Реферат: Метод касательных (метод Ньютона)

Содержание. 1

Используемая литература. 1

Метод Ньютона (касательных). 2

Описание. 2

Блок-схема алгоритма. 3

Листинг программы.. 4

Результаты работы программы.. 6

Пример №1. 6

Пример №2. 6

Пример №3. 7

Метод итераций. 8

Блок-схема алгоритма. 8

Листинг программы.. 9

Результаты работы программы.. 11

Пример №1. 11

Пример №2. 11

Пример №3. 12

Используемая литература

1. http://www.kyshtym.net.ru/rww/ Учимся программировать на С++

2. http://www.sprin.ru/soft.php Решение линейных уравнений методом Ньютона (касательных)

Метод Ньютона (касательных).

Описание

В рамках метода Ньютона предполагается, что функция дифференцируема. Согласно этому методу строится линейная аппроксимация функции в начальной точке, а точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения.

Итерационый процесс схождения к корню реализуется формулой:
x_n+1=x_n-f(x_n)/f '(x_n). Вычисления продолжаются пока соблюдается условие
|x_n+1-x_n |>=eps.

В зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм по методу Ньютона может как сходиться к корню уравнения, так и расходиться.

Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная программа при решении исходного уравнения.

Блок-схема алгоритма

Листинг программы

//метод Ньютона для решения кубических уравнений

#include<math.h>

#include<iostream.h>

double a[4]={0},

b[3]={0},

c[2]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

double Calc_Second(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

return 0;

}

void Hello(void)

{

cout<<"Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).\n\n";

}

void Input()

{

cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<<endl

<<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<<endl<<endl;

for (int i=0;i<4;i++)

{

cout<<"Введите значение коэффициента a["<<i+1<<"] : ";

cin>>a[i];

}

cout<<endl<<"Необходимо указать интервал поиска решения."<<endl

<<"Введите нижнюю границу поиска : ";

cin>>minim;

cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

cin>>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout<<"\nНижняя граница должна быть меньше верхней и не может быть ей равна."<<endl

<<"Повторите ввод нижней границы : ";

cin>>minim;

cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

cin>>maxim;

}

cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

cin>>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

c[0]=b[0]*2;

c[1]=b[1];

cout<<"\n\n\n"

<<"Исходное уравнение имеет вид : \n\n"

<<a[0]<<"x^3+("<<a[1]<<")x^2+("<<a[2]<<")x+("<<a[3]<<")=0\n\n"

<<"Первая производная имеет вид : \n\n"

<<"f'(x)="<<b[0]<<"x^2+("<<b[1]<<")x+("<<b[2]<<")\n\n"

<<"Вторая производная имеет вид : \n\n"

<<"f''(x)="<<c[0]<<"x+("<<c[1]<<")\n\n";

}

void Calculation()

{

double x=0, m=0;

cout<<"-------------------------------------------------"<<endl

<<"| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |"<<endl

<<"-------------------------------------------------"<<endl;

if (abs(Calc_Fun(minim))*abs(Calc_Second(minim))>0) x=minim;

else x=maxim;

if (Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));

else m=abs(Calc_First(minim));

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<x;

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<Calc_Fun(x);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<(fabs(Calc_Fun(x))/m);

cout<<"|\n";

while((fabs(Calc_Fun(x))/m)>prec)

{

x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<x;

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<Calc_Fun(x);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<fabs(Calc_Fun(x))/m;

cout<<"|\n";

}

cout<<"-------------------------------------------------";

}

double Calc_Fun(double x)

{

return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}

double Calc_Second(double x)

{

return (c[0]*x+c[1]);

}

Результаты работы программы

Пример №1

Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

Первая производная имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

Вторая производная имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| -4| -66| 1.222222222|

| -3.24137931| -9.922506048| 0.183750112|

| -3.079817529| -0.40621762| 0.007522548518|

| -3.07261683|-0.000789793230|1.462580056e-05|

-------------------------------------------------

Пример №2

Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

Первая производная имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

Вторая производная имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| 3| 4| 0.4444444444|

| 3.222222222| 0.159122085| 0.01768023167|

| 3.231855174| 0.000341137633|3.790418145e-05|

-------------------------------------------------

Пример №3

Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

Первая производная имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

Вторая производная имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| 6| 4| 0.6666666667|

| 5.851851852| 0.2601229487| 0.04335382479|

| 5.840787634| 0.001413241032| 0.000235540172|

| 5.840726862|4.255405933e-08|7.092343222e-09|

-------------------------------------------------

Метод итераций.

Блок-схема алгоритма

Блок-схема решения и листинг программы, реализующей этот алгоритм на языке программирования С++.

Листинг программы

//метод итераций для решения кубических уравнений

#include<math.h>

#include<iostream.h>

double a[4]={0},

b[3]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

return 0;

}

void Hello(void)

{

cout<<"Программа для решения кубических уравнений методом итераций.\n\n";

}

void Input()

{

cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<<endl

<<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<<endl<<endl;

for (int i=0;i<4;i++)

{

cout<<"Введите значение коэффициента a["<<i+1<<"] : ";

cin>>a[i];

}

cout<<endl<<"Необходимо указать интервал поиска решения."<<endl

<<"Введите нижнюю границу поиска : ";

cin>>minim;

cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

cin>>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout<<"\nНижняя граница должна быть меньше верхней и не может быть ей

равна." <<endl

<<"Повторите ввод нижней границы : ";

cin>>minim;

cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

cin>>maxim;

}

cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

cin>>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

}

void Calculation()

{

double x=0, x_old=0, m=0;

cout<<"-------------------------------------------------"<<endl

<<"| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |"<<endl

<<"-------------------------------------------------"<<endl;

if(fabs(Calc_First(minim))>fabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;

else m=x=x_old=maxim;

m=fabs(1/Calc_First(m));

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<x;

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<Calc_Fun(x);

cout<<"| |\n";

if(Calc_First(x)>0)

{

x_old=x;

x=x_old-m*Calc_Fun(x_old);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<x;

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<Calc_Fun(x);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) );

cout<<"|\n";

}

while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

}

else

{

x_old=x;

x=x_old+m*Calc_Fun(x_old);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<x;

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<Calc_Fun(x);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) );

cout<<"|\n";

}

while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

}

cout<<"-------------------------------------------------";

}

double Calc_Fun(double x)

{

return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}

Результаты работы программы

Пример №1

Программа для решения кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| -4| -66| |

| -3.24137931| -9.922506048| 56.07749395|

| -3.127327517| -3.12093462| 6.801571427|

| -3.091454705| -1.064778438| 2.056156183|

| -3.079215872| -0.372281515| 0.6924969227|

| -3.074936774| -0.131239433| 0.241042082|

| -3.073428275| -0.04639844126| 0.08484099175|

| -3.07289496| -0.01642029825| 0.02997814301|

| -3.072706221|-0.005813178631| 0.01060711962|

| -3.072639403|-0.002058264249| 0.003754914382|

| -3.072615744|-0.000728799396| 0.001329464852|

| -3.072607367|-0.000258060628|0.0004707387678|

| -3.072604401|-9.137721784e-0|0.0001666834108|

| -3.072603351|-3.235601088e-0|5.902120696e-05|

| -3.072602979|-1.145703711e-0|2.089897377e-05|

-------------------------------------------------

Пример №2

Программа для решения кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| 3| 4| |

| 3.222222222| 0.159122085| 3.840877915|

| 3.231062338| 0.01338370012| 0.1457383849|

| 3.231805877| 0.001151957391| 0.01223174272|

| 3.231869875|9.934183961e-05| 0.001052615552|

| 3.231875394|8.568402322e-06|9.077343728e-05|

| 3.23187587|7.390497921e-07| 7.82935253e-06|

-------------------------------------------------

Пример №3

Программа для решения кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| 6| 4| |

| 5.851851852| 0.2601229487| 3.739877051|

| 5.842217669| 0.0346921878| 0.2254307609|

| 5.840932773| 0.004788677115| 0.02990351069|

| 5.840755414|0.0006639855431| 0.004124691572|

| 5.840730822|9.212373716e-05|0.0005718618059|

| 5.84072741|1.278267885e-05|7.934105832e-05|

| 5.840726937|1.773688694e-06|1.100899016e-05|

-------------------------------------------------

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

Кафедра информатики

Курсовая работа

На тему: метод касательных (метод Ньютона)

Работу выполнил студент гр. 52-61

Низамова Г.Н.

Проверил: Борганова Э.М.

Альметьевск 2003 г.

Система математических расчетов MATLAB

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АРМЕНИИ MATLAB УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Гаспарян Олег Николаевич Д.т.н, с.н.с 2005 СОДЕРЖАНИЕ Система математических ...
Это уравнение имеет единственное решение x = 3. Решение может быть легко получено обычным делением.
Find Y = f(X) - Данная панель дает возможность произвести интерполяцию или экстраполя-цию текущей подгонки.

Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: учебное пособие

Лекции по C++
Астраханский государственный технический университет Кафедра "Информационных технологий и коммуникаций" Конспект лекций по дисциплине "Основы ... * double volume(double length, double width = 1, double height) void foo(double x)	Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: реферат

Анализ режимов работы электрических сетей ОАО "ММК им. Ильича ...

Министерство образования и науки Украины Приазовский государственный технический университет Факультет информационных технологий Кафедра автоматизации ...
Шаг 2. Вычислить f(x) в базисной точке b1 с целью получения сведений о локальном поведении функции f(x). Функция f(x) в базисной точке b1 находится следующим образом:
f1=f( x1), f2=f(x2) ... fn+1=f(xn+1) (1.46)

Раздел: Рефераты по физике
Тип: дипломная работа

НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА ...

Федеральная Авиационная Служба России МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра прикладной математики Курсовая ...
представляет особый интерес, т.к. формулы нахождения корней даже кубического уравнения достаточно сложны, а если необходимо отыскать корни многочлена, степень которого равна ...
. xn=F(xn-1)

Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

Исследование движения центра масс межпланетных космических аппаратов

2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ 2.1. ВВЕДЕНИЕ В данной работе проводится исследование движения центра масс МКА под действием различных возмущающих ...
На основе второго закона Ньютона уравнения движения материальных точек М и m имеют вид:
} void out_p(real x,real *y,real*,int,int,real*)

Раздел: Рефераты по астрономии
Тип: реферат

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

Реферат: Метод касательных (метод Ньютона)

Описание

Блок-схема алгоритма

Листинг программы

Результаты работы программы

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Блок-схема алгоритма

Листинг программы

Результаты работы программы

Пример №1

Пример №2

Пример №3