Реферат: Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
Прусаков Д. В.
«Первая
краевая задача
для уравнения
теплопроводности
в нецилиндрической
неограниченной
области» 1998- 99
уч. г.
Введение 3
1.Постановка задачи 3
2. Оценочный анализ решения задачи. 4
2.1. Оценка решения сверху. 4
2.2. Оценка решения в виде интеграла 5
2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности 8
3. Формулировка результата в виде теоремы 10
4. Примеры 11
Заключение 12
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13
Введение
В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.
В дипломной работе рассматривается задача:
(З)
0
.
t
x
Требуется
привести пример
оценки решения
задачи (З) в
области
, и исследовать
полученную
оценку при
2. Оценочный анализ решения задачи.
Оценка решения
задачи (З) основывается
на принципе
максимума для
уравнения
теплопроводности
: «Всякое решение
уравнения
в прямоугольнике
, непрерывное
вплоть до границы,
принимает свои
наибольшее
и наименьшее
значения на
нижних или на
боковых его
границах» [2].
2.1. Оценка решения сверху.
В области t=t
, x=
рассмотрим
решение задачи
:
,
V(0,x) =
(
x ), x
, (1)
это решение имеет вид [1]:
v (t, x) =
.
(2)
Зафиксируем
некоторое
и
перейдем к
исходной системе
координат,
тогда (2) в системе
t=t,
x=
будет выглядеть
так:
V(t, x) =
(2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:
U( t, x )
V( t, x ). (3)
Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).
2.2. Оценка решения в виде интеграла
Разобьем интервал
<
x
на две части
и
,
тогда интеграл
(2’)
запишется
в виде:
V( t, x ) =
.
(*)
Исследуем
знак подинтегрального
выражения,
принимая во
внимание, то
что
:
;
(а)
;
;
где
.
После проведенного исследования видно, что
Использовав
известное
разложение
,
где Z
0,
,
заменим
экспоненты
во втором интеграле
рядами:
(а)
;
(б)
.
В результате получим :
Здесь:
,
, (4.1)
,
.
(4.2)
Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:
m=1,
U(t, x)
.
(5)
Выше приведенная
оценка не отражает
качественной
картины и может
быть использована
при дальнейших
исследованиях
задач подобного
вида. ( т .к .
фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).
пусть
(т.е.
финитна),
в соответствии
с принципом
максимума:
, (3’)
при
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
Аналогично, как и выше
здесь:
Таким образом,
(используем разложение в ряд Тейлора)
В итоге,
(5.1)
Рассмотрим два случая:
а)
Пусть
,
тогда в правой
части неравенства
(5.1) третье и четвертое
(3,4) слагаемые
стремятся к
нулю быстрее
любой степени
,
поэтому (5.1) можно переписать как:
(5.2)
б)
Пусть
тогда:
где
В результате получаем:
(5.3)
2.3. Выбор
интервала (
) и оценка
погрешности
Зададим
произвольно
некоторую
константу
>0,
потребовав
чтобы в (5)
.
при
.
Неравенство (5) можно только усилить, если
(6)
Рассмотрим
общий вид
:
; (7)
,
(7.1)
b=x ( k=1 )
, b=2
(k=2)
оценка (7.1) эквивалентна
системе неравенств:
,
откуда:
.
(8)
Т. к. в работе
исследуется
поведение
неравенства
(3) при
то принимаем
что для некоторого
:
.
(9)
3. Формулировка результата в виде теоремы
Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:
1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
(З)
-
гладкая, непрерывно
- дифференцируемая
функция на
,а
функция
ограничена
на R
:
.
Тогда
для любого
сколь малого
числа
можно указать
число
,
такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З):
Раскрыв квадратные скобки, получим:
.
Пусть в имеет место задача (З),
-
монотонная,
неограниченная,
возрастающая
функция,
тогда:если
,
то
2) если
то
Замечанние:видно,
что оценку
полученную
в теореме 2 можно
получить и при
более слабых
ограничениях
4. Примеры
Пусть
,
.
Заключение
В дипломной работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1966 (с. 230 -233);
С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 . 33-34);
Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М. 1989.