Реферат: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

Министерство образования Российской Федерации

Башкирский государственный педагогический университет

Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.

Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.

К защите допущен ____________

Заведующий кафедрой  к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.

Уфа 2001

                                                                                                                                    Стр.

 Введение                                                                                          3

§ 1 Свойства функции .                                                            4

§ 2 Свойства функции  и ее производных.                            5

2.1                                                                                 5

2.2                                                                                6

2.3  где a>0                                              7

2.4                                                            9

§ 3 Поведение                                                                       11

3.1                                                                                11

3.2                                                                                11

3.3                                                             12

3.4                                                                 13

§ 4 Поведение                                                                       14

4.1                                                                                14

4.2                                                                                15

4.3                                                             15

4.4                                                                 16

Заключение                                                                                     17

Литература                                                                                     18

Введение

Пусть    произвольная  функция,  определенная  на  ,  и   при

Введем в рассмотрение функцию  с помощью следующего равенства:

                                   (1)

Назовем эту функцию усреднением функции  

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить

§  2 Свойства функции .

1.    Если , при , то  при
Доказательство:
 ,  ,   " N >0, :   

2.                                           (2)

3.                    (3)

Дифференцируя формулу (1) по dx  получаем

                 (4)

(5)

§ 2 Свойства функции  и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции  для случаев когда :

2.1  

2.2 

2.3  где a>0;

Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как  при функция стремится к 0.

Доказательство:

Рассматривая второй интеграл, мы получаем:

Рассматривая первый интеграл, получаем:

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x  эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при  становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при  

Следовательно:

2.4.

Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие  не влияло на поведение функции.

Рассматривая полученное выражение можно заметить что

становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части

как только                    .                                                  Ограничение №1

В тоже время

Становится бесконечно малым как только      .   Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

должен быть очень малым при то есть

так как  ограниченная функция, к 0 должен стремится  .

                                                                                  Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

Следовательно,  ограничение на  удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции .

§ 3 Рассмотрим поведение  функции для случаев:

3.1)  

3.2)  

3.3)   

Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:

=

=

рассматривая пределы при  видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член

Поведение данной функции при  эквивалентно поведению функции

                                      (*)

Вычислим интеграл в знаменателе:

=

                                    (**)

Учитывая (*)и (**) получаем

Следовательно, по формуле (2) получаем

3.4  

Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:

Вычислим знаменатель:

Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:

По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при

 Следовательно, знаменатель:

§4. Рассмотрим поведение второй производной

Для облегчения вычислений введем обозначения:

При этом формула для примет вид                               (6)

4.1

Виду того, что d(x) очень мал то  будет несравним с d(x) т.е.

4.2

используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:

(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).

Отсюда следует что

4.3

Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что

Возвращаясь к п. 3.3 находим:

Вычисляя по формуле 6, получаем:

и

4.4

и

Заключение

В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице: