у

y

2)

y

1

F (-1,0)

x

-1

F(1,0)

y² = - 4x, p=2, F(-1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

4)

х

х

0

F(0,-1)

Х² = - 4у, р = - 2, F (0, -1)

У = 1 – уравнение директрисы

Рис. 7

		х
			0

                              -1

2)   О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.

 Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.

Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом   и определяемое равенством  = а₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁.

Например, Вычислить определитель  = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26

Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.

Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом  и определяемое равенством  = а₁₁*а₂₂*а₃₃ + а₁₂*а₂₃*а₃₁ + а₁₃*а₃₂*а₂₁ – (а₁₃*а₂₂*а₃₁+а₃₂*а₂₃ *а₁₁+а₃₃*а₁₂*а₂₁).

Например,  = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10

Перечислим свойства определителей:

1.   Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.

2.   Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.

3.   Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.

4.   Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5.   Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.

Например,  =  

Алгебраическое дополнение. Минор.

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij. Минор М_ij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.

Например, в определителе,  Минором к элементу 4 является М₁₃= = = 10+2=12.

Алгебраическое дополнение А_ij есть минор М_ij , умноженный на (-1)^i+j, т.е.

А_ij = (-1)^i+j M_ij

В приведенном примере А₁₃= (-1)¹⁺³ М₁₃ = (-1)⁴ *  = 10+2=12.

В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.

Продолжим изложение свойств определителей.

6.   Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.

Например,  = а₁₁*А₁₁ +а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.

7.   Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Например, а₁₁ А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃А₂₃=0.

Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.

Пример. Вычислить определитель  двумя способами.

первый способ.  = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 +         +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца.  = -3 А₁₂ + 5А₂₂ + 1А₃₂ = -3(-1)¹⁺²  + 5(-1)²⁺²  +(-1)³⁺²  = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

 а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = в₁

 а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = в₂

 а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = в₃

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃. Вещественные числа а_ij (i = , j = ) называются коэффициентами системы. в₁, в₂, в₃ – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в₁, в₂, в₃, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:

 а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = 0

 а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = 0

 а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:

Δ =

Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х₁ = Δх₁/ Δ; х₂== Δх₂/ Δ; х₃== Δх₃/ Δ; где

Δх₁=  ; Δх₂= ; Δх₃= .

Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х₁=∆х₂=∆х₃ отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ∆=0, и ∆х₁=∆х₂=∆х₃=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

1)   Вычислим определитель системы ∆ =  = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.

2)   Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х =  = 5; ∆у =  = 13; ∆z =  = 1.

3)   По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

1)   Составим и вычислим определитель системы ∆=  = 0.

2)   Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

 ∆х = = 0, ∆у =  = -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.

 Тема 7. Алгебра матриц.

Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,

 а₁₁ а₁₂ а₁₃…а_1п

а₂₁ а₂₂ а₂₃…а_2п

………………       = А_м*п= //а_ij//

а_м1 а_м2 а_м3…а_мп    , где

m – число строк, n – число столбцов. Числа а_ij называются элементами матрицы,  i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Разновидности матриц.

1.   Матрица называется прямоугольной, если m≠n.

2.   Матрица называется квадратной, если m=n.

3.   Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.

4.   Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.

Например, 1) 1  2 3   = А_2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)

                       0 –1 5

2) 1 2    - квадратная матрица.

    3 4

3)   (1 0 3 5, -1) – матрица строка.

4)    7

12    матрица столбец.

      5

      3

5)   Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Например,  1   0  0                                5 1 –3

                    2   6  0           или               0 4   2

                   -1 –2  8                                0 0  -1

6)   Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Например,  1   0 0

0 –2 0

0    0 5

7)   Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.

1 0 0

Е =      0 1 0

            0 0 1     .

Алгебра матриц.

1.   Равенство матриц. Две матрицы А_м*п и В_м*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

А_м*п = В_м*п ó а_ij = b_ij (i = , j = )

ó этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,

обозначение (i = ) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц А_м*п = //а_ij// и В_м*п = //в_ij// называется матрица С_м*п, элементы которой С_ij = а_ij  + в_ij .  C_m*n = A_m*n + B_m*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Нпример, Если А=  1 –2   4                        В= -3   2 5

                                  3    1 –6   ,                           1 –6 4    , то

             3    1 –6                    1 –6 4    ,           3+1   1-6  6+4              4 –5 –2

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

4. Умножение матриц. Произведением матрицы А_м*е на матрицу В_е*п называется матрица С_м*п (А_м*е*В_е*п=С_м*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:

с_ij =a_ijb_ij + a_i2b_2j +…+ a_ieb_ej

(i= ; j= ) , т.е. для вычисления с_ij следует элементы i – строки левой матрицы А_м*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы В_е*п и полученные произведения сложить.

Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

Пример. Вычислить АВ, если А =                   В =

Решение: АВ=С

С=                   *                            =                                   =                               

Ответ: А*В=С=

Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1  2   ,

         В =  2  1                                                                                      3  4

                 1  3

Сравним эти произведения.

                   3  4          1  3            10  15   

С₁₁ = 1*2+2*1=4; С₁₂ = 1*1+2*3=7;

С₂₁ = 3*2+4*1=10; С₂₂ = 3*1+4*3=15

                   1  3        3  4              10  14

d₁₁=2*1+1*3=5; d₁₂=2*2+1*4=8

d₂₁=1*1+3*3=10; d₂₂=1*2+3*4=14

Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В= 

Решение: АВ=(4 0 -2 1)*   =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом А^т. Замечание (А^т)^т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А;  А+(В+С) = А+В+С;  (α +β)А = αА+βА;  α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС;  С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ);  (АВ)*С=А(ВС);  (АВ)^т=В^т А^т.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.

Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2  1  3

                                                                                          1  3  4    ,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10  15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?

Решение: В*А= (10  15)*  2  1  3    =(35  55  90)

                                             1  3  4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.

  Тема 8. Понятие множества.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є  А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х²+1=0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

                А∩В = {6, 8}

                А \ В = {1, 3}

Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.

Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел.

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.

		х

                                                    Рис.1

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется  отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в); неравенствам а ≤ х < в или а< х ≤ в, называется полусегментами соответственно [а, в) и (а, в].

Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

/х/=

По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.

Свойства абсолютных величин:

                 1. │х+у│ ≤ │х│+│у│,                        2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│,

                 3. │ху│ = │х│*│у│,                          4. │х/у│ = │х│/│у│

Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).

Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а - ε<х<а+ε.

Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки  а.

Интервал (а – ε, а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита).

                                            Рис.2

		х

                      а – ε               а              а+ε

Тема 9. Функция. Классификация функций.

Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У).

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Пусть Х и У множества вещественных чисел.

Пример. Найти область определения и область значений функции у = х² + 1

Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞).

Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х² – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

 х² – 5х + 6=0. х₁ = 2, х₂=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

Пример 3. Найти область определения функции у= log₃(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.

Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0;  f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | - 1| / 1= 1;

               f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.

Пример 5. Дана функция f(х) = 3х² + х – 1.

Найти значение этой функции при 1) х=а² – 1, 2) х = 1/t.

Решение: 1)f(а² – 1) = 3(а² – 1)² + а² – 1 – 1=3а⁴ – 6а² + 3 + а²  - 2 = 3а⁴ – 5а² + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t²) + 1/t – 1 = (3 + t – t²)/t².

Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.

а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.

б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.

в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).

Например, у = х² (Рис.1);                        у =  (Рис.2)

                                                                                                   у

                   у   

                    0                               х                                      0                           х

                                  Рис. 1.                                                                   Рис. 2.

Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:

                          1, если х – рациональное число.

         f(х) =

                          0, если х – иррациональное число.

Основные элементарные функции.

Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:

1.   у = х^п, у = х ^–п, у = х^м/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.

2.   Показательная функция у = а^х, а > 0, а ≠ 1.

3.   Логарифмическая функция у = log_ах, а>0, а ≠ 1

4.   Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.

5.   Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,

 у = arcctg х.

Сложная функция. (суперпозиция функций).

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.

Например, у = )/(sin²х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.

                                У

                                           Рис.3

Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.

 1 класс алгебраических функций:

а) у = А₀х^п + А₁х^п-1 + А₂х^п-2 + … + А_п-1х + А_п, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А₀, А₁, А₂, … , А_п – вещественные числа, коэффициенты многочлена.

б) у = ( А₀х^п + А₁х^п-1 + … + А_п)/(В₀х^м + В₁х^м-1 + … +В_м), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.

в) Иррациональная функция, например, у =  + х².

 2 класс трансценденных функций.

а) у = а^х, а > 0, а ≠1, показательная функция,

б) у = log_ах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,

в) все тригонометрические функции,

г) все обратные тригонометрические функции,

д) функции вида у = х^L , где L – иррациональное число. Например, у = х^π.

 Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.

Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ε.

Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.

(lim – сокращенное слово limit(предел)).

Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.

При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4.

        y                                                                                y

                                          y = f (x)

                                                                                        b

                                                                                          0

          0             a                                x                                  а                                 х

Рис.1                                                                        Рис.2

       y

                                                                                     f(a)

   f(a)

             0                 a                     x                                     0           a                         x

Рис.3                                                                        Рис.4

На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.

 Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.

Основные теоремы о пределах функций.

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.

Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.

4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).

Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.

Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.

Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.

Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда

Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.

Выделяют неопределенности двух типов:

Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).

Степенно-показательные неопределенности (1⁰⁰); (00⁰); 0⁰.

Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.

Решение:

 = (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).

Решение:

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.

иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log_℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.

 Тема 11. Производная и дифференциал.

Приращение аргумента, приращение функции.

                                      у                                                      Рис.1

		У = f(х)

                                                                                Δу

		х

                                                            х₀            х₀ + Δх

Производная функция у = f(х), в точке х₀ определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f `(x₀) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.

Для вычисления производной  выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

Правила дифференцирования функций.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1.   (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2.   (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3.   (C*U(x))` = CU`(x), C - const

4.   (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V²(x)

Таблица производных.

1.   C` = 0, C – const.

2.   x` = 1

3.   (x^α)` = α x^{α – 1}, α Є R

4.   (a^x)` = a^x lnx, a>0 , a≠1

5.   (ln x)` = 1/x

6.   (sin x)` = cos x

7.   (cos x)` = - sin x

8.   (tg x)` = 1/(cos x)²

9.   (ctg x)` = - 1/(sin x)²

10.                                                                                (arcsin x)` = 1/²)

11.                                                                                (arccos x)` = - 1/²)

12.                                                                                (arctg x)` = 1/(1 + x²)

13.                                                                                (arcctg x)` = - [1/(1 + x²)]

правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x², если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х², f(х+∆х) = (х+∆х)²

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)² – x² = x²+2x*∆x+∆x² – x² = 2x*∆x + ∆x²/

Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)² = 0,2+0,01 = 0,21

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x², в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x², подставим, получим

Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1

Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),

∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х - ∆х – (1 – х) = 1-х - ∆х – 1 + х = - ∆х

при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.

Пример 4. Найти производную от функции у=3х⁴ – 2х² + 1.

Решение у` = 3*4х³ – 2*2х + 0 = 12х³ – 4х.

Пример 5. Найти производную от функции у = x² *℮^х.

Решение: у` = (x<sup>2</sup>)` *℮^х + x² *(℮^х)` = 2x ℮^х + x² *℮^х  ln℮

ln ℮ = log_℮℮ = 1.              y` = 2x℮^x + x² * ℮^x

Пример 6. У = х/(х²+1). Найти у`.

Решение у` = [1*(х²+1) – х*2х] / (х²+1)² = [х²+1 – 2х²] / (x² +1)² = (1-x²) / (x²+1)²

Производные от сложных функций.

Формула для нахождения производной от сложной функции такова:

[f (φ(х))]` = f<sub>φ</sub>`(φ(x)) * φ`(x)

Например: у = (1-х²)³; у`= 3(1 –х<sup>2</sup>)<sup>2</sup> * (-2х) или у = sin<sup>2</sup>х; у` = 2sinx * cosx. 

Пример 7 . Найти dy, если у = sin 3х

Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.

Пример 8. Найти dy, если у = 2^{х^2}/

Решение: dy = y` * dx = (2<sup>x^2</sup>)` * dx = 2^{x^2} ln2 * 2xdx

Производные высших порядков.

Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d²y) / (dx²). Аналогично определяются и обозначаются:  производная третьего порядка у``` = f ```(x) = (d³y) / (dx³).

                              производная четвертого порядка у^IV = f ^IV(x) = (d⁴y) / (dx⁴).

                              производная n-oго порядка у⁽ⁿ⁾ = f ⁽ⁿ⁾(x) = (d ⁿ y) / (dxⁿ).

Пример: у = 5х⁴ – 3х³ + 2х – 2. Найти у``.

Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х³ – 9х² +2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х² – 18х.

Пример. y=хsinx. Найти у```.

Решение. y` = sinx + xcosx

y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

  Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х² для любых х Є (-∞, ∞).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F₁(x) = x² + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F₂(x) = x² – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F₂(x) = F₁(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом

f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется  интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1.    ((f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2.    Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению.                 d(f(x)dx) = f(x)dx.

3.    Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

d(F(x)) = F(x) + C.

4.    Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

                                      , где к - число

5.    Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

(f(x) +φ(x))dx = f(x)dx + φ(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица неопределенных интегралов.

1.   х^α dx = [x^α+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R

2.   dx/x = ln│x│+C

3.   a^x = (a^x/ln a)+C, e^xdx = e^x+C

4.   sinx dx = -cosx + C

5.   cosx dx = sinx + C

6.   dx/(cosx)² = tgx + C

7.   dx/(sinx)² = -ctgx + C

8.   dx /²-x²) = (arcsin x/a) + C

9.   dx / ² – x²) = (-arccos x/a) +C

10.                                   dx / a² +x² = 1/a arctg x/a +C

11.                                   dx / a² +x² = - 1/a arcctg x/a +C

12.                                   dx / a² -x² = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C

13.                                   dx / a² +x²) = ln │x+ ²+x²)│ +C.

Пример 1. Вычислить (2х² -3 -1)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. (2х² -3 -1)dx = 2х² dx - 3х^1/2 dx - dx=

= 2(x²/2) – 3[(х^3/2 *2)/3] – x + C = x² - 2³ – x +C.

Пример 2. (2/ -1/х + 4sinx)dx = 2х ^–1/2dx – ln │х│ - 4cosx + C =

= 2[(x^1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4 -ln│x│- 4cosx + C.

Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.

Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.

Например, e ^{–x^2} dx, sinх² dx, cosх² dx, sinx/x dx, cosx/x dx, dx/lnx – «неберущиеся» интегралы , т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e <sup>–x^2</sup>, F ` (x) = sinx² и т.д.

 Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х₀, х₁, х₂, …, х_п = в. На каждом элементарном отрезке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку С_i и положим

Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С₁, С₂, …, С_п на каждом элементарном отрезке разбиения.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1

                                                                         y = f(x)

                  у

                                      S₁        S₂            S₃

                 0      а=х₀  в₁   х₁   с₂    х₂    с₃     х₃ =в                 х

                                                                                                               Рис.1

Пусть п=3, тогда а = х₀, х₁, х₂, х₃=в.

С₁ ,С₂ ,С₃ точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.

S₁ = f₁(C₁) ∆x₁ – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х₁ = х₁-х₀,

S₂ = f₂(C₂) ∆x₂ – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х₂ = х₂-х₁,

Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

Понятие определенного интеграла.

       max ∆x_i →0

Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.

Некоторые свойства определенного интеграла.

1⁰ . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

 =  =  и т.д.

2⁰.    есть число.  

3⁰.  = - , а<b

4⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

 = m , где m – const.

5⁰.  Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

6⁰. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.

Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на [а; b].

 = F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функции f(x).

Например,  - вычислить.

1)  

2)   Подставим в первообразную х³/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.

= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.

  Тема 14. Несобственные интегралы.

          Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке [а; b], когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке [а; b]. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.

          Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.  

          Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.

          = Ф(х), х ≥ а.

          Определение.  – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [а;¥), вводится он как предел функции Ф(t) при t  ®¥, т.е.

          Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Интеграл сходится к ½.

          По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-¥, b].

          Определение сходимости   аналогично предыдущему.

          Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-¥; ¥).

,    а – некоторое число.

          Интеграл  сходится, если оба интеграла  и  сходящиеся, если же один из них  расходится, то  - расходится.

          Пример 3. Вычислить  .

          Этот интеграл расходится, значит  - расходящийся несобственный интеграл.

          В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл . этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что  2p).

          Несобственные интегралы от разрывных функций.

          В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

          Аналогично вводится понятие несобственного интеграла

Интеграл сходится к 2.

Тесты к теме 1.

1.   На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по Колмогорову)?

1: 2

2: 4

3: 1

4: 5

2.   К какому времени относится начало периода элементарной математики?

1-: XV в

2: I век н.э.

3: VI-V век до н.э.

4: XII в.

3.   Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?

1: функция

2: число

3: совокупность чисел

4:  геометрические образы (точка, прямая, плоскость).

4.   Перечислите основные черты математического мышления.

1:  логические рассуждения, математическая интуиция;

2: доказательство;

3: математическая интуиция;

4: умение правильно считать.

5.   Какие два вида умозаключений преобладают в математике?

1: моделирование, дедукция.

2: индукция, интуиция;

3: абстрагирование, интуиция;

4: индукция, дедукция;

6.   Является ли математика искусством вычислять или наукой?

1: наука,

2: искусство вычислять.

Тесты к тема 2

1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?

1: Определение основных понятий данной науки.

2: Утверждение, требующее доказательства.

3: Утверждение, принимаемое без доказательств.

4: Некоторое логическое рассуждение.

2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из представленных?

1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью дедуктивного метода?

2: О смысле основных понятий. и Об истинности аксиом.

3:Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли доказательства составной частью дедуктивного метода?

3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?

1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.

2: Аксиоматическое построение геометрии.

3: Мифы Древней Греции.

4: Учение о параллельных прямых.

4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к созданию неевклидовой геометрии?

1: Гаусс, Бойяй

2: Лагранж, Ферма

3: Пуассон, Эйлер

4: Коши, Буняковский

5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?

1; 1804

2: 1800

3: 1850

4: 1900.

Тесты к теме 3.

1 Что представляет собой мнимая единица ?

1: корень кв. из -1,

2: –1

3: ( i )^2

4: (-1)^2

2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0

1: Х1=1/2; Х2=3/2

2: Корней нет

3: Х1,2=1/2+-3/2i

4: Х1=2, Х2=-1

3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.

1: Z=1-i

2: Z= -1+i

3: Z=2+3i

4: Z=1+2i

4. Произвести действия : Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.

1: Z= 4

2: Z=-8+3i

3: Z= -2+6i

4: Z=4-i

5. Найти Z”, если Z=2-i.

1: Z= -2-i

2: Z= -2+i

3: Z= 2+i

4: Z= 2

6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его вещественную и мнимую части.

1: Z=3-3i,       Re Z=3, Im Z= -3

2: Z=-3+iо,    Re Z=-3, Im Z=0

3: Z=3i,          Re Z=-0, Im Z=3

4: Z=3*i*i      Re Z=0, Im Z=3

7.   Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0

1: Х=2

2: Корней нет

3: Х1,2=+-2i

4: Х= -2

8.   Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу ему соответсвующие.

1; (-3;2)

2: (3,2)

3: (3, -2)

4: (-3,0)

9.   Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.

1: Z=1/5-3i

2: Z=4/13 – 7/13i

3: Z=1/26-3i

4: Z=1-i

Тесты к теме 4.

1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).

Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0

1: М1(3,1);

2: М2(2,3);

3: М3(6,0);

4: М4(-3,-1).

2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату этой точки.

1: у=-1,

2: у=0,

3: у=1,

4: у=5.

3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу этой точки.

1: х=0,

2: х=4,

3: х=1,

4: х= -4.

4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.

1: АВ=2.

2: АВ=4,

3: АВ=8,

4: АВ=4 * корень кв. из 2,

5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.

6.Даны уравнения линий 1) у^2=х, 2)у=х^2+1, 3)х-у=0, 4)х^2 +у^2=1

Найти среди них уравнение прямой.

1: у^2=х,-

2: х - у=0,

3: у=х^2+1

4: х^2+у^2=1

7.Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение, как уравнение прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок в, отсекаемый прямой от оси ординат.

1: в= -1

2: в=1

3: в=1/2

4: в=0

8.Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку параллельно прямой 2х - у+3=0

1: х=2у

2: 2х - у=0;

3: х+у - 2=0;

4: 2х - у+4=0;

9.Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые.

1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у

1: х+у-5=0, у=+х+2

2: х+у-5=0, 2х=у

3: у=х+2, у=2х

4: у=х+2, 3х-3у+1=0.

10.Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох.

1: А(1,1);

2: А(-5,0);

3: А(5,0);

4: А(0,5)

Тесты к теме 5.

1.Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом равным 2.

1: х^2 + у^2 = 4

2: х^2 + у^2 = 2

3: (х – 2)^2 + (у – 2)^2 = 4

4: х^2 = 2

2.Х^2 + у^2 + 2х = 0. Дано уравнение окружности. Указать точку, лежащую на этой окружности: М1 (0, 0), М2 (1, 2), М3 ( - 1, 3); М4 (0, 2).

1: М2(1, 2),

2: М1(0, 0),

3: М3( - 1, 3),

4: М4(0, 2),

3.Из четырех уравнений найти уравнение эллипса.

1) х/25 + у/16 = 1, 2) х^2/9 + у^2/4 = 1, 3) у^2 = 1 – х, 4) х^2 + у^2 = 9

1: нет уравнения эллипса

2: х/25 + у/16 = 1

3: х^2/9 + у^2/4 = 1

4: х^2 + у^2 = 9

4.Выделить уравнение гиперболы из четырех уравнений:

1) х/16 - у/9 = 1, 2) х^2 – у^2 = 1, 3) х^2  + у^2 = 1, 4) х^2 + 2у^2 = 1

1: х^2 + 2у^2 = 1

2: х/16 - у/9 = 1,

3: х^2  + у^2 = 1,

4: х^2 – у^2 = 1,

5.Написать уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=3, расстояние между фокусами F1 F2= 8.

1: x^2/64+y^2/9=1

2: x^2/16+y^2/9=1

3: x^2/8+y^2/9=1

4: x^2/25+y^2/9=1

6.Написать уравнение эллипса, если большая полуось а=в, эксцентриситет Е=0,5.

1: x^2/6+y^2/2=1

2: x^2/6+y^2/9=1

3: x^2/36+y^2/27=1

4: x^2+y^2=1

7.х^2/18 – y^2/4,5=1 Дано уравнение гиперболы. Написать уравнение асимптот.

1: y=+-х

2: у=+-1/2х;

3: y=+-1/18 х

4: y=1/3х

8.На параболе у^2=6х найти точку с абциссой равной 6

1: М(0,6)

2: М(6,6)

3: М(6,0)

4: М1(6,6) и М2(6,-6)

9. Дана парабола у^2=6х. Найти координаты фокуса F.

1: F(3/2;0)

2: F(3,0)

3: F(0,6)

4: F (0,3)

10.Написать уравнение гиперболы, если а=9, в=4.

1: x/81 - y/4=1

2: x^2/9+y^2/4=1

3: x^2/81 - y^2/16=1

4: x^2 - y^2=9

Тесты к теме 6.

1. Вычислить определитель   !2 3!

                                                  !4 5!

1: -2,

2: 22,

3: 2,

4: 7,

2. Вычислить определитель   !2 3!

                                                  !4 5!

1:-5,

2: 10,

3: 1,

4: 0,

3. Справедливо ли равенство !2 8 10!        !1 4  5!

                                                  !1 3 -1!   =2  !1 3 –1!  ?

                                                  !2 0  !1          !2 0  1!

1: Нет,

2: Да,

4. Дан определитель  !1 5 3!  Найти минор М21 к элементу а21 = 6.

                                     !6 1 0!

                                     !3 0 –1!.

1: М21= 0,

2: М21= -2,

3: М21= 1,

4: М21= 4,

5.Дан определитель  !1 5  3!  Найти алгеброическое дополнение А21 к

                                     !6 1  0!                    элементу а21 = 6.

                                     !3 0 –1!.

1: А21= 2,

2: А21= -2,

3: А21= 1,

4: А21= 4,

6. Если элементы второй строки определителя умножить на соответствующие алгебраические дополнения и произведения сложить, то получим:

1: отрицательное число,

2: ноль,

3: любое число,

4: величину определителя,

7. Дана система уравнений   х+у=3

                                               2х-3у=1.

Имеет ли эта система единственное решение?

1: Да,

2: Нет.

8. Дана система уравнений   х - у=1

                                               4х-4у=4

1: система не имеет решения,

2: система имеет единственное решение,

3: система неопределенная,

9. Дана система  2х-3у+5z=1

                             х+у-z =2

                             3х-у-2z=3

Указать  свободные члены:

1:(5, -1, -2);

2: (2, 1, 3);

3: (-3, 1, -1);

4:  (1, 2, 3);

10. Может ли определитель иметь три строки и два столбца?

1: Да.

2: Нет,

Тесты к теме 7.

1. Выберите правильное утверждение:

1) Матрица может иметь любое число строк и столбцов.

2) Матрица всегда имеет одинаковое число строк и столбцов.

3) Матрица не может состоять из одной строки.

4) Матрица не может состоять из одного столбца.

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

2. Может ли матрица состоять из одного элемента?

1: Да,

2: Нет,

3: Да, если это элемент не равен нулю.

3. Умножить матрицу А=(1, -1, 3, ½) на число (-2):

1: -7

2: (1, -1, 3, -1)

3: (-2, -1, 3, ½)

4: (-2, 2, -6, -1)

4. Можно ли сложить матрицы 2*2 и 3*3?

1: Нет

2: Да.

5. Можно ли перемножить матрицы соразмерности 2*3 и 3*4?

1: Нет.

2: Да.

6. Транспонирование матриц – это:

1) Перестановка местами двух столбцов.

2) изменение знака у всех элементов,

3) Перестановка местами двух строк,

4) перестановка местами строк и столбцов,

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

7. Если размерность исходной матрицы равна 6*7, то транспонированная матрица будет иметь размерность:

1: 6*6

2: 6*7

3: 7*6

4: 7*7

8. Единичная матрица – это:

1: Матрица, у которой все элементы равны 1.

2: Матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные нули

3: Матрица, определитель которой равен 1.

4: Матрица, содержащая только один элемент.

9. Если А=(1,3, -2), В= (-1)

                                        (0 )

                                        (2 )   , то А*В равно

1: -5

2: (-1 0 –4)

3: (-1)( 0 )(-4)

4: Перемножить нельзя

Тесты к теме 8.

1. N – множество натуральных чисел. Какое из множеств является его подмножеством: А= {2, 4, 6, 8…}, В= (N2, N3, N4,…}; С= {1, 1/2, 1/3, 1/4, …};

Д= {1, 0, 1}?

1: В,

2: А,

3: С,

4: Д,

2. Найти пересечение множеств А= {1, 3, 5, 7, 9} и В= {2, 4, 6, 8}.

Ответ: пустое множество,

1: {1}

2: {1,2,3,4,5,6,7,8}

3: {0}

3. Найти объединение множеств А и В, если А = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8}.

1: AUB = {0}

2: AUB = 0    

3: АUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

4: AUB = {2,4,6,8}

4. Найти разность множеств А \ В, если А = {1,2,3,4}; B = {0,1,2}.

1: А\B = {3, 4}

2: A\B = {0,3,4}

3: A\B = {0,1,2}

4: A\B = {1,2,3}

5. Если /х/<2, то в виде двух неравенств его можно записать так:

1: -2<x<2

2: -2<=x<=2

3: 0<x<2

4: -2<x<0.

6. Если /х-1/<E, то E – окрестность точки 1 можно записать так:

1: -Е<x<Е

2: 1-Е<x<1+Е

3: 0<x<1+Е

4: -Е<x<0.

7. Если х принадлежит [-1, 3]. Какое из значений может принять х?

1: x<-1

2: -x= -3

3: x=0

4: x=4.

8. Если х не принадлежит (-2, 2). Какое из значений может принять х?

1: x= -1.

2: -x= 0

3: x=2

4: x= -4

9. Если –2<х<=0, то решением является:

1: (-2, 0)

2: (-2, 0]

3: (-2, 2)

4: [-2, 0].

10. Найти пересечение множеств (-2, 2) и (-3, 1):

1: (-3, 2)

2: [0, 1]

3: (-2, 1)

4: [-2, 0].

Тесты к теме 9. «Функция. Классификация функций».

1. Найти область определения функции у = (х-2) / (х^2 – 9)

1: (0, 2)

2: (-00, -9) U (9, 00).-

3: (2, 3).

4: (-00, -3) U (-3,3) U (3,00).

2 Найти область определения функции у = (х-1)^1/2

1: (-00, 00).

2: (0, 00).

3: [1, 00).

4: x = 0

3. Найти область определения функции у = lg(2+х)

1: (-2, 00).

2: [2, 00).

3: (-00, 00).

4: x = 0

4. Найти значения функции у = х^2/ (х-1) в точке х = 0.

1: у = -1.

2: у = 0.

3: у = 00.

4: у = 2

5. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = 1.

1: у = -1.

2: у = 1.

3: не существует.

4: у = 2

6. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = (а^2) +1.

1: у = не существует.

2: у = ([а^2]+1)/а^2.

3: у = -1.

4: у = [(а^2 + 1)^2]/а^2.

7. Дана функция у = (sinх)^2 +5. К какому классу функций она принадлежит?

1: Трансцендентная.

2: алгебраическая.

8. Написать целую алгебраическую функцию второй степени, в общем виде.

1: у = х^2.

2: у = [(А0)*х^2] + (А1)*х + А2.

3: у = [(А0)х^2]+1.

4: у = (х^2)/(х+1)

9. Указать дробно-рациональную функцию из заданных функций:

1) у=2*х/(1+х+х^2); 2) у=х/(sinх); 3) у=(2)^х/2;  4) у= lg(х+2)/(х-2)

Ответ: 1).

Ответ: 2).

Ответ: 3).

Ответ: 4).

10. Дана сложная функция у = [sin (1-х)]^2. Представить ее в виде цепочки простых функций.

1: U = sin x, V = U-1, y = (U-1)^2.

2: U = sin(1-x), y = U^2.

3: U = 1-х, V = sinU, y = V^2.

4 y = [sin(1-x)]^2 – простая функция

Тесты к теме 10.

1: 2

2: 0

3: не существует.

4: 1

1: не существует.

2: 0

3: 2/3

4: 1/2

1: 0

2: 5/6

3: 1/2

4: 1/6

1: 1

2: 0

3: -1

4: 00

1: 1

2: 0

3: не существует.

4: 00

1: не существует.

2: 0

3: 00

4: 5

1: 00

2: 1

3: е

4: не существует

1: е²

2: е

3: 1

4: 00

9. Является ли функция у=х² непрерывной в точке х=2

1: Нет

2: Да

10. Является ли функция у=1/(2х+1) непрерывной в точке х=1

1: Да

2: Нет

Тесты к теме 11.

1. Найти приращение функции у=1/х, если х=1, ∆х=0,1.

1: - 1/11,

2: 0,1,

3: 0,01,

4: - 1,

2. Пользуясь определением производной, найти производную от функции у=х^3.

1: 3х^2∆х,

2: х^2,

3: 3х^2 - 1,

4: 3х^2,

3. Найти производную от функции у=хe^x , в точке х=0.

1: e+e^-1,

2: e^1,

3: 1,

4: 0,

4. Найти производную от функции у=х^5 – ¼x^4 + 3, в точке х.

1: 5x^4 – x^3 + 3,

2: 5х^4 – x^3,

3: 5x^4 – x^4 + 1,

4: 3,

5. Найти производную от функции у=sinx/cosx

1: sinx - cosx,

2:-cosx/sinx,

3: 1/cosx^2,

4: 1,

6. Найти дифференциал функции у=х^3 – 1.

1: 3(dx)^2,

2: 3x^2,

3: 3dx,

4: 3х^2dx,

7. Дана функция у=3х^2 – х + 1. Найти у``

1: 6x,

2: 6,

3: 1,

4: 6x^2,

8. Найти у```, если у=х^6 – 1/4х^4+1/2x^2+2.

1: 120х^3 – 2x,

2: 120x^3,

3: 120x^3 – 2x +2,

4: 120,

9. Найти у```, если у=(х^2)*e^x.

1: 2e^х + 4xe^x +(x^2)*e^x,

2: 2xe^x+(x^2)*e^x,

3: 2xe^x + e^x,

4: 2e^x,

Тесты к теме 12.

1. Найти первообразную для функции у = х.

1: х – 2

2: 2х,

3: 2х^2,

4: (х^2)/2.

2. Даны функции F1 (x) = sinx – 8, F2 = sinx +3. Первообразными для какой функции они являются ?

1: х,

2: cosx,

3: -cosx,

4: -х.

3. Найти производную от функции $ln(x^2 +1)dx.

1: 2х/ [(x^2) +1],

2: ln[(х^2)+1].

3: ln((х^2)+1)dx,

4: 1/((x^2)+1)

4.  Найти дифференциал от функции $x arcsin2x dx.

1: x arcsin2x dx.

2: arcsin2х,

3: arcsin2x dx,

4: [arcsin2x +2x/ (1-4(x^2))^1/2]dx.

5. Вычислить $d(2^x^2)

1: (2^х^2) (ln2)2x,

2: (2^х^2)+C.

3: (2^х^2)dx,

6. Вычислить интеграл $(x^2 -3)dx.

1: [(x^3)/3x] – 3x,

2: [(х^3)/3] – 3х +С.

3: (3х^3)+C,

4: [(x^2)-3]+C

7. Справедлива ли формула $U(x) V(x)dx = $U(x)dx*$V(x)dx?

1: Нет

2: Да.

8. Можно ли вынести постоянный множитель за знак интеграла ?

1: Да.

2: Нет

9. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $sin(x^2) dx, $lnx/x dx, $[1+ (x^1/3)] dx.

1: sin(x^2) dx.

2: $ lnx/x dх,

3: $[1+x^1/3]dx.

10. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $(e)^-x^2 dx,

$xe^x^2, $x^2 e^-x^2 dx, $xe^-x^2 dx.

1 .$xe^-x^2 dx,

2: $ xe^x^2 dх,

3: $e^-x^2 dx

4: $[(x^2) (e^-x^2)] dx.

Тесты к теме 13.

1. Вычислить интеграл в пределах (1, 00) от функции dx/(x^2).

1: 1,

2: расходится,

3: 0,

4: -1,

2. Вычислить интеграл в пределах (0, 00) от функции e^-x dx.

1: расходится,

2: 1,

3: 0,

4: -1,

3. Вычислить интеграл в пределах (-00, 00) от функции e^-2x dx.

1: -1,

2: 0,

3: 1,

4: расходится,

4. Вычислить интеграл в пределах (0, 1) от функции dx/x.

1: 2,

2: сходится

3: расходится,

4: 0,

Тесты к теме 14.

1. Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(x) на отрезке [а, в] от способа разбиения отрезка на 10 частей ?

1: Да,

2: Нет,

2.Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(х) на отрезке [а, в]от выбора точек Сi на i элементарном отрезке, i = 1,2,…,п?.

1: Нет,

2: Да,

3. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции (sinx^2 – 3x^1/2)dx = $ в пределах от (0, 2) от функции sinx^2 dx + 3$ в пределах (0, 2) от функции х^1/2 dx ?

1: Да,

2: Нет,

4. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции f(x)dx = интегралу в пределах (0, 1) от функции f(x)dx + интеграл в пределах (1, 2) от функции f(x)dx.

1: Нет,

2: Да,

5. Вычислить интеграл в пределах (4, 3) от функции (x^1/2)dx.

1: 2/3,

2: 19,

3: 38/3,

4: 1,

6. Вычислить интеграл в пределах (0,П/2) от функции (sinx)dx.

1: 1/2,

2: -1,

3: 0,

4: 1,

7. Вычислить интеграл в пределах (1, 3) от функции dx/х^2.

1: -1/3,

2: 2/3,

3: 1,

4: 0,

8. Найти значение интегральной суммы для f(x) = 1 на отрезке [a, в].

1: в-а,

2: ав,

3: 1/в-а,

4: 2,

9. Верно ли равенство интеграл в пределах (0, 2) от f(x)dx.= - интеграл в пределах (2, 0) от f(x)dx ?

1: Нет.

2: Да,

.