1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние(в-2.,3.)

Внешние нагрузки:

                            Р –сосредоточ (а<< h)

                                   q – интенсивность

                                   распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.

М – пара сил (сосредоточенный момент)

Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если F_внеш отсутствует, то F_внут = 0.

R- главный вектор M_R гл векторный момент.

N_я- продольная сила (раст\сжат)

Q_{x или у}поперечная (сдвиг\срез)

М_{к (z)} крутящий момент (кручение)

М_{из (х или у)}изгуб-щий момент (изгиб

чистыйМ_и≠0      поперечный М_и≠0 Q≠0                       

2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P₁|=|P₂|               

                        Равнов-е – это состояние            

                        покоя или равномерного

                        движ-я по отношению к 

                        др. телам.

2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными.

3.Равнодействующая 2 сил,  

                 сходящихся в 1-ой точке,

                 изображается диагональю

                 параллелограмма, построенного на этих силах.

4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие.

5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении.  Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям.

6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому  кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи.

Связи:

1)Свободное опирание тела на связь

               2)Гибкие связи – это нити,

               цепи, тросы, работают на

            растяж-е р-ции напр вдоль нити

                        3)Жесткие стержни,

                        работают на растяж\сжа

                        р-ции напр вдоль стержн

4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция)

5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции)

6)Жёсткая заделка (3 реакции)

3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

                      Система сходящихся сил

                       (2 или более сил, сход в

                       1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾P_i). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|

опред равнодействующей:

1)Графическое суммирование

2) Аналитическое R_y=∑(P_i)=P₁sin(a)+P₂ sin90+P_nsin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. R_z=∑(P_i)=P₁cos(a)+P₂ cos90+P_ncos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√R_y²+R_z²

Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом М_о. R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.М_о- гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.

М_о=m_o(P₁)- m_o(P₂)+M₁-M₂

Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0

а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут.

б)при аналитическом R_yиR_zдолжны=0.

Условие равновесия: R=0 (∑(P_i)_z=0, ∑(P_i)_y=0); M_o=0 (∑m_o(P_i)+∑M_i=0)

4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3)

Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения.

Св-ва пар сил:

Две пары сил статистически эквивал-

ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты =

М₁=М₂ если P₁*h₁=P₂*h₂

5     Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое

6    

1)Чистый изгиб М_изг≠0, Q=0,N=0,M_к=0

2)Поперечный М_изг≠0, Q≠0,N=0,M_к=0

По расположению силовой плос-ти:

1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции J_x J_y имеют экстремальные знач-я J_x=∫y²dF (поF) J_y=∫x²dF (по F)

2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости

Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.

Q=∑(P_i)_y   М_и=∑m_o(P_i)+ ∑M_i

Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q

Правило знаков:

М_и-изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. М_и=f(q,P,M) Q и М_и-могут быть с разными знаками. Правило знаков:

Постр-е эпюр Q и Ми:

1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).

2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)

3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков.

4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов

5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум.

При движ-ии слева направо:

1)На уч-ах балки где Q>0 Ми-возрас-т

Где Q<0 Ми-убывает

2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая

эпюру Ми. |Q|↑ то крут-на Ми↑

если Q_i>Q_j     M_иi>М_иj     α_i>α_j  

3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми-  прямая

4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я.

27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

Q_I=R_a+P-q*z

М_иI=R_a*z+P*(z-a)-q*z²/2+M

Q_II=R_a+P-q*(z+dz)

М_иII=R_a*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M

                             Q_II-Q_I=dQ

                              dQ=q*dz

                               q=dQ/dz

Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.

М_иII-М_иI=dМ_и=  R_a*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M- R_a*z-P*(z-a)+q*z²/2-

-M= R_a*dz+P*dz-q*z*dz-(q*d²z)/2

(q*d²z)/2→0    dМ_и= (R_a+P-q*z)*dz= =Q_I*dz        Q=dМ_и/dz

Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q

28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

                                      Ми≠0(чист из-б)

                                       у-расст-е от

                                   нейтрального слоя

                                      до другого.

Справедлива гипотеза плоских сеч-й.

Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины.

                                   a'b’-удлинились

                                   c’d’=cd

                                    e’f ‘-укоротились

                                     ρ-радиус изгиба 

                                     О-центр тяж-ти.

Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я.

ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd

ac=y  ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ   ρ=const

т.к. γ=0, то τ=0     т.к.ε≠0 σ≠0

ε=σ/Е      σ =Е*ε=Е*у/ρ

Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.

                                      Сила действ-ая

                                      на элемен-ую

                                     площадку σ*dF

                                1)∑(P_i)_x=0       тожд-

                                2)∑(P_i)_y=0            ва

                                3)∑m_z(P_i)=0       0=0

положение, а также можно переносить в плоскость ||  плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится.

Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.

М=∑М_i. Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. М_R=∑М_i=0

                                Момент силы относ

                                точки= m_o(P_i)=|P|*h

                              Следствия: 1)момент

силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0

m_o(P_i)=|P|*h т.к. h=0 <= m_o(P_i)=|P|*h=0

2)Алге сумма моментов сил образующ

пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил.

                                                  P=P’

∑m_o(P_i)=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=

P*AB=P*h  => m_o=M

5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.(в-3, 4)

                                   Силу Р можно || 

                                  переместить в

                                  любую точку О,

                                   добавив при этом

                                   момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. М_пр= Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил.(в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.(в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

ε = σ / Е  γ = τ / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.

6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности

δ = δ^Р+ δ^М+ δ^q (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей

      если а<<L                то:

Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.

Σ(Р_i)_z=0                                  

8           Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Р_{среднее}=ΔR/ΔF

P_{истинное}= lim ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м²=Па]

σ_z – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.

τ_{(zx или zy)}- (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

                                        Плоская задача

                                              Р=√σ²+τ²

N=f(σ)→σ_max<=[ σ]        

Q=f(τ)→τ_max<=[ τ]             условия

M_к=f(τ)→ τ_max<=[ τ]          прочности

M_и=f(σ)→ σ_max<=[ σ]

Деф-ции:

1.линейные а)абсолютные Δl=l₁-l Δh=h₁-h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х:

Δl=N*l/(E*F) –раст\сжатие

φ = М_к*l /(G*J_p) – кручение

k= 1/ρ= M_из/(E*J_x) – изгиб

ΔS= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса.

б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= [δ]

9           Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.

Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const

σ_i=N_i /F_i<=[σ_c],[σ_p]- условие проч-ти.

Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука   Δl/l=N/(F*E)  Δl=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

                                 Попереч деф-я:

                                 ε'= - μ*ε   ε’-относ

                               попер деф-я, μ- коэф

                                Пуассона, ε – относ

                                Продольная деф-я.

                              μ хар-ет способность

                             мат-ла к попер деф-м.

                              Δ b=ε’ * b

Перемещение (δ) относится к сечению

4)∑(P_i)_z=0   ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся S_x и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

S_x=y_ц.т.*F  т.к.Е/ρ≠0, то S_x=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.

5)∑m_y(P_i)=0        x- плечо  σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF         ∫xydF= J_xy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)∑m_x(P_i)=0      ∫yσdF=М_и Е/ρ∫у²dF=М_и ∫у²dF=J_x- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х

Е/ρ*J_x=М_и    1/ρ=М_и/(Е*J_x) – кривизна нейтр-ого слоя.

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:

2)Расположение балки делают таким чтобы J_x=max

3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σ_{max pас}=σ_{max сж}

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

                                     σ_{max pас}<=σ_{max сж} 

                               т.к. [σ_сж]=(3-5)*[σ_рас]

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:

σ_{max pас}=σ_{max сж}=М_и*0.5*h/J_x=М_и/W_x W_x=J_x/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: σ_max =М_и/W_x<=[σ]

2)хруп мат-л: σ_max =М_и/W_x<=[σ_рас]

Ассиметричные сеч-я:

σ_{max рас} =М_и*y_{max рас}/J_x<=[σ_рас]

σ_{max сж} =М_и*y_{max сж}/J_x<=[σ_сж]

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

А_внеш=М₁*θ₁/2  dA_внут= - М_и*dθ/2 

ρ – радиус крив-ны k –кривизна  

                                      dz=ρ*dθ

                                       dθ=dz/ρ

                                      k=1/ρ=М_и/(Е*J_x)

                                     dθ= М_и*dz/(Е*J_x) dA= - М_и²*dz/(2*Е*J_x)  U= -A_внут=

= -∫-М_и²*dz/(2*Е*J_x)=∫М_и²*dz/(2*Е*J_x) (от0 до L). – для попер изг-а М_и≠const.

Для чистого изгиба: М_и=const  

U= М_и²*L/(2*Е*J_x)  

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный М_изг≠0, Q≠0,N=0,M_к=0

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я:  τ_zy=τ=Q_y*S_x/(J_xb_y)

Q_y-попер сила в рассматр сеч-и S_x-статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку J_x- момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси  b_y-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.

32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: у_max<=[y]

[y]=(0.01-0.001)*L

θ_A-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z)  θ_A=tg θ_A при α<<

θ_A=dy/dz=y’ Условие жесткости: θ_max<=[θ] [θ]=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.

Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)²)^3/2

Из сопромата: k=1/ρ =M_и/(ЕJ_x )

Точное диф ур-е:

 y’’/(1+(y’)²)^3/2= M_и/(ЕJ_x)

y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)²-пренебре-

гаем. Получаем: y’’= M_и/(ЕJ_x)

M_и= y’’ЕJ_x- основное диф ур-е упругой линии балки.

y'’=d²y/dz²=dy’/dz

аналитическое решение: M_и= y’’ЕJ_x ЕJ_x=const          ЕJ_xd(y’)=M_иdz

ЕJ_xy’= ∫M_иdz+C   y’=θ=(∫M_иdz+C)/( ЕJ_x)

ЕJ_x dy/dz= ∫M_иdz+C 

ЕJ_x dy= dz(∫M_иdz+C)

ЕJ_x = ∫dz∫M_иdz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

                                 y_A=0  θ_A=0

                                  y_A=0   y_B=0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

                                         Для данного

                                          напавления

                                          все знаки +

1) ЕJ_xθ= ЕJ_xθ₀+∑M(z-a)+(∑P(z-b)²)/2+ +(∑q(z-c)³)/6+…

2) ЕJ_xy= ЕJ_xy₀+ ЕJ_xθ₀z+(∑M(z-a)²)/2+ +(∑P(z-b)³)/6+ +(∑q(z-c)⁴)/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью   ЕJ_x=const  2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.

то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)³)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)⁴)/24 

∑-алгеб сумма 4) y₀ и θ₀ опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.

Объёмная деформация. (В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост

                                                   σ₁≠0

                                                   σ₂≠0

                                                    σ₃≠0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

υ=(V₁-V₀)/V₀ υ-относит изменение объёмаV₁-объем после деф-ииV₀-до

 деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= [δ]

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти)  Е_стали=2*10⁵МПа.

10          Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dА_внеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l  dA=(E*F*δ/l)*dδ A_внеш= 

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ.

                           dA_внут= - N*Δ(dz)/2            

                            Δ(dz)=N*dz/(E*F)

                            dA_внут= -N²*dz/(2*E*F)        

                          A_внут=-N²*dz/(2*E*F)

                             A_внут= -N²*l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:

U= - A_внут=N²*l/(2*E*F),   U=N²*dz/(2*E*F)  A_внут= -А_внеш, U=A_внеш

11          Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил

0<=z₁<=a    a<=z₂<= a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N₁=P₁ N₂= - P₂+P₁строим эпюру прод сил.

Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σ_i=N_i/F_i

Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

Δl_i=N_i*l/(E*F_i) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-i=Σ(Δl_i)

12          Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_xz τ_yx τ_yz τ_zx τ_zy

Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ₁ >σ₂ >σ₃(в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-

ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми

Линейное или одноосное напр сост:

                                      σ_3или1≠0, 

                                     σ₂=σ_1или3=0

                                             F_α=F/ cosα

1) ∑(Р_i)_{площадка}=0      σ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

 σ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

σ_α=σ₁*cos² α

2) ∑(Р_i)_{площадка}=0      τ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

τ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

τ_α=σ₁*cos α * sin α = 0.5* σ₁* sin 2α

τ_max|_α=45= σ₁/2              τ_min| _{α=0, α=90}= 0

                              σ_α+π/2=σ₁*cos²(α+π/2)=

                                 =σ₁*sin²α          т.о.

                              σ_α + σ_α+π/2= σ₁*cos²α +

                               + σ₁*sin²α = σ₁

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = σ₁

τ_α+π/2=0.5*σ₁*sin2(α+π/2)=0.5*σ₁sin(2α+ +π)= - 0.5*σ₁sin(2α)

τ_α+ τ_α+π/2=0.5*σ₁sin(2α)- 0.5*σ₁sin(2α)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ).

                                          τ_xy= - τ_yx

                                           τ_zy= - τ_yz

                                           τ_xz= - τ_zx

13          Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

14          Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f(σ)→ σ_i=N_i/F_i<=[σ]–для пластично

σ_ic<=[ σ_с] σ_iр<=[ σ_р] –для хрупкого

15          Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

16          Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

17          Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

[σ]=  σ_u/n  [σ]-допускаемое напяж-е 

σ_u- предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом  имеющегося опыта эксплуатц.    

18          Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Q_x или Q_y) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.

Напр-я: Q=P  τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ        ΔS (абсолют деф-я)= γ*a    γ =τ/G

                                                  V₀=1

                                                  l₁=l₂=l₃=1

для ед длины:ε₁=Δl₁/l₁= Δl₁/1= Δl₁ =>

V₁= (1+ ε₁)* (1+ ε₂)* (1+ ε₃)=1+ +ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃+…+ ε₁+ ε₂+ ε₃ 

Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃ε₂+…можно пренебречь.=> V₁= 1+ ε₁+ ε₂+ ε₃

υ=(V₁-V₀)/V₀=(1+ ε₁+ ε₂+ ε₃-1)/1= ε₁+ +ε₂+ ε₃ 

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))-  обобщенный з-н Гука для объем н.с.       υ=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е      2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:

ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:

ε_{12 1-}направление деф-ии _2-причина деф

ε₁₁= σ₁ /Е       ε₂₂= σ₂ /Е

ε₂₁= -μ*ε₁₁= -μ* σ₁ /Е       ε₁₂= -μ*ε₂₂=

= -μ* σ₂ /Е     =>

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂= σ₁ /Е - μ* σ₂ /Е=

=1/E *(σ₁-μσ₂)

ε₂= ε₂₂ +ε₂₁= σ₂ /Е - μ* σ₁ /Е=

=1/E *(σ₂-μσ₁)

2)Для объёмного н.с.:

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

удельная потенц энергия е_р=U/V₀

Полная энергия U=∫е_рdV(по V)

V₀=1   е_р=U/1=U= - A_внут= - (A_{внут 1}+

+ A_{внут 2}+ A_{внут 3})

A_{внут 1}= - (σ₁* ε₁)/2  A_{внут 2}= - (σ₂* ε₂)/2 A_{внут 3}= - (σ₃* ε₃)/2

е_р=(σ₁* ε₁)/2+(σ₂* ε₂)/2+(σ₃* ε₃)/2

подставив ε₁ ε₂ ε₃ получим:

е_р=

е_р= е_р^{формоизменения}+ е_р^{объёмоизменения}

е_р^ф зависит от угловых деф-ий

е_р^о зависит от линейных деф-й сторон

е_р^ф=(1+μ)(σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₁σ₃-

-σ₂σ₃)/3Е

е_р^о=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)²/6Е

37  Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

                                σ_α=σ₁*сosα+σ₂*sinα

                                  τ_α=((σ₁-σ₂)/2)*sinα

                                τ_max|_α=45=(σ₁-σ₂)/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по σ_α σ_β τ найти σ₁ σ₂

                            а) tg2ψ₀=2τ/(σ_β-σ_α)-

                                положение

                              глав площ-ки

σ_{1(max)/3(min)}= (σ_α-σ_β)/2±(√((σ_α-σ_β)²+4τ²))/2 вел-на глав напр-й (+для σ_1(max) -для

σ_3(min))

                                  б)для кручения

                                с изгибом

                                tg2ψ₀=2τ/σ

                              σ_1/3=σ/2±(√(σ²+4τ²))/2

                           (+для σ_1(max) -для σ_3(min))

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб)

2)простое плоское н.с.(кручение, срез)

3)сложное н.с.

Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σ_экв и явл-ся равноопасным  заданным плос или объёмным сост-м. σ_экв выр-ся ч/з напряж-я σ₁ σ₂ σ₃ т.о. σ_экв=f(σ₁ σ₂ σ₃) и устанавливается гипотезами прочн-и

σ_экв<=[σ]- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж

σ_1/3<=[σ] (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

ε_1/3<=[ε]=σ/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

τ_max(для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τ_max =(σ₁-σ₃)/2    [τ]=[σ]/2

(σ₁-σ₃)/2<=[σ]/2      σ₁-σ₃<=[σ]     =>

σ_{экв III}= σ₁-σ₃ т.к. не уч-ет σ₂ то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (е_р^ф) не превосходит допустимой е_р^ф установленной для одноосного н.с.

е_р^ф(для слож н.с.)<=[е_р^ф](для линей н.с.

σ_эквIV==

=<=<= [σ] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃<=[σ_р] или [σ_сж]

ν=[σ_р] / [σ_сж] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):

σ₁= σ₃=

σ_{экв III}= σ₁- σ₃==

=<<=[σ]

σ_эквIV===

=

σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃=1/2*=

==

σ_экв=М_прив/W_x<=[σ]   W_x=0.1d³

ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

А_внеш= -А_внут  U= -A_внут= P*ΔS/2=

=Q* ΔS/2= Q²*a/(2*G*F)

19          Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Δ l=0 σ =0          γ (угол сдвига)≠0

τ (кас напр)= G*γ

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (М_кр)

                                      Внеш скруч

                                       мом-ы: М_скр

М_кi= ΣM_{скр i} Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ

М_кр = f (τ)

Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.

γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус  γ_max=tg γ_max=NN’/dz=r dφ/dz      γ_ρ= tg γ_ρ=kk’/dz= ρ dφ/dz       τ_ρ =G*dφ/dz* ρ

dφ/dz=const     G=const  G* dφ/dz=const

S=0 → τ=0     S= r → τ_max

При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ.  dM_к= τ_ρ*dF *ρ M_к=∫dM_к(по F) = =∫ ρ *τ_ρ*dF  = ∫ ρ²*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ²dF    ∫ ρ²dF=J_p- полярный момент инерции поперечного сечения.

 dφ/dz=М_к/(G*J_p)                

τ_ρ= G* ρ* М_к/(G*J_p)= М_к* S/J_p

J_p(для круга)=0.1*d⁴

J_p(пусто-ого вала)=0.1*D⁴*(1-c⁴) c=d/D

τ_max=М_к*r /J_p= M_к/W_p<=[τ] –усл проч-и

W_p=J_p/r     W_p – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

W_p (круг)= 0.2*d³  

W_p(пустотел вал)= 0.2*D³*(1-c³) c=d/D

dφ =М_к* dz /(G*J_p) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL)

 М_к/(G*J_p)=const       φ= М_к*l/(G*J_p) –  з-н Гука  

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к/(G*J_p)

Услов жесткости: θ <= [θ]

20          Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. (в-19)

21          Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

A_внеш=М_скр1*φ₁/2    dА_внут= - М_к*φ/2

U= -А_внут=∫ М_к²* dz /(2*G*J_p(от0 доL) U=М_к²* l/(2*G*J_p)

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к/(G*J_p)

Услов жесткости: θ <= [θ]

τ_max=М_к*r /J_p= M_к/W_p<=[τ] –усл проч-и

22          Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

23          Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

d-диаметр отверстия d_зак-диам заклёпк d≈d_зак+(0.5-1)мм

1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q_{1-й зак}=P/n n-число заклёпок

2)По плоскости среза τ распед равном

                                                        τ=Q/F

условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd²)<=[τ_cp] [τ_cp]≈0.8[σ]

n>=4P/(πd²[τ_cp]) n-числ зек из расчёта на прочность.

                                    Расчёт на смятие:

                                    F_смят=d*δ_min

                          δ_min-min толщина места. σ_смят=Q/F_смят=P/(n’dδ_min)<=[σ_cм]<=2*[σ]

n’-число зак из расчёта на смятие

n’>=P/([σ_cм]*d* δ_min) из n и n’выбир >

24          Расчёт на прочность сварных швов.

Для соед-я встык – расчёт на обычное растяж\сжат: σ=P/F_шва<=[σ]

Соед-е внахлёст:

Шов хар-ся катетом: АВ=ВС=δ=катет

На биссектрису дейст-ет τ_мах. Ширина опасного сечения = 0.7*катет

Площади опасного сечения швов:

F_лоб =b_∑*0.7*кат-т F_фронт =l_∑*0.7*кат-т

Допустимая нагрузка:

(l_∑+b_∑)*0.7*кат-т*[τ]>=P

25          Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

                                          α<=10-12град

                                         D-сред диамет

                                          пружины

                                     d-диам проволок

                                          h-шаг

                                 с=D/d-индекс пруж

                                   с=4-12

                                  n-число раб витков

                                   n_пол=n+1.5-2.5

                                λ-удлинение/осадка

в сечении 2 внутренних усилия:

Q-поперечная сила, М_к-крутящ момен

Q=P     M_к=P*D/2

                   M_к: τ_max=М_к/W_p=P*D/2*W_p

                    W_p=π*d³/16    τ_max =8PD/πd³

                               Q: τ=Q/F=4P/ πd²

Условия проч в опасной точке: τ_max= τ_max(Мк)+ τ_max(Q)= 8PD/πd³+4P/ πd²= =(8PD+4Pd)/ πd³= =8PD/πd³*(1+d/2D)<=[τ]

Если d/2D<=1/6, то τ_max=8PD/πd³<=[τ]

d>=      λ=8PD³n/Gd⁴

                 хар-ка пруж-ы график P=f(λ)

                    k-жёсткост    k=P/ λ [H/мм]

26          Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

Изгибом наз-ся деф-я сопровождающ изменением кривизны оси стержня.

Стержни раб-щие в основном на изгиб наз-ся балками

Виды изгиба по внутр-м усилиям:

d_проч=

39 Гипотеза max касательных напряжений (III гипотеза прочности)(В-38)

40Гипотеза энергии формоизменения (IV гипотеза прочности)(в-38)

41 Критерий Мора.(в-38)

42 Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38)

                                      1)строим эпюры

                                       М_к1=0  М_к2=М

                               М_и1,2=Р*z_1,2|₀=0|_L=P*l

                                 2)опасные сечения:

                                М_к2=М    М_и2=P*l

                            3)исследу-ые напр-я:

                               τ_max(М_и)=М_к/W_p

                              σ_max(M_и)=М_и/W_x

                              τ_max(Q)=Q*S_x/(b*J_x)

                              4)опасная точ на

                                поверхности вала:

                                σ=М_и/W_x

                               τ_max=М_к/W_p= М_к/2W_х

W_p=J_p/r=2*J_x/r      W_x= J_x/r= W_p/2

J_p=