Реферат: Упругие волны

§ 1. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо­образной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распро­страняться в среде от частицы к частице с некоторой скоро­стью υ. Процесс распространения колебаний в пространстве на­зывается волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В попереч­ной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендику­лярных к направлению распространения волны. Упругие попереч­ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час­тицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ¼ υT, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час­тицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положе­ния; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положе­ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав­новесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь υT, достигнет частицы 5.

На рис. 1.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведе­ния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско­ростью υ.

На рис. 1.1 и 1.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблют­ся не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис­точника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и но­вые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны   (или   волновым фронтом). Фронт волны пред­ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть простран­ства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко­лебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую по­верхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых по­верхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют со­бой множество параллельных друг другу плоскостей, в сфериче­ской волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия кото­рых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

На рис.1.3 изображена кривая, которая дает смещение x из положения равновесия точек с различными x в некоторый мо­мент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции x(х, t) для некоторого фиксированного момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

λ =υT,

где υ — скорость волны, T — период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ­ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2p (см. рис. 1.3).

λv = υ.

К этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле­бание, первый «гребень» успеет пройти путь υ. Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ.

§ 2. Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает сме­щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре­мени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания час­тицы с координатами х, у, z. Периодич­ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя­ние λ, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции x, в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер­пендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверх­ности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x= x(х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид

x (х, t) = a cos (wt + a).

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости  х = 0 до этой плоскости, волне требуется время t = x/υ (υ – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

x (х, t) = a cos [ w ( t − t ) + a ] = a cos [ w ( t − x/υ ) + a ].

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a определяется выбором начал отсчета х и t. При рас­смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a была равной нулю. При совмест­ном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

w ( t − x/υ ) + a = const

Таким образом, скорость распространения волны υ в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

x = a cos [ w ( t + x/υ ) + a ]

из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.

x = a cos ( wt + kx + a )

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (2.8) только знаком при члене kx.

При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a = a₀ e^–γx. Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:

(a₀ – амплитуда в точках плоскости х = 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна wt + a. Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой

w ( t – r/ υ ) = wt – kr + a

где a — постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность а равна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно доба­вить множитель e^–γx.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x, y, z углы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид

x = a cos [ w( t −      ) + a ] = a cos ( wt − kl + a ).

(k = ω/υ; см. формулу (2.7)).

Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l:

nr = r cos φ= l.

x = a cos ( wt − knr + a )

k = kn,                       

x ( r, t ) = a cos ( wt − kr + a )

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ром k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­житель e^–γl = e^{–γ nr}.

Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором r в момент времени l (r оп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное про­изведение kr через компоненты векторов по координатным осям:

kr = k_xx + k_yy + k_zz.

x (x, y, z, t ) = a cos ( wt − k_xx – k_yy – k_zz + a )

x = Re ae^{i (ωt-kr+α)}

â = ae^iα,

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде

x = âe^{i (ωt-kr)}

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.

§ 4. Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k²/ω² через 1/υ² (см. (2.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

где Δ – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем

Аналогично

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при                , дает фазовую скорость этой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде

Пусть в направлении оси х распространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания  S и высотой Δx (рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение ξ, то смещение основания с координатой x+Δx будет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, что ξ меняется с изменением х не по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х, нужно устремить Δx к нулю. Таким образом,

 (символ частной производной взят потому, что зависит не только от x, но и от t).

Наличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения σ, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома

(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция                , а следовательно, и напряжение σ в фиксированный мо­мент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как уже отмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной                      . Масса цилиндра рав­на ρSΔx, где ρ – плотность недеформированной среды. Проек­ция на ось x силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напря­жений в сечениях (x+Δx+ξ+Δξ) и (x+ξ):

Значение производной            в сечении x+δ можно для малых δ представить с большой точностью в виде

где под                  подразумевается значение второй частной произ­водной ξ по х в сечении х.

Ввиду малосги величин Δx, ξ и Δξ произведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):

Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим

Наконец, сократив на SΔx, придем к уравнению

которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ξ не зависит от у и z. Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что

Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

где G – модуль сдвига.

§ 6. Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна

x = a cos ( wt − kx  + a )

Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно,                         и              .

Выделенный нами объем обладает кинетической энергией

(ρΔV – масса объема,            – его скорость).

Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации

(ε =             – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ρυ² (ρ – плотность среды, υ – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид

Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию

Разделив эту энергию на объем ΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии

Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x дает

Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k²υ² = ω², получим

В случае поперечной волны для плотности энергии получается та­кое же выражение.

Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорцио­нальны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату ампли­туды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плос­кой затухающей, сферической и т. д.).

Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. сов­падает с размерностью мощности. В соответствии с этим Φ измеря­ется в ваттах, эрг/с и т. п.

Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором пере­носится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку          , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔW. Тогда плотность потока энергии равна

(см. (6.7)). Через площадку              (рис. 6.1) будет перенесена за время Δt энергия ΔW, заключенная в объеме цилиндра с основа­нием   и высотой υΔt (υ – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости     и Δt) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра, равный        υΔt:

Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плот­ности потока энергии:

Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распростране­ния волны (и переноса энергии), можно написать

 j  =  wv

странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно

(см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.).

Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плот­ности потока энергии, переносимой волной.

Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разо­бьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равен   dV = υ dt dS cosφ . В нем содержится энергия dW = w dV = w υ dtdS cos φ  (w — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где рас­положена площадка dS). Приняв во внимание, что

w υ dS cos φ = j dS cos φ = j dS

(dS = n dS; см. рис. 6.2), можно написать: dW = j dS dt. Отсюда для потока энергии dΦ через площадку dS получается формула

В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S.

Заменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение Φ:

Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каж­дой точке этой поверхности векторы j и dS совпадают по направле­нию. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности оди­наков. Следовательно,

(r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11)                                    . Таким образом,

(a_r – амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии че­рез сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие

Отсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. формулу (5.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии           обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с рас­стоянием по закону a = = a₀ e^-γx (см. (2.9)). Соответственно средняя плотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по

Здесь c = 2γ – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная c, равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз.

§ 7. Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна­ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при нало­жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

x₁ = a cos ( wt − kx  + a₁ ),                x₂ = a cos ( wt + kx  + a₂ ).

Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность α₁ – α₂ стала равной нулю, а начало отсчета t — так, чтобы оказалась равной нулю сумма α₁ – α₂. Кроме того, заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (7.1) примет вид

Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем ампли­туда зависит от х:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2πx/λ = ± nπ (n Î N) – (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x, определяемые формулой (7.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плос­кость, точки которой имеют значения координаты х, определяе­мые формулой (7.5).

Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель                         при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p. Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, ко­леблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя со­седними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (7.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц         и для дефор­мации среды e:

Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации.

На рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще­ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4. Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч­ностями смещения; узлы же и пучно­сти деформации совпадают соответ­ственно с пучностями и узлами сме­щения. В то время как x и ε достигают максимальных значений,     обраща­ется в нуль, и наоборот. Соответст­венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль­ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо­дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со­средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.