Реферат: Туннельные и барьерные эффекты.

Московский Педагогический Государственный Университет

Курсовая работа по квантовой механике на тему:

Туннельные и барьерные эффекты.

Приняла:

Выполнила:

студентка 4-го курса  1-ой группы

физического факультета

Москва 2004 год.       

Введение

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ (туннелирование) — квантовый переход системы через область движения, запрещённую классической механикой. Типичный пример такого процесса— прохождение частицы через потенциальный барьер, когда её энергия Е меньше высоты барьера. Импульс частицы р в этом случае, определяемый из соотношения , где U(x)— потенциальная. энергия частицы (т — масса), был бы в области внутри барьера, Е<U(x), мнимой величиной. В квантовой механике благодаря неопределённостей соотношению между импульсом и координатой подбарьерное движение оказывается возможным. Волновая функция частицы в этой области экспоненциально затухает, и в квазиклассичесическом случае её амплитуда в точке выхода из-под барьера мала.

Одна из постановок задач о прохождении потенциального барьера соответствует случаю, когда на барьер падает стационарный поток частиц и требуется найти величину прошедшего потока. Для таких задач вводится коэффициент прозрачности барьера (коэффициент туннельного перехода) D, равный отношению интенсивностей прошедшего и падающего потоков. Из обратимости по времени следует, что коэффициент прозрачности для переходов в «прямом» и обратном направлениях одинаковы. В одномерном случае коэффициент прозрачности может быть записан в виде

(1)

интегрирование проводится по классически недоступной области, х₁,₂ - точки поворота, определяемые из условия U(х₁,₂) = Е. В точках поворота в пределе классической механики импульс частицы обращается в нуль. Коэффициент. D_o требует для своего определения точного решения квантово-механической. задачи.

При выполнении условия квазиклассичности

(2)

на всём протяжении барьера, за исключением непосредственной. окрестностей точек поворота х_1,2, коэффициент D_o слабо отличается от единицы. Существенное, отличие D_o от единицы может быть, например, в тех случаях, когда кривая потенциальной энергии с одной из сторон барьера идёт настолько круто, что квазиклассическое приближение там неприменимо, или когда энергия близка к высоте барьера (т. е. выражение, стоящее в экспоненте, мало). Для прямоугольного барьера высотой U_o и шириной а коэф. прозрачности определяется формулой

æ

где,

Основание барьера соответствует нулевой энергии.

В квазиклассическом случае D мал по сравнению с единицей.

Другая постановка задачи о прохождении частицы через барьер состоит в следующем. Пусть частица в начальный момент времени находится в состоянии, близком к т. н. стационарному состоянию, которое получилось бы при непроницаемом барьере (например, при барьере, приподнятом вдали от потенциальной ямы на высоту, большую энергии вылетающей частицы). Такое состояние наз. квазистационарным. Аналогично стационарным состояниям зависимость волновой функции частицы от времени даётся в этом случае множителем ехр(-iEt/). В качестве энергии здесь фигурирует комплексная величина E, мнимая часть которой определяет вероятность распада квазистационарного состояния в единицу времени за счёт Туннельного эффекта.:

(3)

В квазиклассическом приближении вероятность, даваемая формулой (3), содержит экспоненциальный множитель того же типа, что и в формуле (1). В случае сферически симметричного потенциального барьера вероятность распада квазистационарного состояния с орбит, квантовым числом l определяется формулой

          (4)

Здесь r_1,2—радиальные точки поворота, подынтегральное выражение в которых равно нулю. Множитель  зависит от характера движения в классически разрешённой части потенциала, например, он пропорционален классической частоте колебаний частицы между стенками барьера.

Туннельный эффект позволяет понять механизм α-распада тяжёлых ядер. Между α-частицей и дочерним ядром действует электростатическое отталкивание, определяемое формулой U(r)=b/r. На малых расстояниях порядка размера а ядра ядерные силы таковы, что эффективный потенциал можно считать отрицательным: U(r)= - U_o. В результате вероятность α - распада даётся соотношением

(5)

Здесь,

Е—энергия вылетающей α -частицы.

Туннельный эффект. обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при температуре в десятки и сотни млн. градусов, а также в земных условиях в виде термоядерных взрывов или УТС.

В симметричном потенциале, состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемым барьером, Туннельный эффект. приводит к интерференции состояний в ямах, что приводит к слабому двойному расщеплению дискретных уровней энергии. Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращается в зону энергий. Таков механизм образования узких электронных энергетических зон в кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.

Если к полупроводниковому кристаллу приложено электрическое. поле, то зоны разрешённых энергий электронов становятся наклонными в пространстве. Тем самым уровень пост, энергии электрона пересекает все зоны. В этих условиях становится возможным переход электрона из одной энергетической зоны в другую за счёт Туннельный эффект. Классически недоступной областью при этом является зона запрещённых энергий. Это явление наз. пробоем Зинера. Квазиклассическое приближение отвечает здесь малой величине напряжённости электрического поля. В этом пределе вероятность пробоя Зинера определяется в основном экспонентой, в показателе которой стоит большая отрицательная величина, пропорциональная отношению ширины запрещённой энергетической зоны к энергии, набираемой электроном в приложенном поле на расстоянии, равном размеру элементарной ячейки.

Похожий эффект проявляется в туннельных диодах, в которых зоны наклонены благодаря полупроводникам р- и n-типа по обе стороны от границы их соприкосновения. Туннелирование осуществляется благодаря тому, что в зоне, куда переходит носитель заряда, имеется конечная плотность незанятых состояний.

Благодаря Туннельному эффекту возможен электрический ток между двумя металлами, разделёнными тонкой диэлектрической перегородкой. Эти металлы могут находиться как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии. В последнем случае может иметь место Джозефсона эффект.

Туннельный эффект. обязаны такие явления, происходящие в сильных электрических полях, как автоионизация атомов и автоэлектронная эмиссия из металлов. В обоих случаях электрическое поле образует барьер конечной прозрачности. Чем сильнее электрическое поле, тем прозрачнее барьер и тем сильнее электронный ток из металла. На этом принципе основан сканирующий туннельный микроскоп - прибор, измеряющий туннельный ток из разных точек исследуемой поверхности и дающий информацию о характере её неоднородности.

Туннельный эффект. возможен не только в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так, например, низкотемпературное движение дислокаций в кристаллах может быть связано с туннелированием конечной части дислокации, состоя из многих частиц. В такого рода задачах линейную дислокацию можно представить как упругую струну, лежащую первоначально вдоль оси у в одном из локальных минимумов потенциала V(x, у). Этот потенциал не зависит от у, а его рельеф вдоль оси х представляет со последовательность локальных минимумов, каждый из которых находится ниже другого на величину, зависящую от приложенного к кристаллу механического напряжения. Движение дислокации под действием этого напряжения свода к туннелироваиию в соседний минимум определенного отрезка дислокации с последующим подтягиванием туда оставшейся её части. Такого же рода туннельный механизм может отвечать за движение волн зарядовой плотности в диэлектрике Пайерлса.

Для расчётов эффектов туннелирования таких многорамерных квантовых систем удобно использовать квазикласическое представление волновой функции в виде ψ~exp(iS), S—классическое действие системы. Для туннельного эффекта. существенна мнимая часть S, определяющая затухание волновой функции в классически недоступной области. Для её вычисления используется метод комплексных траекторий.

Квантовая частица, преодолевающая потенциальный барьер может быть связана с термостатом. В классической механике это соответствует движению с трением. Тем самым, ; описания туннелирования необходимо привлечение теории, получившей название диссипативной квантовой механики. Такого рода соображения необходимо использовать для объяснения конечного времени жизни токовых состояний контактов Джозефсона. В этом случае происходит туннелирование эффекта. квантовой частицы через барьер, а роль термостата играют нормальны электроны.

§ 1. Прохождение микрочастиц через потенциальные барьеры.

 Постановка проблемы и простейшие случаи.

Если мы имеем две области пространства, в которых потенциальная энергия частицы меньше, нежели на поверхности, раз­деляющей эти  области, то мы говорим,  что области разделены потенциальным барьером.

Простейшим примером потенциального барьера может служить барьер в одном измерении, изображенный на рис.1. По оси ординат отложена потенциальная энергия U (х) в функции коор­динаты частицы х. В точке х₀ потенциальная энергия имеет мак­симум U_m. Все пространство - ∞ < Х < + ∞ делится в этой точке на две области; х < х₀ и х > х₀ , в которых U<U_m. Зна­чение термина «потенциальный барьер» сейчас же выяснится, если мы рассмотрим, движение частицы в поле U (х) на основе классической механики. Полная энергия частицы E равна

  (1)

где р —импульс частицы, а μ – её масса. Решая  (1) относительно импульса, получим         

     (2)

Знаки ± следует выбрать в зависимости от направления движе­ния частицы. Если энергия частицы Е больше «высоты» барьера U_m, то частица беспрепятственно пройдет барьер слева направо, если начальный импульс р>0, или в противоположном направлении, если начальный импульс р < 0.

Допустим, что частица движется слева, имея полную энергию Е, меньшую U _т. Тогда в некоторой точке x_t потенциальная энергия U (х₁)=Е, p(x₁)=0, частица остановится. Вся ее энер­гия обратится в потенциальную, и движение начнется в обратном порядке: х₁ есть точка поворота. Поэтому при E<.U_m частица, движущаяся слева, не пройдет через область максимума потенциала (х = х₀) и не проникнет во вторую область х > х₀ Подобным же образом, если частица движется справа налево, имея  Е < U_m  , то она не проникнет в область за второй точкой поворота х₂,

в которой U(x₂)=E (рис.1). Таким образом, потенциальный барьер является «непрозрачной» перегородкой для всех частиц, энергия которых меньше U_m (напротив, он «прозрачен» для частиц, обладающих энергией Е >U_m). Этим и разъясняется название «потенциальный барьер».    

Совсем иначе протекают явления   вблизи    потенциальных барьеров, если речь идет о движениях   микроскопических   частиц в микроскопических полях, т. е. о движениях, при рассмотрении которых нельзя игнорировать квантовые эффекты. В этом случае, как мы сейчас увидим, в противоположность выводам классической механики,  частицы с энергией Е, большей высоты барьера U_m, частично отражаются   от   барьера,  а   частицы с энергией, меньшей  U_m,  частично проникают  через барьер.

Для того чтобы в этом   убедиться, мы рассмотрим совсем простой случай барьера, изображенный на рис. 2. Именно, мы будем считать, что потенциальная энергия частицы  U (х) всюду равна нулю, кроме области 0 ≤ Х ≤ l, где она имеет постоян­ное значение, равное U_m. Такой барьер представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем, особенно просто можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной  деформации  плавного барьера,  изображенного на рис. 1.

Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого барьера. Обозначая потенциальную энергию через U (х), мы получим уравнение Щредингера в виде

Обозначая  в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя оптические обозначения

(4)

где   п (х) — показатель преломления, мы  перепишем уравнение (3) в виде

 (5)

Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей пространства:

(5'), (5"),  (5'")

Решения в этих областях могут быть записаны сразу:

(96.6)

(6),  (6'),  (6")

где А, В, α, β, a и b — произвольные постоянные. Однако это — общие решения трех независимых уравнений (5), (5'), (5") и они, вообще говоря, не образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы, движущейся в сило­вом поле U (х). Для того чтобы они давали действительно одну функцию ψ (х), мы должны соблюсти краевые условия, которые мы сейчас установим.

Для этого будем рассматривать U (х) и, следовательно, п (х) как плавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (5) около точки х = 0, получим

Отсюда

                                                 (7                    (7)

Переходя к пределуполучаем краевое условие

 (7')

Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций, имеем второе краевое условие

 (7")

Точка х = 0 ничем не выделена, поэтому условия (7') и (7") должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и при х = 1.

Чтобы решение (6) трех уравнений (5) можно было рассматривать как предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения U (х) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х = 0 и х = 1 удовлетворяли краевым условиям (7') и (7"), т. е.

(8)

Подставляя сюда значение функций из (6), получаем

 (9)

Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа.

Если мы, например, возьмем А, В≠0, b = 0, то Ae^ik0X может рассматриваться как падающая волна, Be^-ik0X —как отраженная, аe^-ik0X — как проходящая. Если бы мы взяли b ≠ 0, то это означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа.

Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда, мы должны взять b = 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А=1. Уравнения (9) принимают тогда вид                                          ' '

 (10)

Из этих алгебраических уравнений находим α, β, В и a:)

 (11 ), (12), (13), (14)

Если энергия частицы Е больше высоты барьера U_m, то показа­тель преломления п_т действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны | В| ² равна

а интенсивность проходящей волны

 (15)

Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне, (J_Q), отраженной (J_r) и проходящей (J_d ). Получаем:

 (16)

Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих

              (17)

называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих

              (18)

называют коэффициентом прозрачности барьера.

Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока) следует, что

                                (19)

 (приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредст­венно убедиться в справедливости этого равенства).

По классической механике, если E>U_m, должно иметь место R=0, D=1 барьер совершенно прозрачен. Из (15) следует, что  | В| ² ≠0 поэтому в квантовой механике R > О, D < 1. Частицы частью отражаются так же, как отражаются световые волны
на границе двух сред.

Если энергия частицы Е меньше высоты барьера U_m , то по классической механике имеет место полное отражение D = 0, R=1. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.

Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики пока­зывает, что в действительности световое поле при полном отра­жении все же проникает в среду, от которой происходит отражение и если эта среда представляет собой очень тонкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в слу­чае Е < U_m (случай отражения) приводит к выводу, аналогичному выводу волновой оптики. Действительно, если E < U_m, то показатель преломления п_т является, чисто п_т мнимой величиной (см. 4). Поэтому мы положим

 (20)

Внося это выражение для п_т в (14), вычислим теперь |а|². Тогда, считаяполучаем

 (21)

Обозначая первый дробный множитель через D_o (он не очень отличается от 1) и имея в виду значение k₆, получаем

 (22)

Таким образом, при E<.U_m, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.

Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельного эффекта.

Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное зна­чение лишь в тех случаях, когда D не слишком мал, т. е. когда

 (23)

Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встре­титься лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для U_m — E ~ 10^-11 эрг (около десяти электрон-вольт), μ ~ 10^-11  (масса электрона) и l ~ 10^-11 cм, из (22) получим D ~ e^-1. Но если мы возьмем, например, l=1 см, то из той же формулы получим,. Увеличение массы частицы и превышение U_m над Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно пока­зать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энер­гии частицы — квантовая механика переходит в классическую.

Формулу (22) для коэффициента прозрачности D, выведен­ную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и на случай барьера произвольной формы. Произведем сейчас это обобщение простым путем.

Пусть имеем потенциальный барьер U(x), изображенный на  рис. 1,  Представим его приближенно в виде совокупности прямоугольных барьеров с шириной dx и высотой U (х). Эти барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Е, вступает в барьер в точке х = х₁ и покидает его в точке х = х₂. Согласно (22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарных барьеров равен

(потенциальная энергия U (х) должна быть достаточно плавной, чтобы dx можно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности для всего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для D' сложатся, и мы получим

 (24)

§ 2. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»

Прохождение частиц через потенциальные барьеры представ­ляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциаль­ного барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера U_m, должна иметь отрицательную кинетическую энергию , и полная энергия, как это имеет место в классической меха­нике,  является  суммой энергий  кинетической и потенциальной:

В области,  где, U (х) >Е,  это бессмысленно, так как импульс р есть действительная величина. Как раз эти области, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы. Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой «запретной» области. Таким образом, полу­чается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кине­тическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннель­ного эффекта».

На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен.  Дело  в том,  что,   поскольку туннельный эффект есть явление квантовое (при ħ → 0 коэффициент прозрачности D (24) стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рам­ках квантовой механики. Полную же энергию частицы можно
рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий
только на основе классической механики. Формула
предполагает, что одновременно знаем величину как кинетиче­ской энергии Т, так и потенциальной U{х). Иными словами, мы приписываем   одновременно определенное   значение координате частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой меха­нике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую
в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и парадокс, основанный на возможности представить полную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция импульса) и потенциальной энергии (функция координат).

Остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера.        I

Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если E<.U_m; однако если фиксируется координата частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопределенности, дополнительная дисперсия  в импульсе так что уже нельзя  утверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е.

Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину I, определяемую равенством (23). Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью ∆x < l. Но тогда неизбежно возникает дисперсия импульса

Подставляя сюда l² из (23), находим     (2.1)

т. е. изменение кинетической энергии  частицы,  вносимое вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, кото­рой ей недостает до высоты барьера U_m. Приведем еще пример, иллюстрирующий это утверждение. Определить координату частицы, находящейся внутри потенциального барьера таким путем,  что будем посылать - узкий пучок света в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы.  Если пучок рассеется, то значит, на его пути попалась частица.

Как объяснялось выше, точность нашего измерения должна быть такова ∆X<l; с другой стороны, нельзя создать пучок света, ширина которого была бы меньше длины световой волны λ  а следовательно, длина волны света должна быть меньше l, т. е.

 (2.2)

так как , где ω—частота  световых колебаний,  а с- скорость света, то отсюда следует, что  

Встречающиеся   в нерелятивистской  механике энергии  должны  быть меньше собственной, энергии частицы μс², поэтому

 (2.3)

т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно боль­шой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.

§ 3. Холодная эмиссия электронов из металла

Если к металлу приложить большое электрическое поле (порядка 10⁶ в/см) так; чтобы он являлся катодом, то такое поле вырывает электроны; получается электрический ток. Это явление получило название «холодной эмиссии». Она может быть легко истолковано на основе квантовой теории прохождения частиц через потенциальный ба­рьер и притом, в общих чертах, в согласии с опытом.

Рассмот­рим теорию этого эффекта, пред­ставляющую одно из наиболее
простых приложений теории прохождения через потенциальный
барьер. Обратимся сначала к картине движения электронов в
металле в отсутствие внешнего электрического поля.

Чтобы удалить электрон из металла, необходимо затратить некоторую работу. Следовательно, потенциальная энергия элек­трона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболее простым образом этот факт может быть выражен, если мы примем потен­циальную энергий электрона U (х) внутри металла равной 0, а вне металла равной С>0, так что потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рис. 1. Схематизируя таким образом истинный ход потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле. На самой деле, потенциал внутри металла меняется от точки к точке с периодом, равным постоян­ной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку U (х) = О, внутри металла нет никаких сил, действующих на электрон.

Здесь рассмотрим вопрос о степени правильности такого приближений. Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как свободно движущихся ча­стиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в метал­лах и поэтому, в определенных рамках, является законным. Распре­деление по энергиям электронов этого газа таково, что подавляю­щее большинство электронов имеет энергию Е < С (при абсолютном нуле температуры электроны заполняют все уровни энергии от Е = 0 до Е = ε₀ < С где ε₀ есть так нулевая энергия; Поток электронов металла, падающий изнутри металла на его поверхность, обозначим через J_o. Так как электроны имеют энергию Е < С, то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место на границе металл — вакуум.

Представим теперь себе, что наложено электрическое поле ع, направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной энергии электрона U (х) (рис. 1) добавится потенциальная энер­гия электрона в постоянном поле ع, равная - е عх (заряд электрона равен — е). Полная потенциальная энергия электрона будет тецерь равна

(3.1)

Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на рис. 1 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля, поэтому изменение U (х) произой­дет лишь вне металла.

Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По класси­ческой механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его энергия Е > С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической механике при нало­жении поля получиться не, должно. Однако, если поле ع доста­точно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с рез­ким изменением потенциальной энергии и классическая механика будет неприменима: электроны будут проходить через потенциаль­ный барьер.

Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для элек­тронов, имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Е_х. Согласно (1.24) дело сводится к вычислению интеграла

где х_х и х₂ — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть (рис. 1), очевидно, х₁ = 0, так как для всякой энергии Е_х < С горизонтальная прямая Е_х, изображающая значение энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии в точке х = 0. Вторая точка поворота х₂ получится, как видно из чертежа, при

отсюда

следовательно,

 (3.2)

Введем переменную интегрирования.

Тогда   мы получим

 (3.3)

Таким образом, коэффициент прозрачности D для электронов, обладающих энергией движения  по оси ОХ,  равной  Е_х,  равен

 (3.4)

Коэффициент этот несколько различен для разных Е_х, но так как  С > Е_Х, то средний (по энергиям электронов) коэффициент проз­рачности будет иметь вид

 (3.5)

где  и ع₀ — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной эмиссии будет равен  

Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами.

§4. Трехмерный потенциальный барьер. Квазнстационарные состояния.

Рассмотрение задачи о прохождении через потенциальный барьер, отличалось той особенностью, что речь шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих на  своем   пути  потенциальный  барьер.   В  дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация  атомов)  нам встретятся такие случаи, когда речь будет идти о  потоке  частиц, выходящих из неко­торой ограниченной обла­сти    пространства    (ядро атома, атом),  окруженной, потенциальным барьером. Пусть сфера с центром в 0 и радиусом r₀ (рис. 1,а)

Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r₀)

Есть та поверхность, на   которой    потенциальная энергия  U (r) принимает максимальное значение, так что для r < r₀, U < U_m и для r > r₀, U < U_m. Соответствующий пример графика U(г) дан на рис. 1, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие волны.

 (4.1)

Это условие мы будем называть  условием излучения. Ясно, что уравнение Шредингера

 (4.2)

в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Дей­ствительно, применим закон сохранения числа частиц к сфере радиуса r:

 (4.3)

Из (4.1) имеем,

(4.4)

и, стало быть,

 (4.5)

т. е. среднее число частиц в объеме сферы V убывает, так что ψ не может гармонически зависеть от времени.

Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из уравнения (4.2) с начальным условием. таким, что функция ψ (r, 0) отлична от нуля лишь внут­ри барьера (чтобы выразить тот факт; что при t = 0 частица нахо­дилась внутри барьера). Можно, од­нако, исходить из другого условия, до некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц происходит уже давно и зна­чительная часть их уже находится вне барьера.

Рис 4.2 Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r₁) и имеющий простую прямоугольную форму.

Такой подход к реше­нию  мы   рассмотрим   подробнее.   Он удобен тем, что допускает разделе r и t в уравнении (4.2) Положим сразу

При  этом  величина Е будет комп­лексной, и ее нельзя рассматривать как энергию  частиц. Положим

 (4.7)

Тогда среднее число частиц в объеме V₀,  заключенном внутри барьера, согласно (4.6) и (4.7), будет

т. е.

 (4.8)

Величина λ  - константа распада. Подста­новка (46) в (4.2) дает

(99.9)

Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный пример, взяв форму барьера U (r), изображенную на рис. 4.1. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбиталь­ным моментом, равным нулю: / = 0. Тогда, полагая

(4.10)

мы получим из (4.9)

 (99.11)

Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11) разобьется на три;

 (99.12) (99.12")(99.12'):

где:

 (99.13):

Решения этих уравнений имеют вид

(99.14) (99.14') (99.14")

Из условия конечности ψ в нуле следует, что

 (99.15)

Кроме того, условие излучения дает b = 0 (только уходящие волны). Краевые условия на границах r = r ₁ и r = r ₂, как мы установили в § 1, сводятся к равенству функций и их первых производных

(99.16) (99.16’) (99.17) (99.17')

На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех коэффициентов A, α, β, а. Поэтому необходимо, чтобы определи­тель ∆ системы уравнений (4.16) и (4.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают

 (4.18)

где l означает ширину барьера r₂ - r ₁ (4.18) есть трансцендент­ное уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая ql » l. Тогда в нулевом 'приближении можно отбросить член с e ^-gl, и мы получаем

 (4.19)

Это — точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (0, r₁, U_m), изображенной на рис. 4.2 и полу­чаемой из потенциального барьера рис. 4.2 при r₂ = ∞. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для E<.U_m). Если корни уравнения (4.19) обозначить через k₀₁, k_O2,… k_n,…, то энергия этих уровней будет (согласно (4.13)) равна

 (99.20)

Корни действительны, если λ = 0,   и по  порядку величины равны.  В этом случае мы имеем стационарные состояния. При конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциаль­ной энергии таково, что U(r)_r→∞ < Е, и вместо дискретного спектра (4.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излу­чения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к Е_оп, но они не будут теперь стационарными ( λ_п  ≠  0). При малых λ_п они будут почти стационарными. Это — квазистационарные уровни. Определим величину λ_п, считая ее малой. Для этого разложим член с e^ql в (4.18) по степеням ∆k = k — ko, где k₀ — один из корней уравнения (4.19), для ста­ционарных состояний потенциальной ямы, а в член с e^-gl под­ставим k = k₀; замечая, что

получим

Отсюда находим ∆k

При этом малую поправку к действительной части k₀ мы также
можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же
часть будет равна      .

 '     (99.21)

Пренебрегая также малой  поправкой к действительной  части , k в (4.13), мы можем положить    .  Из  (4.13)  получаем

. (4.22)

Сравнивая это с предыдущим  выражением для ∆k,  мы находим

 (4.23)

 Имея в виду, что есть скорость частицы v₀ внутри барьера и что k₀ ≈ 1/r₁ = 1/r₀ (r_o радиус ямы), мы получаем из (4.23) И (4.13)

  (4.24)

Эта формула имеет простое наглядное толкование. есть число ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспо­ненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.

Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора к приводит к тому,  что  интенсивность  излучаемой   волны  неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера

. 

Рост ψ₁₁₁ вытекает из требования, чтобы имелось только, излучение, и отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, выле­тевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность | ψ₁ |² внутри самого барьера была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось все время от t=∞) и что к моменту начала излучения | ψ₁ |² было конечно. Поэтому наш вывод о том, что ψ₁₁₁ > ∞ при r → ∞, вывод, относящийся к частицам, выле­тевшим очень давно, неверен, и само найденное, решение справедливо; лишь для небольших r, именно для

Отметим, что в связи с формулой (4.7) в литературе часто говорят о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное вами состояние

не есть стационарное  состояние  с определенным  значением  энергии  (стацио­нарные состояния гармонически зависят от времени).

Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии Е в этом состоянии, нужно разложить ψ (г, t) по соб­ственным функциям ψ_E (r) оператора. Так как U (r) > 0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр 0 ≤ E < +∞ ; Если положить

 (4. 26)

то w (Е) dE'= | С (Е) |² dE дает искомую вероятность. Однако мы не можем воспользоваться для вычисления С (Е) функцией ψ (r, t) (4.25), так как она правильна лишь для не очень больших r. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что ψ(г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функций ψ (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции ψ (г, 0) соответствует тому факту, что при t = 0 частица находится во внутренней области барьера. Определим амплитуду a (t)-, с которой представлено состояние ψ (r, 0) в состоянии ψ (r, t). Имеем

 (4. 27)

Подставляя сюда ψ (r, t) и ψ* (г, 0) из (4.26) и пользуясь ортогональностью функций ψе (r), найдем

 (4.28)

Величина Р (t) = | a (t) |² дает, очевидно, закон распада состояния ψ{г, 0). Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии ω (Е) dE в начальном состоянии.

Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем ψ (г, 0) так, чтобы ψ (г, 0) = ψ (г) внутри барьера и ψ (г, 0) = 0 вне его. Подставляя теперь ψ (г, t) из (4.25) в (4.27), мы можем игнорировать возрастание ψ ₀ (г) вне барьера, так как там  ψ (r, 0) = 0. В силу совпа­дения ψ (r, 0) и ψ (r) внутри барьера и считая, что ψ (г, 0) нор­мировано к 1, получим

 (4.29)

На основании (4.28), теперь нетрудно убедиться, что w {E) dE должно быть равно

 (4.30)

т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения энергии. Величину  называют шириной квазистационарного уровня E₀. Если через τ = 1/λ обозначить сред­нюю продолжительность жизни частицы в состоянии ψ (г, 0) = ψ₀ (г), то мы получаем

         (4.31)

— соотношение между шириной квазистационарного уровня и дли­тельностью жизни частицы на этом уровне.

§ 5. Теория радиоактивного α – распада

Известно, что многие радиоактивные элементы распадаются, испуская α - частицы. По вылете из атомного ядра α - частица, имея двукратный положительный заряд (+2е), ускоряется в кулоновском поле атомного ядра, заряд которого обозначим через Ze (под Z будем подразумевать номер элемента после вылета α - частица, Z = Z' — 2, если Z' есть номер элемента до радиоактивного распада).

Большая прочность α - частицы позволяет предполагать, что она существует в ядре в виде самостоятельного объекта, являясь одним из простых образований, из которых строится атомное ядро. Ясно, что α - частицы может длительно находиться в атомном ядре лишь в том случае, если область вблизи атомного ядра является минимумом потенциальной энергии α - частицы. Кулоновская потен­циальная энергия α - частицы, равная 2Ze²/r, где r — расстояние от ядра до частицы, по мере приближения к ядру, как это изоб­ражено на рис. 5.1 пунктирной кривой, все время возрастает монотонно. Поэтому минимум энергии вблизи ядра может полу­читься лишь в том случае, если на близких расстояниях на α - частицы действуют какие-то иные силы, помимо электрических. Такими силами являются ядерные силы, действующие между нук­лонами. Эти силы весьма велики и действуют лишь на очень малых расстояниях. Именно этими силами и обусловливается смена кулоновского отталкивания на резкое притяжение вблизи ядра, изображенное на рис. 5. 1 сплошной кривой. Такое поведение по­тенциала называют образованием потенциальной ямы или, кратера. При наличии таких сил α - частицы, находящаяся в области r < r₀, т. е. в поле сил притяжения, будет дли­тельно удерживаться внутри ядра.

Рис. 5. 1. Кривая потенциальной энергии α – частицы в функции расстояния от ядра (r, U_m, r^'). Та же кривая схематизирована (r, U_m, r₀) (резкое падение после r₀).

Как же происходит α - распад?  Долгое  время  это оставалось загадкой. Еще Кельвин предполагал,   что частицы,   испускаемые радиоактивным элементом, как бы кипят внутри потенциального кратера. Время от времени одна из частиц получает избыток - энергии над средней, преодолевает барьер и, вылетев за него, ускоряется отталкивательным по­лем, приобретая большую энергию.

Однако эта наглядная картина, как было показано Резерфордом, противоречит   опыту. Резерфорд бомбардировал атомы радиоактивного урана α -частицами тория С'. Энергия α -частиц тория С'  равна 13 · 10 ^-6 эрг. Такие частицы, преодолевая кулоновское отталкивание,  могут  весьма близко подойти к ядру. Оценим   расстояния наибольшего   сближения r₁. Очевидно, что r₁  есть то расстояние, при  котором  потенциальная  энергия   частицы  2Z'e²/r₁ будет равна исходной  кинетической, т.е. 2Z'e²/r₁ = 13·  10 ^-6 эрг, : Z' есть номер урана и равен 92.. Поэтому мы находим, что r₁ = 3-10-¹²см.

Наблюдение показывает, что рассеяние таких частиц строго такое, каким оно должно быть при действии на α - частицы кулоновского поля. Это означает, что ядерные силы начинают дей­ствовать на α - частицы расстояниях меньших, нежели 3 · 10 ^-12 см. Поэтому α -частицы, заключенные в ядре, находятся внутри области, радиус которой меньше 3 • 10^-12 см.

С другой стороны, уран сам является радиоактивным элементом и испускает α -частицы. Измерение энергии этих частиц показы­вает, что она равна 6,6 · 10^-6 эрг.

Эти α -частицы вылетают из ядра, т. е. с расстояний, меньших 3 · 1О^-12 см. Тогда, ускоряясь в кулоновском поле, они должны были бы приобрести энергию, равную высоте потенциального барьера (см. рис. 5. 1) и во всяком случае большую, нежели ,13 · 10 ^-6 эрг. Получается же так, как если бы они вылетали с рас­стояния   r = 6 · 10 ^-12  см.   Таким образом, опыт приводил  с точки зрения классической физики к парадоксальному положению: нужно
было предположить, что кулоновское электрическое поле ядра действует на падающие извне α - частицы, но не действует на вылетающие на ядра, либо считать, что закон сохранения энергии не выполняется при радиоактивном распаде.

Решение этого парадокса вытекает из квантовой механики, при­водящей к возможности туннельного эффекта через потенциальный барьер, разделяющий область притяжения (r < r₀) от области отталкивания (r  > г₀).

В самом деле, тогда парадокс полностью решается: частица, находящаяся внутри ядра, может иметь энергию, меньшую, нежели высота барьера, и все же пройти через него. Частица же, про­летающая извне, ввиду малой прозрачности барьера лишь в очень редких случаях будет захватываться ядром (так как время пре­бывания ее около ядра очень - мало). Поэтому рассеяние α - частиц, падающих извне, будет обусловливаться кулоновскими силами, действующими за пределами барьера. Предположенная малая прозрачность барьера, согласуется с тем фактом, что периоды радиоактивного α - распада весьма велики.

Применяя теорию прохождения через потенциальные барьеры, легко облечь изложенную идею в математическую форму и найти выражение для константы радиоактивного распада λ - эта константа определяется следующим образом. Если имею­щееся к моменту  времени t число  нераспавшихся  атомов N, то dN будет равно

 (5.1)

Для вычисления константы распада λ мы можем применить кван­товую теорию просачивания частиц через потенциальные барьеры, изложенную в предшествующем параграфе. Согласно этой теории α - частицу внутри ядра следует рассматривать как находящуюся в «квазистационарном» состоянии. Обозначая скорость частицы в этом состоянии через υ_i,-, радиус барьера через r₀ и его коэффициент прозрачности через D, мы получим

       (5.2)

Остается вычислить D. Ввиду более сложной формы барьера вместо (4.24) мы получим (см. (1.24))

 (5.3)

Из рис. 5.1 следует, что первая точка поворота r^'₁ есть г₀ (радиус ядра), вторая (г₂) определится из условия

 (5.4)

Таким образом,

 (100.5)

Вводя сюда новую переменную % , мы получаем

(5.5')

и, полагая, наконец, ещеm ξ = cos²u, мы без труда вычислим по­рученный интеграл (5.5')

Воспользуемся тем, что отношение  меньше, единицы, и {разложим Uо и sin2 Uо в ряд по степеням   (достаточно огра­ничиться двумя первыми членами). Тогда мы получим        .

(5.7)

где υ – скорость вдали от ядра, равная . Итак, выражение для константы распада (5.3) раскрывается слёдующим образом:

(5.8)

или

          (5.9)

Наиболее замечательным выводом из этой формула является зави­симость между λ и скоростью λ - частицы v. Подобная зависимость еще задолго до квантовой теории этого явления была установлёна на опыте Гайгером и Нэттолом.

Далее мы видим, что 1nλ зависит от номера элемента Z (Z = Z'— 2) и радиуса ядра. 

 Из опыта известно, что константы распада варьируются в очень |широких пределах: от 10⁶ сек^-1 до 10^-18 сек^-1. Если бы в таких же пределах приходилось варьировать параметры, определяющие λ, то теория была бы наверно неправильной. Замечательным следствием формулы (5.9) является то, что если по эмпирическим данным для λ определять радиусы  ядер, то окажется,  что они все лежат в тесных границах, примерно от 5 · 10 ^-12 см до 9 · 10^-12 см. Значительное различие в величине λ для разных элементов определяется не различием в радиусах ядер, а различием в энергии вылетающих частиц. Слабую зависимость λ от r₀ и резкую от v следует рассматривать как подтверждение теории.

§ 6. Ионизация атомов в сильных электрических полях

Подобно тому, как сильное электрическое поле вырывает электроны из металлов оно вырывает их также и из отдельных атомов газа. Явление это называют иногда «автоионизацией» атомов и его причину легко понять, если рассмотреть вид потенциальной энергии элек­трона, в атоме при наличии внеш­него электрического поля. Пусть, потенциальная энергия электрона в отсутствие внешнего поля есть U (r). Внешнее электрическое по­ле ξ  пусть направлено по оси OZ. Тогда вся потенциальная энергия электрона равна

 (6.1) .

Рис. 6.1. Сложение атомного и внешнего поля.

Рассмотрим    вид    потенциальной кривой на оси OZ(x  = y = 0, r = | z |).   В   отсутствие   внешнего поля   (ξ = 0)   U' = U (r)   и   имеет вид, изображенный на рис. 6.1 пунктиром. Дополнительная потен­циальная энергия во внешнем поле еξz изобразится пунктирной прямой аа'. Кривая полной потенциальной энергии U, получаю­щаяся сложением, проведена на рис. 6.1  сплошной линией а'b' и ab. Мы видим, что около точки z₀ образуется потенциальный барьер, разделяющий пространство на две области: внутреннюю z > z₀ и внешнюю z < z₀, в каждой из которых потенциальная энергия U' меньше U' (z₀) = U_m. На рис. 6.1 приведены также два уровня энергии Е` и Е". Если энергия Е = Е" > U_m, то элект­рон не будет удерживаться вблизи атома, а будет удаляться в область отрицательных z. Если же энергия электрона Е = Е' < U_m, то, согласно законам классической механики, элект­рон останется во внутренней области. По квантовой механике в этом случае просачивание через барьер все же будет иметь, место. Таким образом, здесь создается положение вещей, вполне анало­гичное тому, которое  имеет  место при  радиоактивном распаде.

Теперь уже совсем нетрудно понять причину ионизации атомов полем. При включении поля получается барьер, через который электроны проникают во внешнее пространство. Если высота барь­ера U_т меньше энергии электрона, то частицы будут проходить («над барьером») и по классической механике. Поэтому и класси­ческая механика приводит к возможности ионизации атома внеш­ним электрическим полем. Различие заключается лишь в том, что по законам квантовой механики эта ионизация должна наступать при меньших полях, нежели это предписывается механикой клас­сической, так как, согласно квантовой механике, для возмож­ности ионизации не нужно, чтобы барьер оказался ниже энергии электрона. Ясно, однако, что при малых полях барьер будет очень широким и прозрачность его будет очень мала.

Явление автоионизации можно наблюдать таким образом: до­пустим, что мы наблюдаем какую-либо спектральную линию, обусловленную электронным переходом из состояния Е` в Е<sub>о</sub> (см. рис. 6. 1). По мере увеличения электрического поля эта линия будет смещаться (Штарк - эффект), и если поле достигнет столь большой величины, что прозрачность барьера будет велика, то эле­ктрон в состоянии Е`  будет чаще вылетать из атома, проходя через барьер (ионизация), нежели падать в нижнее состояние (Е_о), излу­чая свет. Благодаря этому спектральная линия будет слабеть, пока, наконец, совсем не исчезнет. Это явление можно наблюдать на бальмеровской серии атомного водорода.

Для того чтобы иметь возможность проследить действие элект­рического поля различной напряженности, устраивают так, что различные части спектральной линии обусловливаются светом, исходящим от атомов, находящихся в полях различной силы. Именно, в объеме светящегося газа электрическое поле возрастает в направлении, параллельном щели спектроскопа (до некоторого предела, достигнув которого оно вновь

Рис 6.2 Расщепление спектральных линий бальмеровской серии при больших электрических полях

падает). На фотографии (см. рис. 6.2) рис приведены результаты подобного опыта. Буквами β, γ, δ, ε, ζ, обозначены линии серии Бальмера ( Н_β — переход n = 4 → n = 2, Н_γ — переход n = 5 → n = 2, Н_δ — переход n = 6 → n = 2 и Н_ε — переход n = 7 → n = 2 ). Приложенное электри­ческое поле растет снизу вверх. Белые линии на фотографии суть линии одинаковой напряженности поля. Из фотографии видно, что линии сначала расщепляются. Это расщепление увеличивается по мере роста поля (из расщепления линии Н_β легко видеть поло­жение линии максимальной напряженности поля). При некоторой напряженности поля спектральная линия исчезает.

Сравнение линий β, γ, δ, ε, показывает, что они исчезают в по­следовательности ε, δ, γ (при достигнутых полях β полностью не исчезает). Это есть последовательность возрастания энергии возбужденного состояния. Из рис, 6.1 явствует, что чем выше энергия электрона, тем меньше при заданном поле ширина и вы­сота барьера, т. е. тем больше его прозрачность. Таким образом, наблюдающаяся последовательность в исчезновении спектральных линий вполне соответствует нашему толкованию этого явления как результата туннельного эффекта. То обстоятельство, что крас­ные компоненты расщепленных линий исчезают раньше фиолетовых, также получает полное разъяснение при более детальном рассмотрении волновых функций электрона. Именно, состояния, отвечающие линиям, смещенным в красную сторону, обладают тем свойством, что в них интенсивность электронного облака больше в области барьера, нежели в состояниях для фиолетовых компо­нент. Благодаря этому ионизация протекает более благоприятным образом.

Сформулируем несколько детальнее те условия, при которых следует ожидать исчезновений спектральной линии в электрическом поле. Пусть вероятность оптического перехода электрона в нижнее состояние будет 1/τ (τ —время жизни в возбужденном состоянии). Время жизни электрона в возбужденном состоянии τ ≈ 10 ^-8 сек. Вероятность перехода электрона в нижнее состоя­ние в 1 сек будет 1/τ. Вероятность туннельного эффекта (иони­зации) будет равна (так же, как и. при расчете радиоактивного распада) числу ударов электрона о внутреннюю стенку потен­циального барьера в 1 сек, умноженному на коэффициент про­зрачности D. Число ударов о барьер по порядку величины равно v/2r₀, где v — скорость электрона, а r₀ — радиус барьера, примерно равный радиусу орбиты а. Скорость равна, опять-таки по порядку величины , где |Е| —энергия электрона, a μ—его масса.

Следовательно,сек ^-1       (6.2)

(так как . Следовательно, вероятность авто­ионизации равна 10¹⁶ D сек^-1. Чтобы преобладала автоионизация (условие исчезновения спектральной линии), нужно, чтобы 1/τ < D · 10¹⁶, т.е. D >10^-8.

Количественная теория автоионизации находится в хорошем согласии с опытом.

Заключение.

Список литературы