=1,...,N.

            Черно-белый вариант  (4*) цветного изображения (4) является наилучшей в  аппроксимацией черно-белого варианта  цветного изображения f(×) (2), если цветное изображение (4) является наилучшей в  аппроксимацией цветного изображения f(×) (2). Оператор , является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого .

В точках множества  цвет (4**) наилучшей аппроксимации (4) цветного изображения f(×) (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(×) излучений, которые попадают на .

Доказательство.     Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(×) на . Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX.   ■

            Замечание 1. Для любого измеримого разбиения  ортогональные проекторы  и  определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом  и различна для разных ,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус  (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что  [2]. Дело в том, что оператор   определяет форму   изображения (4), а именно

 - множество собственных функций оператора . Поскольку  f(×) - наилучшее приближение изображения  изображениями из , для любого изображения  из  и только для таких - . Поэтому проектор  можно отождествить с формой изображения (4).

            Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор  можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

            Примечания.

            Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами  и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если  оператор наилучшего в  приближения злементами выпуклого замкнутого (в  и в ) конуса , то  . Иначе говоря, для определения наилучшего в  приближения  элементами  можно вначале найти ортогональную проекцию  изображения  на , а затем  спроецировать в  на . При этом конечномерный проектор  для каждого конкретного конуса  может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

            Форма в широком смысле  (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением

,                                           

если векторы  попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле  может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).

            Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство  (10*) для произвольного изображения . Пусть  - множество значений  и  - измеримое разбиение X , порожденное , в котором  - подмножество X , в пределах которого изображение  имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .

            Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение  можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

                            (*)

где  - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению

            В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- -  C - измеримо, ;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;

- минимальная s-алгебра, содержащая все  , совпадает с C.

            Лемма (*). Пусть  - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и - то множество из , которое содержит . Тогда для любой C-измеримой функции

и m-почти для всех   [    ].            n

            Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть  - минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где  - прообраз борелевского множества , B - s-алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на  и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).

            Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений  X, причем - минимальная s-алгебра, содержащая все  и П^(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

            Тогда

1) для любого -измеримого изображения   и почти для всех ,             ,

2) для любого изображения  при   (в ), где П - ортогональный проектор на .

            Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A^(N+1) - продолжение разбиения A^(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П^(N), N=1,2,..., монотонно неубывает:  и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как  - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения

 , то для любого изображения  и для любого  , ибо -измеримо, N=1,2,...           n

            Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

            Заданы векторы f₁,...,f_q, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f₁,...,f_q. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×), в которой задано не разбиение  поля зрения X, а векторы  в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение  - наилучшая в  аппроксимация f(×). Так как

,              (14*)

то в A_i следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q, или, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

     ,           (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

            Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором

                          (15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из  в  по формуле , , i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения  и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

            Теорема 2.     Пусть   - заданные векторы R_n. Решение задачи

наилучшего в  приближения изображения f(×) изображениями  имеет вид , где  - индикаторная функция множества . Множество  определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F²=F, т.е. является пректором.

            Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

            Замечание 3. Выберем векторы f_i, i=1,..,q  единичной длины: , i=1,...,q. Тогда

.                 (16)

            Множества (16) являются конусами в R_n , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение  изображения f(×) инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f(×).

            Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов  оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения  соответственно на измеримых множествах  (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в ) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из  - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

            Иначе говоря, в данном случае формой изображения  является множество всех изображений, принимающих заданные значения  на множествах положительной меры  любого разбиения X, и их пределов в .

            Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями , в котором требуется определить как векторы , так и множества  так, чтобы

.                         

            Следствие 1.

            Пусть D_i ,i=1,...,N, - подмножества R_n (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда необходимые и достаточные условия  суть следующие: , где , .

            Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть  - исходные векторы в задаче (14*),  - соответствующее оптимальное разбиение (14), F⁽¹⁾- оператор наилучшего приближения и  - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения  оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П⁽¹⁾ (13) обеспечит не менее точное приближение f(×), чем F⁽¹⁾: . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение  и построим оператор наилучшего приближения F⁽²⁾. Тогда . На следующем шаге по разбиению  строим  и оператор П⁽³⁾ и т.д.

            В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f(X) и построим по формуле (15) разбиение R_n . Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E^(N(q)), множества , j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями  множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2...  -измеримы и  является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом A_i,i=1,...,N.

            Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

            Запишем изображение (5) в виде

                                                                (17)

где  .

            Пусть A₁,...,A_N - заданное разбиение X,  - индикаторная функция A_i, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в  приближения изображения  изображениями (17), не требуя, чтобы

                       (18)

            Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения  изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A₁,...,A_N  поля зрения X, (см. Лемму 3).

            Так как 

то минимум S (19) по   достигается при

,                                                       (20)

и равен

                                                            (21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

.                                    (22)

            В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор 

 .                                                          (23)

            Максимум (неотрицательной) квадратичной формы  на сфере в R_n, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y_i оператора Ф_i, отвечающем максимальному собственному значению >0,

,

и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен  и достигается, например, при

            Теорема 3. Пусть A₁,...,A_N -заданное измеримое разбиение X, причем[9] m(A_i)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения  изображениями g(×) (17) является изображение

                          (24)

            Операторы  ,i=1,...,N, и  - нелинейные (зависящие от f(×)) проекторы: П_i проецирует в R_n векторы  на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор  оператора Ф_i  (23), отвечающий наибольшему собственному значению r_i,

;                                                (25)

П проецирует в  изображение  на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

                          (19*).

            Доказательство. Равентство (24) и выражение для П_i следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф_i (23). Поскольку Ф_i самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф_i  неотрицательны и среди них r_i - наибольшее.

            Для доказательства свойств операторов П_i, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):

                                                          (26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П_i, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

            Пусть f_i - cсобственный вектор Ф_i , отвечающий максимальному собственному значению r_i. Чтобы определить  следует решить задачу на собственные значения для оператора :

.

Поскольку rank=1,  имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно r_i, и ему соответствует единственный собственный вектор f_i. Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для                               n

            Лемма 4. Для любого изображения  решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .

            Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f_i оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению r_i, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если  то согласно (23) , поскольку включение  означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) .

            Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e₁,...,e_n, в котором , выходной сигнал i-го детектора в точке  (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,

где , .

            Так как матрица  симметрическая и неотрицательно определенная () она имеет n неотрицательных собственных значений, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение  - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:

. Следовательно, вектор f_i определен с точностью до положительного множителя , .         n

            Замечание 4.

Если  , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 , .

            Наоборот, если , то

 , т.е.  определяется выражением (17), в котором  .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f₁,.…..,f_N попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A₁,...,A_N попарно различны. Тогда форма в широком смысле  изображения (17) есть множество решений уравнения

,,                                                       (27)

где , f_i - собственный вектор оператора Ф_i:  , отвечающий максимальному собственному значению r_i, i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).

            Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения  , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения  (17).

            Заданы векторы цвета j₁,..., j_q, требуется определить разбиение A₁,..., A_q, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета  j₁,..., j_q и оптимальные распределения яркостей [10].

            Речь идет о следующей задаче наилучшего в  приближения изображения

.           (28)

            Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

,              (29)

и достигается на

,                                               (30)

то, как нетрудно убедиться,

,                (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xÎX, в которых выполняется равенство  могут быть произвольно отнесены к одному из множеств A_i или A_j.

            Пусть  - разбиение , в котором

                        (32)

а F: R_n-> R_n оператор, определенный условием

                         (33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

,                                        (34)

где  - индикаторная функция множества A_i (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в  по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

            Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

              (35)

имеет решение

                (36)

            Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

,                                   (37)

где  - индикаторная функция множества

,                (38)

            В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F⁺: R_n-> R_n, действующий согласно формуле

                    (39)

где

, так что ,i=1,...q.  (40)

            Подытожим сказанное.

            Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в приближения изображения  изображениями на искомых множествах A₁,...,A_q разбиения X заданные цветами j₁,..., j_q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A₁,...,A_q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.

            Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов  j₁,..., j_q на некоторых множествах положительной меры A₁,...,A_q разбиение поля зрения можно назвать оператор  (34), формой такого изображения является оператор F⁺ (37). Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F⁺g(×)=g(×), те из них, у которых m(A_i)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму.                                    n

            В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы  рассмотрим задачу наилучшего в  приближения изображения  такими изображениями

,                         (41)

            Теорема 5. Решение  задачи (41) дается равенством

,               (42)

в котором , где  . Невязка приближения

,                      (43)

(   !)                                                       n

            Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

или - проектор  на .

            Всякое изображение g(×),  распределение цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится в  и является неподвижной точкой оператора

: g(×) = g(×).                                                                                 (#)

            Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j(×), не представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что  - форма любого изображения f(x) = f(x)j(x),  f(x)>0, xÎX(modm), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(×).

            Замечание 5. Пусть j₁,..., j_N - исходный набор цветов, , A₁,...,A_N - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и

,                                              (34*)

- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)

,                                                                     (24*)

если A₁,...,A_N - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A₁,...,A_N - заданное в теореме 3 разбиение X и f₁,...,f_N - собственные векторы операторов Ф₁,...,Ф_N (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f₁,...,f_N  и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j_i как цвет f_i в (24), i=1,...,N.

            Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N.

            Разумеется, условие постоянства цвета на множествах A_i, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

                                                        (17*)

в котором  в (3).

            Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×) изображениями этого класса предстоит найти  , векторы  при любом i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

,                   (*)

из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N  векторы  должны быть определены из условия

                        (**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

            Лемма 5. Пусть  ортогональные собственные векторы оператора Ф_i  (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами .

            Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф_i - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в R_n. Пусть P_i - ортогонально проецирует в R_n на линейную оболочку  собственных векторов  и

[P_i Ф_i P_i] - сужение оператора P_i Ф_i P_i на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [P_i Ф_i P_i]

, где  - j-ое собственное значение оператора  (см., например, [10]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме.    ■

            Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом  случае  имеет  место утверждение, аналогичное теореме 3.

            Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×) изображениями (17*) имеет вид

,

            Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

            Невязка наилучшего приближения равна

.                    n

            Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение  и функции , как решение задачи

                                    (30)

            При любом разбиении минимум в (30) по  достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

                (31)

где точки , в которых выполняется равенство  могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

            Таким образом доказана

            Теорема 6. Пусть  заданные векторы R_n. Решением задачи (30) является изображение  

 ,

где ортогональный проектор  определен равенством (25), а  - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N.  Невязка наилучшего приближения равна

.                             n

            Замечание 5.  Так как при 

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

,                                            (32)

показывающем, что множество  в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет.

                                                                                                            Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены  и c_i⁰ , i=1,...,N, такие, что

.

            Теорема 7. Для заданного изображения f(×) определим множества  равенствами (32), оператор П - равенством (24),   - равенствами (25). Тогда ,

определено равенством (32), в котором  - собственный вектор оператора Ф_i (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) , наконец,  будет дано равенством (20), в котором , где  - собственный вектор оператора , отвечающий наибольшему собственному значению ; наконец,

.            n

            Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f(×) зададим  и по теореме 5 найдем  и , затем по теореме 3, используя  найдем  и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по  найдем  и  и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений  очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .

            Формы  (10) и  (9) удобно задавать операторами П_f  и П_*f соответственно.

            Теорема 7. Форма  в широком смысле изображения определяется ортогональным проектором П_*f :

 ,

при этом  и .

            Доказательство. Так как для  , то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум , решение которой определяется условиями (см., например, [11]) . Отсюда следует, что  и тем самым доказано и второе утверждение      n

            Замечание. Так как , где f_i(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке , причем f_i(x)³0 ,i=1,...,n, и, следовательно цвет  реальных изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия  и , эквивалентны. Если же для некоторого , то условие  не влечет . Заметим также, что для изображений g(×), удовлетворяющих условию , всегда .

            Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением

                                                               (40)

В котором

. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f(×) , в которых f₁(×) - любая неотрицательная функция из , j₁(×) - фиксированное векторное поле цвета, f₂(×) - термояркость, j₂(×) - термоцвет в точке . Форма П_*f видимой компоненты f(×) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

, в данном случае

, причем П_*f действует фактически только на  "видимую компоненту" g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.

            Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j₂(×) f₂(×).

            Некоторые применения.

            Задачи идентификации сцен.

            Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

            1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

            Можно ли считать f(×) и g(×) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?

            В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f(×) и g(×) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета , для которого v(j(×)) содержит f(×) и g(×). Если , и , то, очевидно, существует , при котором f(x)Îv(j(×)), g(x)Îv(j(×)), а именно, , , если , , если , и, наконец,  - произвольно, если .

            На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g(×) изображением сцены, представленной изображением f(×)? Ответ следует считать утвердительным, если

.

Здесь j(×) - распределение цвета на изображении f(×), символ ~0 означает, что значение d(g(×)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g(×) и f(×) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g(×) по сравнению с распределением цвета f(×), представлены в .

            2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.

            Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?

            Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×), определенная в теореме @, П_* - форма f(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если . Если изменение g(×) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на .

            3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

            Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX - подмножество поля зрения, c_A(×) - его индикатор, c_A(×)f(×) -назовем фрагментом изображения f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на g(×) фрагмент изображения, представляющий на f(×) фрагмент сцены и совместить его с c_A(×)f(×).

            Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R₂->R₂, преобразование изображения  назовем сдвигом g(×) на h. Здесь

Q(h): R_n->R_n, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст

.

            В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g(×) в “окне” A:

                                                                                       (100)

причем, поскольку  где  то в (100)  - ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах поля зрения X.

            Если кроме цвета g(×) может отличаться от f(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и  - форма фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум

.(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g(×), соответствующий фрагменту c_A(×)f(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h_*,  совпадает с c_A(×)f(×)  с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что

.

т.е. в (101) при h=h_* достигается минимум.

            4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.

            Рассмотрим два изображения  и . Определим форму в широком смысле  как множество всех линейных преобразований :  (A - линейный оператор R₂->R₂, не зависящий от xÎX). Для определения проектора на  рассмотрим задачу на минимум

.        [*]

Пусть , , тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A^*AS - 2trAB _~ . Ее решение  (знаком ^- обозначено псевдообращение).

=

=

Рис.1.

f_e - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), j_e - его цвет; j₁,j₂,j₃, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.

Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2]  Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3]  Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4]  Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.

[8]  Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9]  Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года и т.п.

[2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в работе[3].

[3] вектор f_e будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит вы].

[3] вектор f_e будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу

[4]черта символизирует замыкание,  - выпуклый замкнутый конус в R_n.

[5] Если  - более детальное изображение , то некоторые A(j) могут “ращепиться” на несколько подмножеств A¢(j¢), на каждом из которых цвет  постоянный, но различный на разных подмножествах A¢(j¢). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(×), v(f(×)) не может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой точке поля зрения Х.

[7]- класс неотрицательных функций  принадлежащих .

[8]Одна и та же буква F использована как для оператора , так и для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто используется в работе.

[9]Если m(A_s)=0, то в задаче наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на A_s можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину невязки s.

[10]Векторы j₁,..., j_q выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих интерес.