Реферат: Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС₃

Проверил: Беляков Г.С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался  минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1.   Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А                          1                           Б

4                           В                          2

Д                          3                           Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта  А.

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины y_i используя правило:

Если y_j + l_ij < y_i , то величина y_i = y_j + l_ij , в противном случае y_i оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

y_A + l_4A=0+9=9 < y₄=¥  Þ  y₄=9

y_A + l_BA=0+13=13 < y_B=¥  Þ  y_B=13

y_A + l_1A=0+8,32=8,32 < y₁=¥  Þ  y₁=8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого y_i перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y₄ + l_B4=9+7=16 > y_B=13 

y₄ + l_Д4=9+8=17 < у_Д=¥  Þ  y_Д=17

y_В + l_ДВ=13+12=25 > y_Д=17

y_В + l_БВ=13+15=28 < у_Б=¥  Þ  y_Б=28

y_В + l_1В=13+9=22 > у₁=8,32 

y₁ + l_В1=8,32+10=18,32 > y_В=13

y₁ + l_Б1=8,32+8,32=16,64 < у_Б=28  Þ  y_Б=16,64

y_Д + l_4Д=8,32+17=25,32 > y₄=9

y_Д + l_ВД=17+12,32=29,32 > y_В=13

y_Б + l_ВБ=16,64+15,32=31 > y_В=13

y_Б + l_1Б=16,64+8=24,64 > y₁=8,32

Теперь проверим условие l_ij ³ y_i - y_j  для всех дуг сети.

l_4A = у₄ - у_А       9=9-0

l_4Д > у₄ – у_Д      8,32>9-17

l_Д4 = у_Д – у₄        8=17-9    

l_ДВ > у_Д – у_В     12>17-13

l_BA = y_B - y_A       13=13-0

l_BД > y_B – y_Д       12,32>13-17

l_BБ > y_B – y_Б       15,32>13-16,64

l_B4 > y_B – y₄       7>13-9

l_B1 > y_B – y₁       10>13-8,32

l_БВ > у_Б - у_В         15>16,64-13

l_Б1 = у_Б – у₁         8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А         8,32=8,32-0

l_1В > у₁ – у_В         9>8,32-13

l_1Б > у₁ – у_Б         8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

l_ij = y_i - y_j

Таковыми являются:

l_4A = у₄ - у_А         9=9-0

l_Д4 = у_Д – у₄           8=17-9          

l_BA = y_B - y_A        13=13-0

l_Б1 = у_Б – у₁         8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А         8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2.   Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

3.   Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное  значение целевой функции z

              n+1  n+1                                                            

min z = S  S  l_ij * x_ij

                 i=1   j=1

при следующих ограничениях:

n  из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

S x_ij = 1       i=1, ......, n+1

j=1

n  в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

S  x_ij = 1        j=1, ......, n+1 

i=1

n  переменные x_ij могуть принимать одно из двух значений:  0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

n  решение есть простой цикл

4.   Решение задачи:

Б – Г,    Д – В,   В – А,   А – Б,   Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок.  (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы  в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие  элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим.  Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

min z = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий  (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части,  потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

Затраты на транспортировку 1т  аб потребителям, С_ij,  руб

Математическая модель транспортной задачи:

                  m     n

min z = S  S C_ij * x_ij

                 i=1   j=1

Ограничения:

       n

n S x_ij = a_i        i=1, ......, m

j=1

весь продукт a_i имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

         m

n S x_ij = b_j        j=1, ......, n

i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

n  x_ij ³ 0           i=1, ...., m;      j=1, ...., n

x_ij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

В_ф=S а_i  - S b_j = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная  величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб,  С^p_i + E*K^p_i + C_ij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки x_ij.

Проверяем план на вырожденность:

m + n  - 1 = 8  =  8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца B_ф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (U_i + V_j = С^p_i + E*K^p_i + C_ij).

Проверяем план на оптимальность:

·     число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

·     для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

·     для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

U_i + V_j < С^p_i + E*K^p_i + C_ij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

K_i = S x_ij / x_i

S x_ij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

x_i – мощность i-го АБЗ

Так как ни один K_i не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем  смешанную строку с минимальной величиной K_i и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину С^p_i + E*K^p_i + C_ij для клеток третьей строки.

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Для одной свободной клетки не выполняется условие                                          U_i + V_j < С^p_i + E*K^p_i + C_ij  поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка х_п = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.