Реферат: Три знаменитые классические задачи древности
Министерство Образования РБ.
Средняя общеобразовательная школа №42
«Три знаменитые классические
задачи древности»
Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван
Проверил: Леонова Вера Михайловна
г. Улан – Удэ
2005 г.
Введение
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:
о квадратуре круга о трисекции угла
о удвоении S круга.
Задача о квадратуре круга
Одной из древнейших и
самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4
тысячелетий, является задача о квадратуре круга, т.е. о построении с
помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. Если
обозначить радиус круга через r, то речь будет идти о построении квадрата,
площадь которого равна r2, а сторона равна r
. Теперь известно, что
число
-отношение окружности к
своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической
десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено с 707 десятичными
знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он
обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким
огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение
микроскопических расстояний к телескопическим.
Шенкс вычислял.
Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре
круга, где требовалось найти решение построением. Работа, сделанная Шенксом, в
сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может
служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись
доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется,
что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить
приближенное значение (и корня
квадратного из
), удовлетворяющее
тем или иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении
интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная
сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью
только циркуля и линейки.
Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.) находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:
Возьму линейку, проведу прямую,
И мигом круг квадратом обернётся,
Посередине рынок мы устроим,
А от него уж улицы пойдут –
Ну, как на Солнце! Хоть оно само
И круглое, а ведь лучи прямые!..
Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.
Квадратурой круга
занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ
Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли
вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта
возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис.
1), известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром
вписан равнобедренный
прямоугольный треугольник BAC
. На
и
, как на диаметрах, Рис. 1
описываются полуокружности.
Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.
По теореме Пифагора:
.
(1)
Отношение площадей
кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ,
отношению квадратов соответствующих диаметров
,
которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC ровна площади полукруга,
построенного на диаметре
. Если из
обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что
площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей
обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и
другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания в надежде
дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.
Различные другие,
продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга
оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что
квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре
круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще
другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э. греческие математики
Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была
найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их
последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и
линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей,
квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу
арифметико-алгебраического характера, связанную с числом , и содействовала развитию
новых понятий и идей в математике.
Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих попыток её решить.
Задача о трисекции угла
Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов tria – три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом Платоном.
Так, деление прямого угла
на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что
в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о. Пусть требуется
разделить на три равные части прямой угол MAN (Рис. 2). Откладываем на
полупрямой
произвольный отрезок
, на котором строим
равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2 CAB
равен 60о, то = 30о. Построим
биссектрису
угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN
на три равных угла: ,
,
.
Задача о трисекции угла
оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например,
для углов в , п – натуральное
число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три
равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в
первой половине ХIХ в.
Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда
Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.
Рис. 4 Рис. 5
Интересное решение задачи
о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается ,
что если продолжить хорду (рис.4)
окружности радиуса r на отрезок
=
r и провести через С
диаметр
, то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ.
Действительно на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов
при основании равнобедренного треугольника имеем:
,
,
значит,
Отсюда следует так
называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE. Описав окружность с
центром O и радиусом и
, проводим диаметр
. Линейку CB на которой нанесена длина
радиуса r (например, помощью двух
штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по продолжению
диаметра
, а сома линейка всё время
проходила бы через точку A
окружности, пока точка B
линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.5). Как видно, в этом приёме
используется вставка отрезка CB
между продолжением диаметра EF
и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В указанном выше
построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для
проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину определённого
отрезка.
Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:
Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей
линейки обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)
Построение
На одной из сторон угла откладываем
от вершины B прямую BA = PQ.
Делим ВА пополам в точке М; проводим линии Рис. 6 и
.
Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р
линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы
на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью часть угла В.
Доказательство
как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и значит
Внешний же
Вместе с тем .
Значит,
Итак:
(Ч.Т.Д.).
Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.
Задача об удвоении куба
Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.
Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению
x3 = 2a3, или x =
Задача является естественным
обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто:
стороной квадрата, площадь которого равна 2а2, служит отрезок
длиной а, т.е. диагональ данного
квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а3,
т.е. отрезок х, равный
, не
может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь
в первой половине XIX в.
Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.
На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».
Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т.е. найти х и у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции:
а : х = х : у = у : b (1)
Суть одного механического решения
задач об удвоении куба, относящегося к IV в. до н.э. , основано на методе двух средних
пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла отрезок =а, где а- длина ребра куба (рис.7), а на другой его
стороне – отрезок
=2а. На
продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки M и N , чтобы (АМ) и
(ВN) были перпендикулярны к (MN); тогда
(х) и
(у) будут двумя
серединами пропорциональными между отрезками
и
. Для этого устраивается
угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на
рисунке.
Имеем:
:
=
:
=
:
,
или
а : х = х : у = у : 2а.
Отсюда
или
,
т.е.
.
Это значит что отрезок искомый.
Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др.
Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.
Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.
Художественные стилевые направления в искусстве | |
АНТИЧНОЕ ИСКУССТВО (от лат. antiquus - древний) - исторический тип искусства. Античностью называют эпоху Древней Греции и Рима. Этот термин впервые ... А так называемая "Делийская задача" по удвоению объема кубического алтаря или "квадратура круга" должны были быть решены только математическим путем. В основе готического орнамента лежали простые фигуры - круг, треугольник, легко вычерчиваемые по линейке и циркулем. |
Раздел: Рефераты по культуре и искусству Тип: реферат |
История математики. Александрийская школа | |
Реферат. Нургалиев А. З. гр. МТ-31. Павлодарский университет Павлодар 2007г. 1. Введение В истории математики рассмотренный нами период существования ... Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента ... Во второй половине прошлого столетия было доказано, что число пи, является трансцендентным, следовательно, нельзя построить с помощью циркуля и линейки отрезок, равный пи, а значит ... |
Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Греческая математика | |
1. Рождение математики в Элладе Появление этой науки в 6 веке до н.э. до сих пор кажется чудом. В течение 20 или 30 предыдущих веков народы Древнего ... Они не смогли построить циркулем и линейкой ни отрезок с длиною, равной длине данной окружности, ни квадрат с площадью, равной площади данного квадрата. Так проблема "квадратуры круга" вошла в число классических задач древности - наряду с удвоением куба и трисекцией угла. |
Раздел: Рефераты по юридическим наукам Тип: реферат |
Математические идеи и открытия античных учёных | |
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Филиал Уральского государственного экономического университета в г. Березники Кафедра общественных наук ... Первый из них - три классические задачи древности: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Греки строго придерживались требования: все геометрические построения должны выполняться с помощью циркуля и линейки, то есть с помощью совершенных линий - прямых и окружностей. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа |
Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение | |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДПГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Физико-математический факультет ... К этим построениям относятся различные приемы построения отрезка, равного данному, масштабной линейкой или циркулем и линейкой (немасштабной); действия над отрезками (в том числе ... ... чем R. И при разборе этого задания подчеркиваем, что геометрическим местом точек может быть прямая, окружность и даже круг, а в дальнейшем будет показано, что геометрическим местом ... |
Раздел: Рефераты по педагогике Тип: дипломная работа |