Реферат: Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез

Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»

Вариант № 15

Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто

Самара - 2002

Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:

№

 

 №

 

 №

 

 №

 
1 4 31 10 61 20 91 44
2 19 32 25 62 16 92 12
3 25 33 38 63 15 93 16
4 -4 34 1 64 32 94 9
5 58 35 19 65 52 95 12
6 34 36 55 66 -5 96 40
7 32 37 9 67 21 97 17
8 36 38 11 68 30 98 10
9 37 39 6 69 27 99 31
10 4 40 31 70 12 100 49
11 24 41 17 71 19 101 25
12 3 42 -6 72 1 102 33
13 48 43 14 73 23 103 26
14 36 44 9 74 7 104 19
15 27 45 13 75 4 105 25
16 20 46 25 76 16 106 34
17 1 47 11 77 38 107 10
18 39 48 18 78 40 108 24
19 11 49 2 79 30 109 2
20 16 50 29 80 14 110 38
21 49 51 20 81 51 111 30
22 25 52 48 82 17 112 10
23 26 53 16 83 25 113 39
24 30 54 29 84 34 114 1
25 19 55 12 85 23 115 40
26 32 56 -3 86 20 116 7
27 3 57 16 87 9 117 26
28 40 58 41 88 29 118 36
29 45 59 19 89 18 119 22
30 35 60 0 90 46 120 28

Все эти протокольные значения считаются значениями выборки

некоторой случайной величины , а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки

другой случайной величины

Требуется:

1.    Построить вариационные ряды для случайных величин  и .

2.    Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин  и .

Образец заполнения таблицы для статистического ряда.

№ пр-ка

Границы промежутка

Середина промежутка

Количество элементов выборки в промежутке

Частота для промежутка
1

2
… … … … …

3.    Построить гистограммы распределения случайных величин  и .

4.    Найти выборочное среднее ,  и исправленные выборочные дисперсии: ,  случайных величин  и .

5.    Проверить, используя метод  гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин  и  при уровне значимости .

6.    Построить график функции плотности распределения  случайной величины  в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки  и ) и вычислив значение функции  в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

7.    Выполнить задание 6 для случайной величины .

8.    Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин  и , соответствующие доверительной вероятности .

9.    Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости .

10.  Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости .

 

Решение

1.    Построить вариационные ряды для случайных величин  и .

Вариационный ряд величины

-6 12 22 33
-5 12 23 34
-4 12 23 34
-3 12 24 34
0 13 24 35
1 14 25 36
1 14 25 36
1 15 25 36
1 16 25 37
2 16 25 38
2 16 25 38
3 16 25 38
3 16 26 39
4 16 26 39
4 17 26 40
4 17 27 40
6 17 27 40
7 18 28 40
7 18 29 41
9 19 29 44
9 19 29 45
9 19 30 46
9 19 30 48
10 19 30 48
10 19 30 49
10 20 31 49
10 20 31 51
11 20 32 52
11 20 32 55
11 21 32 58

Вариационный ряд величины

1 21
2 22
2 23
3 23
4 24
4 25
6 25
9 25
9 25
10 26
10 26
11 26
11 27
12 27
12 30
13 30
14 31
15 32
16 37
16 38
16 38
17 39
17 40
18 44
19 45
19 48
19 49
19 51
20 52
20 58

2.    Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин  и .

Найдем количество элементов выборок после группировки элементов

Величина :

Величина :

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

№ пр-ка

Границы промежутка

Середина промежутка

Количество элементов выборки в промежутке

Частота для промежутка
1 -8 ; 0 -4 4 0.0333
2 -0 ; 8 4 15 0.1250
3 8 ; 16 12 19 0.1583
4 16 ; 24 20 25 0.2083
5 24 ; 32 28 24 0.2000
6 32 ; 40 36 17 0.1417
7 40 ; 48 44 8 0.0667
8 48 ; 56 52 8 0.0667

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

№ пр-ка

Границы промежутка

Середина промежутка

Количество элементов выборки в промежутке

Частота для промежутка
1 0; 9 4,5 7 0.1167
2 9 ; 18 13,5 16 0.2667
3 18 ; 27 22,5 19 0.3167
4 27 ; 36 31,5 6 0.1000
5 36 ; 45 40,5 6 0.1000
6 45 ; 54 49,5 5 0.0833
7 54 ; 63 58,5 1 0.0167

      

3.    Построить гистограммы распределения случайных величин  и .

Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.

4.    Найти выборочное среднее ,  и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: ,  случайных величин  и .

Выборочное среднее  случайной величины  равно

Выборочное среднее случайно величины  равно

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение  случайной величины :

=14.3632

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение  случайной величины :

=13.5727

   

5.    Проверить, используя метод  гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин  и  при уровне значимости .

Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины .

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где   - объем выборки,  - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,

Построим вспомогательную таблицу:

1 4 -1.9169 4.2461 0.0606 0.014
2 15 -1.3600 10.5760 19.572 1.850
3 19 -0.8030 19.3161 0.0999 0.005
4 25 -0.2460 25.8695 0.7561 0.0292
5 24 0.3110 25.4056 1.9757 0.0778
6 17 0.8680 18.2954 1.6780 0.0917
7 8 1.4249 9.6610 2.7590 0.2856
8 8 1.9819 3.7409 18.139 4.8491

В итоге получим = 7,2035

По таблице критических точек распределения  ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим

Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .

Для случайной величины :

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где   - объем выборки,  - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,

1 7 -1.4036 5.9274 1.1504 0.1941
2 16 -0.7405 12.0665 15.4725 1.2823
3 19 -0.0774 15.8248 10.0820 0.6371
4 6 0.5857 13.3702 54.3197 4.0627
5 6 1.2488 7.2775 1.6319 0.2242
6 5 1.9119 2.5519 5.9932 2.3485
7 1 2.5750 0.5765 0.1794 0.3111

В итоге получим = 8.1783

По таблице критических точек распределения  ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы  7 - 3=4 находим

Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .

6.    Построить график функции плотности распределения  случайной величины  в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки  и ) и вычислив значение функции  в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.



7.    Выполнить задание 6 для случайной величины .


 


 

8.    Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин  и , соответствующие доверительной вероятности .

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с  степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для  выглядит следующим образом:

Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

То есть: (20,93721;26,12946).

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с  степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для  выглядит следующим образом:

Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

То есть: (20,043;27,056).

Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности  имеет вид

Для случайной величины  найдем:

.

Таким образом, имеем доверительный интервал:  (162,8696; 273,8515).

Для случайной величины  найдем

Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).

(Квантили распределения  найдены по таблице [3], стр. 413).

9.    Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости .

Рассмотрим статистику

,

где

,

которая имеет распределение Стъюдента ,

Тогда область принятия гипотезы .

Найдем s:

Найдем значение статистики :

По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)

Т. к. , то гипотеза  принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий   не противоречит результатам наблюдений.

10.  Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости.

Рассмотрим статистику  , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы  

Найдем значение статистики :

По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза  принимается. Предположение  не противоречит результатам наблюдений.

Библиографический список

1.        Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.

2.        Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.

3.        Гмурман  В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.

4.        Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.