Реферат: Пределы

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти X_n если для любого числа Е>0, сколь угодно малого,  N₀, такое что при всех n>N₀ будет выполн-ся нер-во |X_n-A|n_X_n=A. –E A-E

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N₀, для кот. любые точки >N₀ попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n) =>  E/2  N₁ n>N₁ |a-Xn|) =>  E/2  N₂ n>N₂ |Xn-и|0=max(N₁;N₂), n>N₀. |a-b|=|a-Xn+Xn-b||a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N₁ XnZnYn  limXn = lim Yn = a (n) =>  lim Zn=a (n)

Док-во: 1. из того, что  lim Xn=a (n) => n>N₂ |Xn-a|2. Из  lim Yn=a (n) => n>N₃, a-E3. N₀=max(N₁,N₂,N₃). При всех n>N₀ XnZnYn. a+E>XnZnYn>a-E => lim Zn=a (n)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n, если lim Xn = 0 (n). E>0, N₀, n>N₀, |Xn|

Свойства б.м. величин:

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во: из Xn – б.м. =>  E/2 N₁, n>N₁ |Xn|

из Yn–б.м.=> E/2 N₂, n>N₂ |Yn|0=max(N₁,N₂), N>N₀, |XnYn||Xn|+|Yn| lim(XnYn)=0 (n). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина =>  K, |Xn|  K,

Yn – б.м. =>  E/K N₀ n>N₀ |Yn|

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины.  lim Xn=a (n) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во: Из lim Xn=a (n) => E N₀ n>N₀ |Xn-a|

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n, если M>0 N₀, n>N₀, |Xn|>M => M (n).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>M N₁, n>N₁ |Xn|>M

из Yn – б.б. => M  N₂, n>N₂ |Yn|>M

N₀=max(N₁, N₂) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M²>M

Lim XnYn= (n).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn= (n) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn= => M=1/E N₀, n>N₀ |Xn|>M =>n>N₀.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (XnYn)=ab (n)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+_n; lim Yn=b => Yn=b+_n;

Xn  Yn = (a + _n)  (b + _n) = (a  b) + ( _n b_n) => lim(XnYn)=ab (n).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n) => lim Xn/Yn =
   (lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+_n)/(b+_n) – a/b = (ab+_nb–ab–a_n)/b(b+_n) =(b_n-a_n)/b(b+_n)=_n => Xn/Yn=a/b+_n =>  lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при хx₀, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число >0, что при x будет выпол |x-x₀|<, будет выполняться нер-во |f(x) – A|x выпол x₀-=> A-E

Lim _xx0 f(x)=A

Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при xx₀ если для М>0 сколь угодно большого  >0, что x |x-x₀|< будет выполняться нер-во |f(x)|>M, x x₀-0+, -M>f(x)>M.

Lim f(x)= (xx₀).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x, если для любого Е>0 можно найти число К, x |x|>K |f(x)-A|

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

S_треуг МОА< S_сект МОАтреуг СОА.

S_треугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

S_сектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

S_треугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX

1(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. lim_x0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.lim_x0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t0}=

=lim_t0t/sint=1;

3. lim_x0 (sin x)/x = lim (Sin x)/(x)=

=/ lim_x0(sin x)/x=/.

II замечательный предел.

lim_n(1+1/n)ⁿ=?

Бином Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+(n(n-1)a^n-2b²)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)a^n-4b⁴)/4!+...+bⁿ.

(1+1/n)ⁿ=1+n1/n+n(n-1)/2!n²+n(n-1)(n-2)/3!n³+...+1/nⁿ= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nⁿ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/2²(1-1/n)(1-2/n)+1/2³(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2ⁿ < 2+0.5+1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ =2+0.5(1-1/2ⁿ)/(1-0.5)=2+1-1/2ⁿ=3-1/2ⁿ <3.

2(1+1/n)ⁿ<3 =>  lim_n(1+1/n)ⁿ=e.

Следствия:

1.lim_x+(1+1/x)^x=e. Док-во: nxn+1 =>1/n1/x1/(n+1), 1/n+1  (1/x)+1  1/(n+1) + 1, (1/n+1)^x(1/x+1)^x(1+1/(n+1))^x

(1/n+1)ⁿ⁺¹(1+1/x)^x(1+1/(n+1))ⁿ lim_n(1+1/n)ⁿ(1+1/n)=e*1=e, lim_n(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => lim_x+(1+1/x)^x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х₀, если сущ. предел фун. y=f(x) при хх₀ равный значению фун f(x₀).limf(x)=f(x₀)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. lim_xx0-0f(x) lim_xx0+0 f(x) – конечные пределы; 3. lim_xx0-f(x)=lim_xx0+f(x);

4. lim_xx0f(x)=f(x₀).

Если Х₀ т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х₀ – 1 род

Если Х₀ – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х₀ т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х₀ – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке х₀, то сумма (разность) y(х)=f₁(x)f₂(x), произведение у(х)=f₁(x)*f₂(x), а также отношение этих фун у(х)=f₁(x)/f₂(x), есть непрерывная фун в точке х₀.

Док-во (суммы): По определению получ lim_хх0f₁(x)=f₁(x₀) и lim_хх0f₂(x)=f₂(x₀) на основании св-ва1 можем написать: lim_хх0у(х)=lim_хх0[f₁(x)+f₂(x) ]=

=lim_хх0f₁(x)+lim_хх0f₂(x)=f₁(x₀)+f₂(x₀)=у(х₀). Итак сумма есть непрерывная фун.

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=(х) непрерывна в точке х=х₀, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z₀=(х₀), то фун y=f((х)) непрерывна в точке х₀.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства(small):

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м x₀ на [a;b], f(x₀)=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х₁ такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x₁)f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х₂, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x₂) f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число , заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xX, x₀; x₀+x X => y=f(x₀)=f(x₀+x)-f(x₀), y/x=(f(x₀+x)-f(x₀))/x.

Если  lim_x0y/x, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х­₀.  Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+хХ. Lim_х0(f(x₀+x)-f(x₀))/x= =f^/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y^|(x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х₀ равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х₀;f(x₀)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М₀ (при х0), то секущая приближ-ся к касат.

y^|(x₀)=lim_х0(f(x₀+x)-f(x₀))/ /x=lim_х0y/x=lim_х0tg==lim_0tg=tg₀.

L: y-f(x₀)=f^\(x₀)(x-x₀)

N_l=y-f(x₀)=-(x-x₀)/f^\(x₀).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y^|=U^|(x)+ V^|(x). Док-во: для х+х имеем: y+y=(u+u)+(v+v). Следовательно, y=u+v, y/x=u/x+v/x, y^|=lim_x0y/x = lim_x0u/x+ lim_x0v/x=U^|(x)+V^/(x).

2. y=uv, y^|=u^|v+uv^|. Док-во: y+y=(u+u)(v+v), y=(u+u)(v+v)-uv=uv+uv+uv, y/x=uv/x+vu/x+uv/x,

y^|= lim_x0y/x= lim_x0uv/x + lim_x0vu/x + lim_x0uv/x={ lim_x0u=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u^|v+uv^|.

3. y=u/v, y^|=(u^|v-uv^|)/v². Док-во: y+y=(u+u)/(v+v), y=(u+u)/(v+v)-u/v=(vu-uv)/v(v+v)

y/x...

4. y=a^x, y^|=a^xln a. Док-во: ln y=x ln a, y^|/y=ln a, y^|=yln a y^|=a^xln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество() {F(x;y)=0,у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) 0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]^/=0^/}

Формула Лейбница.

y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾=(u)⁽ⁿ⁾v+nu^(n-1)v^|+([n(n-1)]/[1*2])*n^(n-2)v^||+…+uv⁽ⁿ⁾

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х₀, если y=Ax+O(x), где А не зависит от Х, О(Х) – б.м., более высокого порядка малости, чем Х, когда Х0, т.е. lim_x0O(x)/x=0. АХ – главная часть приращения.

Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х₀ т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f^\(x₀).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: y=Ax+O(x)

f^\(x₀)=lim_x0y/x= lim_x0[(Ax+O(x))/x] = lim_x0(A+O(x)/x)=A => y=f^\(x₀)x+O(x) => lim_x0y=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: f^\(x₀) – число, f^\(x₀)=lim_x0y/x => y/x=f^\(x₀)+(x) {(ч) – б.м.}, y=f^\(x₀)x+(x)x => y=f^\(x₀)x+O(x), т.е. O(x)=(x)x => lim_x0O(x)/x=lim_x0(x)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит Х.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: y=f(x₀+x)-f(x₀) =>f(x₀+x)=f(x₀)+yf(x₀)+df(x₀)=f(x₀)+f^\(x₀)dx, dx=x.