Реферат: Оптимизация показателей

Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім  застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для якої:

1.   потрібно визначити максимальне значення ф-ції

2.   всі обмеження записані в вигляді рівностей

3.   для всіх змінних виконується умова невідємності

Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком <=.

Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють на знак рівності.

Вихідне завдання:                                         

F = 5х₁ +6х₂        max

      -10x₁ - 6x₂ ³-60      

  -4x₁ + 9x₂  £ 36

   4x₁ -  2x₂  £ 8

x₁,x₂³0   x₁,x₂-цілі числа

Основна задача:

F = 5х₁ +6х₂       max

    10x₁ + 6x₂ + х₃ =60  

  -4x₁ + 9x₂ +х₄= 36

   4x₁ -  2x₂ +х₅ = 8

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅  ³0  x₁,x₂-цілі числа

Кожній змінній в системі відповідає свій вектор – стовпець. Вектор – стовпець Р_о складається із значень правих частин рівнянь і називається вектором вільних членів.

Виходячи з основного завдання, складаєм  симплекс-таблицю. 

Таблиця № 1 – Вихідна симплекс-таблиця

Знаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі етапи:

1.   За вихідною с-т знаходять опорне рішення

Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в основній задачі.

Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній x₁—вектор Р₁ і т.д.

Вектор Р₀ складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-таблиці – рівняння відповідно. Четвертий рядок—рядок оцінок в ньому записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції  з протилежним знаком і визначається розв’язуємий стовпець, беруться модулі від’ємних чисел з цієї строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х₁ перша компонента змінній х₂—друга. Значення компонент визначають слідуючим чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти вектора стовпця Р₀  з того рідка де в базисі стоїть 1.

У вихідній таблиці вектори Р₁, Р₂ – не базісні, тобто в Х – перша и друга компоненти = 0

Х=(0;0;60;36;8)

2.   Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок 4) Якщо нема – то план оптимальний, якщо є – треба переходити до новій с-т.

Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план – не оптимальний.

3.   Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним,  якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо стовпець Р₂ |-6|>|-5|

4.   Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Р_о до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається)

Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.

5.   Будують наступну с-т .

 Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою

a_ij=a_ij- (а_іk* а_nj)/a_nk де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер розв’язувального рядка

a_ij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці

a_ij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці

а_іk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.

а_nj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.

a_nk – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.

a₁₀= 60 – (36*6)/9 = 36

a₁₁= 10 +(6*4)/9 = 38/3

Таблиця № 2

Х₁=(0;4;36;0;16)  F(X₁) = 24

В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р₁ – визначальний стовпець

Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р₃

Таблиця № 3

X₃= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F₃(X₃) = 45 15/19

В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі.

2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі

 х₁=54/19, х₂=100/19

До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a^*_ij)*x_ij>= F(b^*_ij), де a^*_ij  і  b^*_ij дробови частини чисел.

Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.

F(x₁)>F(x₂)  (16/19 >5/19)

-3/38х₃-18/19х₄ + х₆ = -16/19

таблиця № 4

Х₄ = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19)  F(X₄) = 45 15/19

Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний

с. м.

3.

Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи:

1.   Знахдять опорне рішення

Х₄ = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19)  F(X₄) = 45 15/19

2.   Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.

Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.

3.   Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Р_о

Рядок № 4

4.   Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)

Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р₄

Таблиця № 5

Х₅= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F₅ = 45 5/9

F(x₁) = f ( 2 8/9) = 8/9

F (x₂) = f ( 5 5/27) = 5/27

-1/12х₃ – 17/18х₆ + х₇ = -8/9

таблица № 6

Таблица № 7

Х₆= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17)    F₆ = 45 5/17

 Будуємо нове відсічення:

 F(x₁) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17

F(x₂) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51

F(x₁)> F(x₂)

-3/34x₃ – 16/17x₇ + x₈ = -16/17

таблица №8

Таблица №9

Х^*=(3; 5)   F^*=45

4. Геометирчна интерпретація процесу розвязку.

  Геометирчна интерпретація процесу розвязку дозволяє наглядно проілюстровати процесс знаходження оптимального плану.

1)   Будують прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки =.

   10x₁ + 6x₂ =60 (1)

  -4x₁ + 9x₂ = 36       (2)

   4x₁ -  2x₂ = 8     (3)

x₁=0, (4)

x₂=0  (5)

Графіком рівняння x₁ = 0 є вісь ординат,  x₂ =0 – вісь абсцисс.

Графіки решти рівнянь будують так. Оскільки  графіки – це прями, то достатньо для кожного рівняння знайти дві точки, задовільнюючі йому, і через них провести пряумю.

2)   Визначають область допустимих значень.

Область допустимих значень знаходиться в перший чверті координат, т.к. x₁,x₂³0   x₁,x₂-цілі числа

На коорд. Площині вибирають довільну точку і перевіряють виконання тотожністів рівняннях-обмеженнях. Якщо тотожність вірна, то дана нпівплощина – площина напівплощина допустимих рішень.

3)   Будують радіус-вектор.

                                                                                           10

                                                                                                                                                      М

                                                                                     4

                (2)                                                                                                    

                                                                                                                                                                   6

-9

                                                                                                         (3)

(1)

-4

                                                                                           10

                                                                                                                         В                          М

                                                                                     4

                                    ( I )

                (2)                                                                                                    

                                                                                                                                                                   6

-9

                                                                                                         (3)

(1)

-4

В точці В, що є оптимальною за даних умов, перетикаються (I) відсічення та (1) обмеження. Знайдемо координати т.В

-3х₁ + 9х₂ = 38          х₁=26/9

                                                                         т.В (26/9; 140/27)

10х₁+ 6х₂ = 60           х₂=140/27                      F ( B) = 45 5/9

-1/12х₃ – 17/18х₆ = -8/9 – второе отсечение.

-1/12х₃*(60 – 10х₁- 6х₂) – 17/18*(38 + 3х₁ – 9х₂) = -8/9

-2х₁ + 9х₂ = 40 – уравнение 2-го отсечения.

Х₇= 40 + 2х₁ - 9₂

                                                                                           10

                                                                                                                         В                          М

                                                                                                                              С

                                                                                     4

                (2)                                                                                                     

                                                                                                                                                                   6

-9

                                                                                                                           2 16/17

-20 (II)                                                                                            (3)

(1)

-4

                                                                                           10

                                                                                                                         В                          М

                                                                                                                              С

                                                                                                                         D

                                                                                     4

(III)                                     

( II )                            (I)

                (2)                                                                                                    

                                                                                                                                                                   6

-9

                                                                                                                           2 16/17

-20 (II)                                                                                            (3)

(1)

-4

Уравнение третьего отсечения:

-3/34х₃ – 16/17х₇ = -16/17

х₇ находится из 2 го ограничения

-3/34 * ( 60 – 10х₁ – 6х₂) – 16/17*(40 + 2х₁ – 9х₂) = -16/17

-х₁ + 9х₂ = 42 – ур. Третьего отсечения

В т. D пересекаются (1) и (III)

10х₁ + 6х₂ = 60

-х₁ + 9х₂ = 42

х₁=3; х₂=5. F(D)=45

т.D (3;5)

Вывод:

 экономико-матем. модел. испольузется в экономике для решения различного рода заданий, для оптимизации их. В данной к.р. использованы симплекс метод,….. отсечения Гомори, двойной симплекс метод. Геометрическая интерпретация показывает весь ход решения.

Список використаної літератури:

1.   Кузнецов Ю.Н. “Математическое програмирование:(учебное пособие для экономических специальностей ”

2.   Оптимізація єкономічних показників з врахуванням умови цілочисленності: “Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни “Економіко математичне моделювання для студентів економічних спеціальностей”(Викладач Іванов Л.П. –Чернігів: ЧТІ,1998-20с)”