Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Абзалимов Р.Р.

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на , после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

,                                   (1.1)

,                                    (1.2)

.                                    (1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

,                                        (1.4)

с граничными условиями

,                                        (1.5)

,                                        (1.6)

где

.                                              (1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

;

;

 удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

 удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

                                              (1.8)

В каждом интервале  решения уравнения (1.4) имеют вид:

.                            (1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

,                                  (1.10)

где ,  выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

                            (1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимость  от , затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

,                                                         (1.12)

где  выписывается явно.

Пусть  - собственные значения и  - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено

,

и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) и  соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

.                                        (1.13)

Заметим прежде, что  при .

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

,                                               (1.14)

.                                        (1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале . Представим ее в виде

,                                (1.16)

где  вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

,

.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

,                       (1.17)

где  - решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

,                           (1.18)

где  при .

Тогда имеет место следующее равенство:

                               (1.19)

при , где  - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а  - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1 ,

.

Следствие 1.2 , где  - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6),  - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3  и совпадают со всеми корнями уравнения .

Следствие 1.4  образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

,                                     (2.1)

,                                     (2.2)

где  монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого . В случае, когда , спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что ; таким образом, для каждого  задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке . Если бы мы знали все значения собственных функций , соответствующие собственным числам задачи на полуоси, в точке , то, решая задачи на конечном промежутке  с дополнительным граничным условием , мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на  достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия  (условие Дирихле) и  (условие Неймана). Пусть  - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси

,                                         (2.3)

где [1] .

Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.

ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:

.                                                        (2.4)

Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.

Замечание В случае полуограниченного оператора (), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.

Следствие 2.1 , где  - длина промежутка .

Пример

.

Известно, что , где вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:

.

III. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

,                                  (2.1)

.                                  (2.2)

Имеет место следующая (см. [3])

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция удовлетворяет следующим условиям

;

 , при ;

 сохраняет знак для больших ;

, где , при ;

.

Тогда спектр оператора  - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на и .

Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел  заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал  заменяется на , где  - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием . Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при ) стремится к нулю при . С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая

ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если  - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке  с дополнительным краевым условием , то справедливо равенство  для всех .

Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).

Замечание 2 Для расчета собственных чисел  задачи (2.1)-(2.2), промежуток  заменяется на , где  - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями  и .

IV. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

,                                   (3.1)

                                   (3.2)

с дополнительными условиями:

;

 голоморфна в точке , причем ;

 при  монотонно, и , где ;

 при , .

Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность  с единственной предельной точкой , а собственные функции , отвечающие собственным значениям , имеют в интервале  в точности  нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.

Пример

 .

Известно (см. [3]), что  - собственные числа.

Введем обозначения:  - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а  - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что

,

где  вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение

.

Список литературы

Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.

Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4

Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.

Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.

Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.