Реферат: Междисциплинарный подход в преподавании математики

А.В. Ястребов

Резюме. В статье сделаны два логических хода, взаимно дополняющих друг друга. Во-первых, выявлен ряд неотъемлемых свойств математики, которые определяют специфику применения междисциплинарного подхода к ее преподаванию. Оказывается, что специфика эта весьма велика и порой доходит до принципиальной невозможности использования некоторых традиционных элементов данного подхода в ситуациях, которые достаточно просты с точки зрения педагогики математики. Во-вторых, внутри математики найдены свидетельства того, что для полноценного освоения студентом этой науки необходимо раскрытие ее полидисциплинарной сущности.

§ 1. Три аспекта междисциплинарного подхода к преподаванию

Нетрудно видеть, что система высшего образования представляет собой, образно говоря, мозаичную целостность. Мозаичность высшей школы в первую очередь бросается в глаза: в вузах учатся мужчины и женщины, причем всевозможных возрастов и разнообразного жизненного опыта; они осваивают громадный спектр профессий и специализаций внутри одной профессии; обучение осуществляется в дневной, вечерней и заочной форме, причем как в государственных, так и в частных вузах; при этом вуз может быть большим или маленьким, старинным или вновь образованным, бурно развивающимся или испытывающим кризис. Размещение вуза в том или ином регионе также накладывает отпечаток на процесс обучения. Разумеется, можно было бы продолжить перечень различий. Можно было бы попытаться проанализировать их причины и следствия, однако для целей данной статьи разумнее обратиться к факторам, обеспечивающим целостность высшего образования.

Один из них - общность задач, стоящих перед выпускниками вузов. Действительно, какую бы профессию ни осваивал студент, какова бы ни была его личная образовательная траектория, в каких бы рамочных условиях ни происходило его обучение, по окончании вуза всем молодым специалистам приходится решать однотипные задачи: найти работу, адаптироваться в коллективе, сделать первые карьерные шаги, сменить работу в случае неудачи, сменить профессию, если была допущена ошибка при ее выборе, и т.д. Таким образом, система высшего образования, учитывающая интересы выпускников, должна решить вопрос о том, каковы те качества, которые должен формировать любой вуз у своих студентов. В равной мере студент должен понимать, каковы те качества, которые он должен культивировать в себе в период обучения в вузе, независимо от того, какую специальность он приобретает.

Рынок труда только усиливает остроту данного вопроса, поскольку ситуация на нем весьма динамична. Постоянно меняется номенклатура выпускаемой продукции, система управления производством, оборудование, технологические процессы, система контроля качества, формы собственности, юридические нормы и т.п. В этих условиях очевидно, что высшее образование не может дать человеку всех знаний, которые будут необходимы ему в течение долгой профессиональной жизни. С точки зрения работодателя высшее образование должно формировать те качества специалиста, которые сделают его конкурентоспособным на рынке труда, поскольку конкурентоспособность предприятия тесно связана с личными профессиональными качествами работающих на нем людей.

К тому же вопросу приводит более частная, но от этого не менее важная потребность в расширенном воспроизводстве системы высшего образования. Известно, что рост объема научной информации носит экспоненциальный характер, поэтому высшая школа не может передать студенту такой объем научных знаний, умений и навыков, который был бы достаточен на протяжении всей трудовой деятельности. Как для производства, так и для высшей школы гораздо более важными являются универсальные и долгоживущие умения и навыки, которые будут полезны в самых разных сферах профессиональной деятельности в течение длительного времени. Каковы они?

Один из возможных ответов на него сформулирован, например, в обзоре И.А. Зимней [5], содержащем большую библиографию. В нем описан процесс возникновения новой парадигмы результатов образования, связанной с понятием так называемых ключевых компетенций. Не раскрывая подробно смысл этого понятия, скажем в общем плане, что ключевые компетенции опираются на универсальные знания, умения, на обобщенный опыт творческой деятельности и т.п. Приведем также перечень ключевых образовательных компетенций, предложенный А.В. Хуторским: 1) ценностно-смысловая; 2) общекультурная; 3) учебно-познавательная; 4) информационная; 5) коммуникативная; 6) социально-трудовая; 7) личностная (самосовершенствование) [12].

Итак, ключевые компетенции являются первым из аспектов междисциплинарного подхода. Для преподавателя конкретной дисциплины, в нашем случае математики, встает естественная двусторонне ориентированная задача: создать возможно более эффективные методы формирования ключевых компетенций посредством изучения математики и выявить те ограничения, которые налагает процесс изучения математики на возможности формирования ключевых компетенций.

Второй фактор, свидетельствующий о целостности высшего образования, очевиден и даже тривиален: любой студент, где бы он ни учился и какую бы специальность ни получал, должен усвоить определенный объем информации, в частности, знаний, умений и навыков, характерных для той профессии, которую он осваивает. В более широком плане студенту необходимо выявить те свойства, которые характеризуют носителей осваиваемой профессии, и «присвоить» их себе, т.е. сделать их своими личными свойствами, интериоризировать их. Процессами получения, переработки и хранения информации занимаются (в разных планах) две науки, переживающие бурный рост, - психология и информатика. Естественно считать, что преподаватели специальных дисциплин, в нашем случае математики, должны учитывать рекомендации психологии и информатики; очевидно, что такой учет придает процессу преподавания междисциплинарный характер.

Третий фактор, обеспечивающий целостность высшего образования, связан с его дуалистическим, личностно-социальным характером. Говоря о коллективном и индивидуальном, В.А. Лекторский пишет: «Индивидуальный субъект, его сознание и познание должны быть поняты, учитывая их включенность в различные системы коллективной практической и познавательной деятельности» [9. С. 281]. И далее: «Коллективный субъект существует в известном смысле вне каждого отдельного индивидуального субъекта. Коллективный субъект выявляет себя и законы своего функционирования не столько через внутренние структуры сознания индивида, сколько через внешнюю предметно-практическую деятельность и коллективно-познавательную деятельность с системами объективированного знания» [9. С. 283].

В контексте мыслей В.А. Лекторского естественно рассматривать три субъекта педагогического процесса: студента (индивидуальный субъект), академическую группу студентов, понимаемую как единое целое (коллективный субъект), и педагога, понимаемого как организатора познавательной деятельности первых двух субъектов с системой объективированного знания, в нашем случае математики. При этом педагог предстает перед студентами одновременно в двух качествах. Традиционно он является представителем науки, от которого студент получает предметную информацию, приемы исследовательской деятельности и т.п.; в широком плане педагог - это представитель данной профессии, в улучшенный образец которого должен со временем превратиться студент. Другой, менее традиционный взгляд состоит в том, что педагог является посредником между студентом/группой и системой предметного знания, регулятором деятельности студента/группы по ее освоению. Педагога, выступающего в таком качестве, принято называть модератором. (Moderator - арбитр, посредник, председатель; moderation - регулирование.) Естественно, что педагог-модератор должен уделять внимание таким аспектам процесса преподавания, которые являются общими для многих, если не всех, преподаваемых дисциплин: формированию мотивации студентов, выработке приемов их активизации, развитию коммуникативных навыков и, в более широком плане, формированию ключевых компетенций. Более подробно с понятием модерации можно познакомиться в диссертации С.А. Жезловой [4].

Итак, мы выявили три имманентных свойства системы высшего образования, которые указывают на объективное присутствие междисциплинарной составляющей в процессе преподавания любой конкретной специальной дисциплины.

§ 2. Некоторые свойства математики: взгляд извне

Естественно, что рекомендации, выработанные из общих соображений, окажутся эффективными и полезными для преподавания конкретной дисциплины только в том случае, когда будут гармонично согласованы с ее специфическими свойствами. Ниже мы укажем на некоторые особые свойства математики в контексте междисциплинарного подхода к процессу ее преподавания.

1. Математика — это метаязык, представляющий собой неразрывное единство естественного языка и специального символьного подъязыка с точными правилами словообразования.

Для иллюстрации данного утверждения рассмотрим одну задачу, предназначенную для учеников 8-го класса.

Задача [1, № 5.119]. В период военных учений в системе обороны дивизии было создано несколько командных пунктов, причем каждый из них имел линию связи с любым другим из числа оставшихся. Сколько командных пунктов было организовано, если количество линий связи равно 45?

Очевидно, что задача сформулирована на обычном, житейском, русском языке, и в ее тексте нет ничего специфически математического: понятий, символов, аксиом, теорем, формул и т.п. Проанализируем процесс ее решения, акцентируя внимание на переходах с русского языка на символьный подъязык и обратно, которые с неизбежностью придется делать в ходе рассуждений.

Решение. Поскольку количество командных пунктов неизвестно, обозначим его буквой n. Для удобства перенумеруем эти пункты. Из первого пункта проведем линии связи ко всем остальным. Очевидно, что их количество равно n-1. Теперь из второго пункта проведем линии связи ко всем тем пунктам, к которым они еще не проведены. Очевидно, что их количество равно n-2. Затем проделаем ту же операцию с третьим, четвертым и всеми последующими пунктами. При этом количество линий связи будет каждый раз уменьшаться на единицу. Когда мы будем проводить линии связи из пункта с номером n-2, то их количество равняется двум, а когда мы будем проводить линии связи из предпоследнего пункта, то оно равно единице. На этом процесс проведения линий связи заканчивается, поскольку каждый командный пункт уже соединен с каждым. Если сложить количества всех проведенных линий связи, то по условию оно должно равняться 45, и мы получаем выражение

(n −1) +(n −2)+ L + 2 + 1 = 45. (1)

До сих пор все рассуждения шли на русском языке, однако получившееся в результате выражение (1) выглядит как слово европейского языка, состоящее из 20 букв, расположенных в такой последовательности: (, n, -, 1,), + и т.д., и три последние буквы - это =, 4 и 5 (здесь многоточие мы считаем одной буквой). Часть слова, стоящая левее буквы =, является объектом, весьма популярным во времена Мальтуса - арифметической прогрессией. По известной формуле она может быть заменена другим словом, так что выражение (1) примет вид

2 "  (2)

Полученное слово гораздо короче исходного, однако читается несколько странно: сначала горизонтально (n умножить на n — 1), потом вертикально (деленное на 2), а потом вновь горизонтально (равно 45). Не будем подробно описывать дальнейшие трансформации слов, а просто перечислим их, соединяя эквивалентные слова символом П, как это принято в математике:

Г«=-> (3)

(1) <s>(2) о n(n −1)=90<s>n2 − n − 90=0 о

n=10

Здесь мы покидаем символьную часть математического языка и вновь возвращаемся в область естественного русского языка. Последнее из символьных слов в последовательности (3) означает, что количество командных пунктов п равно либо отрицательному числу -9, либо натуральному числу 10. Поскольку количество командных пунктов не может быть отрицательным, у нас остается только одна возможность: n=10.

Мы привели подробный анализ решения задачи по той причине, что он выявляет следующее противоречие: применение междисциплинарного подхода к преподаванию математики чрезвычайно затруднено самой ее природой, хотя и представляется не только возможным, но и вполне естественным.

С одной стороны, для изложения системы математического знания приходится строить и использовать метаязык, в который русский язык входит в качестве составной части. Уже эта задача является весьма сложной, особенно если учесть, что символы и формулы математики составляют только лишь часть ее, причем не самую важную, сложную и трудную. Кроме того, при изучении математики студент и преподаватель работают над приобретением нескольких разнохарактерных умений: а) умением точно применять формальные правила, подчас весьма абстрактные, сложные и многошаговые; б) умением выбирать из длинного перечня известных правил именно то правило, которое необходимо для выполнения данного конкретного действия; в) умением строить последовательность применяемых правил, которая ведет к решению поставленной задачи. Подчеркнем, что второе и третье умения в принципе не могут быть формализованы. Они сродни практическому искусству и приобретаются только под влиянием хороших образцов и в процессе многочисленных упражнений. Как писал А. Пуанкаре, «творить - это отличать, выбирать» [11.С. 312]. (О природе математического творчества см. там же [11. С. 309-320].)

С другой стороны, очевидно, что рассмотренная задача не является собственно математической, а носит прикладной характер, так что междисциплинарный аспект математической деятельности по ее решению не вызывает сомнений. Кроме того, наличие лингвистического компонента решения задачи свидетельствует о полидисциплинарной природе самой математики.

2. Для математики характерны чрезвычайно длинные цепочки логических умозаключений.

Для примера сформулируем определение важного математического понятия - понятия группы: «Множество объектов с операцией умножения на нем называется группой, если для умножения справедлив сочетательный закон и разрешимы уравнения ax=b и ya=b». Нетрудно видеть, что это определение использует всего лишь 27 слов, включая предлоги, союзы и поэлементное прочтение формул, причем каждое из слов знакомо ученику начальной школы. В то же время логические следствия из него, представленные, например, в монографии А.Г. Куроша [8], занимают объем в 57 печатных листов. Кричащим примером является классификационная теорема о строении конечных простых групп, созданная усилиями интернационального «коллектива» алгебраистов нескольких поколений. По оценкам специалистов, ее формулировка и доказательство занимают около 5 тысяч страниц журнального текста. По этому поводу А.И. Кострикин в предисловии к книге [2.С. 7] пишет следующее: «Скорее всего, таинственные 5000 страниц сплошного, тщательно подготовленного текста никто не напишет, да и достоверность их в любом случае вышла бы за рамки обычных математических стандартов. Сила математики - в ее единстве, и кто знает, на каком пути и какими средствами будут даны убедительные, легко проверяемые аргументы в пользу выводов, полученных ценой 25-летних усилий».

Разумеется, столь яркое свойство математики находит свое естественное отражение в процессе ее преподавания. Применительно к начальной школе оно выражено в понятии укрупненной дидактической единицы (УДЕ) усвоения материала (см. П.М. Эрдниев [13.С. 4]). Мы опускаем детальный анализ этого понятия, поскольку он проводился разными авторами, начиная с его создателя. Для целей данной статьи важно указать на два аспекта: во-первых, УДЕ - это своего рода квант информации, т.е. такая порция информации, которая должна быть освоена учащимся единовременно; во-вторых, УДЕ - большое по объему и достаточно сложно структурированное образование. Применительно к высшей школе сформулируем третье свойство математики.

3. Для преподавания математики характерны чрезвычайно крупные дидактические единицы усвоения материала.

Если говорить о важнейших объектах, без которых не имело бы смысла изучать математику, то их определения зачастую весьма громоздки. Так, множество вещественных чисел описывается с помощью 17 аксиом, причем важнейшая из них - аксиома непрерывности - записывается с помощью одной импликации и пяти кванторов, расположенных в строго определенном порядке. Аксиоматика Вейля аффинного пространства, без которой не обходится ни один курс геометрии, представляет собой последовательность из 10 аксиом, 5 теорем и 5 определений. Аксиоматика Гильберта, которая была первым усовершенствованием древней аксиоматики Евклида, насчитывает 20 аксиом. Отметим, что речь идет о современных, совершенных и компактных изложениях В.А. Зорича, П.К. Ра-шевского и В.Т. Базылева.

В стандартных математических курсах нередки теоремы, доказательства которых занимают целую лекцию или несколько больше. Таковы, например, теорема о существовании корня многочлена с комплексными коэффициентами, теорема о существовании решения дифференциального уравнения первого порядка, классификация кривых второго порядка на евклидовой плоскости и целый ряд других. Отметим, что речь идет только лишь о доказательстве, т.к. вся подготовительная работа - математическая мотивировка, введение необходимой символики, формулировка теоремы и проч. - делается заранее.

Особо следует подчеркнуть, что преподаватель, как правило, не может уклониться ни от рассмотрения сложных определений, ни от проведения громоздких доказательств. В практике педагогического вуза такое уклонение невозможно или крайне нежелательно, поскольку упомянутые и подразумеваемые объекты дают научное обоснование основным линиям школьного курса математики. В практике университета без глубокого знания этих объектов невозможна эффективная подготовка исследователя. Если же говорить в общем плане, то неадекватные представления об объеме и сложности математических рассуждений существенно искажают представления о самой математике, даже при большом объеме изучаемого материала.

4. Многие проблемные ситуации, с необходимостью возникающие при развертывании перед студентами системы математического знания, образуют весьма узкое, по сравнению с гуманитарными дисциплинами, поле для студенческих дискуссий.

Достаточно часто для решения математического вопроса бывает необходимо понять, является ли данная функция непрерывной, является ли отображение групп изоморфизмом, равен ли нулю детерминант и т.п. Даже если читатель не знает, что такое непрерывность, изоморфизм или детерминант, понятно, что возможны только два ответа на каждый из поставленных вопросов - «да» или «нет».

Примером более широкого поля для дискуссий является соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Однако и здесь ясно, что существуют только четыре логические возможности: а) непрерывность и диф-ференцируемость никак не связаны между собой; б) непрерывность и дифферен-цируемость вытекают друг из друга; в) из непрерывности следует дифференцируе-мость, но обратное неверно; г) из диффе-ренцируемости следует непрерывность, но обратное неверно. В такой ситуации можно организовать дискуссию студентов, выслушать аргументы в поддержку каждой из возможностей или придумать какие-то иные формы активизации. Однако в данном конкретном случае это вряд ли целесообразно, поскольку ответ дает краткая, выразительная и важная теорема: «Дифференцируемая функция непрерывна. Обратное неверно». При этом доказательство ее весьма невелико и занимает три-четыре строки.

Учет вышеупомянутых свойств математики выявляет одно неочевидное обстоятельство: при ее изучении оказываются не вполне уместными, неприменимыми или трудно применимыми многие стандартные приемы активизации студентов. (Говоря несколько мягче, эти приемы требуют выработки специфических форм их применения.)

Действительно, если студент изначально, до вуза, не встречался с необходимостью проведения длинных цепочек логических умозаключений, если он не готов физически или хотя бы психологически к тяжелому труду по быстрому, единовременному освоению больших единиц информации (свойства 2, 3), то его обучение математике в вузе будет весьма затруднено, а то и невозможно. Не случайно В.А. Крутецкий считает, что «пониженная утомляемость в процессе занятий математикой» является одним из компонентов математических способностей школьника [7.С. 206].

Обращаясь к свойству 1, мы видим, что при изучении математики язык, на котором только и возможно ее изложение и понимание, одновременно и строится, и применяется. При этом тратится огромное количество энергии и времени на выработку чисто технических умений и навыков, которое сродни умению играть гаммы. Разумеется, гаммы не составляют сущности исполнительского мастерства, однако не существует музыкантов-исполнителей, которые не потратили бы на их освоение огромного количества времени и сил. Подобно этому формальное знание математических формул и тождественных преобразований не составляет сущности математики, однако без знания огромного набора формул и свободного владения тождественными преобразованиями невозможно говорить об изучении математики, и уж тем более о творчестве в области математики.

Итак, студент, изучающий математику, работает, как правило, на пределе личных интеллектуальных возможностей и в условиях дефицита времени. При этом он осваивает материал, главным свойством которого является, по крайней мере, на первых порах, его логическая структура. В этих условиях оказывается чрезвычайно затруднительным применение метода интервью, метода организации дискуссий, метапланового метода структурирования проблемы и т.п. Возникает естественный вопрос о способах реализации междисциплинарного подхода в процессе преподаванию математики. К счастью, ряд других свойств математики позволяют реализовать его в специфических формах.

§ 3. Дуалистические свойства науки как основа междисциплинарного подхода к преподаванию конкретных дисциплин

Содержание предыдущих параграфов выявило различие между природой двух групп аргументов, одна из которых свидетельствует о необходимости междисциплинарного подхода к преподаванию математики, а другая говорит о больших ограничениях, накладываемых на возможность его применения. Аргументы, изложенные в первом параграфе, весьма серьезны, однако они совсем не связаны с природой математики. Они могут быть не услышаны или не восприняты преподавателем, сосредоточенным на проблемах собственно математики или даже методики ее преподавания. Это вполне естественно, поскольку как математические, так и методические проблемы столь разнообразны и глубоки, что могут составить содержание профессиональной деятельности исследователя на протяжении десятков лет. В то же время положения второго параграфа отнюдь не носят характера контраргументов против применения междисциплинарного подхода, а лишь указывают на необходимость поиска специфических форм его применения к преподаванию конкретной дисциплины. Эта ситуация «диалога на разных языках» может быть скорректирована, если внутри каждой из конкретных наук - математики, физики, психологии и т.д. - будут найдены свидетельства того, что для полноценного освоения студентом этой науки необходимо раскрытие ее междисциплинарной сущности.

Покинем на время рамки математики и включим проблему в более широкий контекст. Высшее образование, на каких бы теоретических посылках оно ни базировалось, призвано сформировать в сознании студентов адекватный образ науки. В силу этого общие положения любой педагогической концепции, в частности, междисциплинарный подход к преподаванию специальных дисциплин, должны быть тесно связаны с имманентными свойствами науки вообще, не зависящими ни от области науки, ни от исторического периода ее развития, ни от уровня изучаемых или проводимых исследований. Ниже будут рассмотрены некоторые из таких свойств.

Говоря об имманентных свойствах науки, мы будем базироваться на работах А.В. Ястребова [14] и Е.Н. Корнеевой [6]. Первая из них относится к математике, а вторая - к психологии. Замечательно то, что две столь разные, не похожие друг на друга области знания обладают несколькими общими фундаментальными свойствами, которые ниже мы будем называть дуалистическими. Формулируя дуалистические свойства науки, мы не будем повторять аргументацию работ [6, 14], позволившую выявить их. Сосредоточимся на возможности обнаружения тех же свойства в других научных дисциплинах.

Науке присущ деятельностно-продуктивный дуализм. Это означает, что понятие науки включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности - сумму полученных к данному моменту научных знаний.

Поскольку образование должно формировать в сознании студентов адекватный образ науки, объективно возникает естественное требование к предметной подготовке: освоение конкретной дисциплины должно быть ориентировано, причем одновременно и в равной мере, как на передачу системы предметных знаний, так и на формирование умений и навыков исследовательской деятельности внутри осваиваемой дисциплины. Другими словами, желательно, чтобы преподаватель математики, физики, биологии, психологии, истории и т.д. не только передавал студенту научные факты, но и умел воспроизводить в процессе преподавания важнейшие черты исследовательской деятельности.

Отметим, что эта задача достаточно сложна. Например, традиционное методическое обеспечение процесса преподавания математики отнюдь не способствует ее решению. Действительно, все суждения и умозаключения в учебниках являются синтетическими, что характерно для завершенной математики, а не для математики-деятельности. Задачники не содержат упражнений, с помощью которых можно было бы организовать наблюдение над математическими объектами с последующей формулировкой и проверкой гипотезы. Отсутствуют задачи на построение обобщений, на обмен информацией, полученной студентами в результате самостоятельной деятельности, и многое другое. Преобладают задачи-приказы, развивающие только конвергентные способности мышления: решить (уравнение, неравенство), доказать (тождество, утверждение), найти (площадь, объем), вычислить (производную, интеграл) и т.п. Подчеркнем, что наша характеристика традиционного методического обеспечения не носит оценочного характера, поскольку оно, как правило, полностью соответствовало целям своего написания. На нем воспитывались многие поколения преподавателей и студентов, включая автора. Мы всего лишь хотим подчеркнуть, что оно ориентировано на формирование у студентов математической техники (см. § 2) и не приспособлено для формирования исследовательских умений.

Науке присущ личностно-социальный дуализм. Это означает, что имеют место несколько дополняющих друг друга фактов: (а) каждый научный результат изобретается лич-но тем или иным конкретным ученым; (б) наука может существовать только благодаря наличию особого социального института - научного сообщества; (в) изобретенный результат становится фактом науки только в результате его принятия научным сообществом; (г) процесс принятия нового результата включает в себя обмен информацией о содержании нового результата и различные виды экспертных оценок.

С организационной точки зрения научное сообщество является весьма сложным образованием с разветвленной иерархией и многокомпонентными отношениями принадлежности. В него входят отдельные ученые, творческие коллективы, исследовательские институты, учебные заведения, научные журналы, органы по присуждению ученых степеней, национальные академии, международные комитеты. Очевидно, что необходимым (и, возможно, достаточным) условием функционирования такой системы является информационный обмен между ее элементами. На практике он весьма интенсивно осуществляется посредством публикаций, конференций, семинаров, системы Интернет и т.д.

Коль скоро в реальном научном мире объективно существует важное явление - информационный обмен результатами личной деятельности - оно должно в той или иной форме отражаться в процессе преподавания. В статьях автора [14, 15] показано, что материал многих традиционных разделов математики может быть преобразован таким образом, что естественным способом его изучения становится групповая форма работы. Более точно, академическая группа студентов разделяется на микрогруппы, каждая из которых выполняет задание преподавателя, получая при этом некий математический результат, а затем происходит обмен этими самостоятельно полученными результатами. Благодаря такой организации учебного процесса, во-первых, иллюстрируется личностно-социальный дуализм науки и, во-вторых, математика, наряду с другими дисциплинами, участвует в выработке целого спектра ключевых компетенций: личной и социальной ответственности, умения планировать, коммуникабельности, языковых навыков, способности к кооперированию и ряда других

Науке присущ индуктивно-дедуктивный дуализм. Это означает, что природа научного умозаключения является одновременно и индуктивной, и дедуктивной. Интуиция, основанная на индуктивных умозаключениях, служит средством первичного получения результата, а логика, основанная на дедукции, служит средством его строгого обоснования.

О соотношении индукции и дедукции, интуиции и логики писали такие выдающиеся математики, как Ж. Адамар, Г. Вейль, Ф. Клейн и многие другие. Особенно много внимания уделяет этому А. Пуанкаре [11. С. 8, 11-21, 159-169, 309-320]. Применительно к математике утверждение об индуктивно-дедуктивном дуализме науки является всего лишь кратким выражением мыслей ее создателей. Для нас сейчас важнее то обстоятельство, что для классиков науки размышления о природе умственных действий в области математики оказываются тесно связанными с вопросами ее преподавания. Говоря об интуиции, А.Пуанкаре пишет, что «без нее молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы ее любить и увидели в ней лишь пустое словопрение; без нее особенно они никогда не сделались бы способными применять ее» [11. С. 165]. Ключевая мысль А. Пуанкаре указывает на сходство мыслительных процессов исследователя и студента: «Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима исследователю в выборе пути, она не менее необходима для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он выбрал его» [11. С. 166].

Взаимодействие индукции и дедукции имеет особые формы для естественных наук, поскольку двумя важными их методами являются наблюдение и эксперимент. В силу этого задачи наблюдения объектов - неотъемлемая часть преподавания физики (естественной науки, неотделимой от математики), биологии (естественной науки, существенная часть которой развивается вне математики), психологии (науки одновременно и естественной, и гуманитарной). При правильной постановке дела фиксация результатов наблюдения отделена во времени от их интерпретации. Именно на этапе интерпретации исследователь и прибегает к индуктивным рассуждениям, получая при этом обобщающие умозаключения. Иное дело эксперимент, поскольку он базируется на дедуктивном способе познания действительности. Эксперименту всегда предшествует формулировка научной гипотезы, которая вытекает из теоретических положений концепции, принятой исследователем на вооружение. Исходя из нее, исследователь, будь то ученый или студент, вычленяет предмет исследования (зависимая переменная) и условия, факторы, которые он будет менять в процессе работы (фиксируемая, независимая переменная). Далее определяются параметры измерения и оценки обеих переменных. Успеху эксперимента во многом способствует выбор верных методологических оснований, использование методов логико-математической обработки полученных результатов.

Интересно, что по весьма похожей схеме написана знаменитая книга Л.Н. Гумилева «Этногенез и биосфера Земли» [3]. Первые пять частей книги объемом 312 страниц - это интерпретация (индуктивные рассуждения) исторического, географического, биологического и другого материала, в результате которого появляется искомое автором понятие пассионарности как основного фактора этногенеза. Шестая часть объемом 50 станиц - это разъяснение точного смысла термина «пассионарность». Оставшиеся три части объемом 217 страниц - это следствия (дедуктивные рассуждения), которые объясняют ранее описанные явления этногенеза и дают схему развития этнических целостностей.

Науке присущ теоретико-эмпирический дуализм источников ее развития.

Один из аспектов данного положения широко известен и общепризнан. Развитие науки происходит, с одной стороны, благодаря возникающим у общества практическим потребностям, а с другой стороны, благодаря спонтанно возникающим теоретическим идеям внутри самой науки. Меньше обсуждается другой аспект, а именно «кросс-научное влияние», т.е. интериоризация научной дисциплиной представлений, понятий и идей другой области знания. (Ср. устойчивое словосочетание «кросс-культурные коммуникации» с нестандартным выражением «кросс-научное влияние».)

Эмпирико-теоретический дуализм математики означает, что существует два типа движущих идей современной математики: идеи естественно-научного, эмпирического происхождения и теоретические идеи, появившиеся внутри математики. Дж. фон Нейман [10] называет два раздела математики, идеи которых имеют заведомо эмпирическое происхождение, - геометрию и математический анализ. Это именно те ее разделы, к которым как нельзя лучше применимо название «чистая математика». Более того, создание математического анализа «в большей мере, чем что-либо другое, знаменует рождение современной математики». К разделам второго типа, изобретенным для внутреннего, математического потребления, относятся абстрактная алгебра, топология, теория множеств. Двумя удивительными примерами служат дифференциальная геометрия и теория групп, поскольку поначалу их считали абстрактными, не прикладными дисциплинами и лишь впоследствии они нашли широкое применение в физике. Однако и поныне они развиваются в основном в абстрактном духе, далеком от приложений. Кратко говоря, «двоякий лик - подлинное лицо математики, и я не верю, что природу математического мышления можно было бы рассматривать с какой-нибудь единой упрощенной точки зрения, не принося при этом в жертву самую сущность» [10].

Для нас важно, что, по всей вероятности, «двоякий лик» является подлинным лицом не только математики, но и науки вообще. Так, представление о молекулярной природе вещества является неотъемлемой частью современной физики, но пришло в нее из химии. В свою очередь, точное объяснение химических свойств веществ появилось в рамках одного из разделов физики - квантовой механики. Астрономические наблюдения за звездами дают информацию для физики элементарных частиц. Понятие формальной грамматики и контекстно-свободного языка введено в современную лингвистику математиком Н. Хомским. Другой математик, Г. Харди, ввел в биологию понятие идеальной (равновесной) популяции, которое является достаточно точным аналогом понятия идеального газа. Физик Мариотт создал первую теорию поднятия растворов вверх по растению -капиллярную теорию. Он же ввел в биологию представление об автотрофном питании растений. Открытие кислорода химиком Пристли немедленно породило в биологии теорию газообмена в организме.

Разумеется, можно было бы привести и другие примеры. Дело не в их количестве, а в том, что мы можем сделать следующий качественный вывод: дуалистические свойства науки могут служит одной из основ междисциплинарного подхода к процессу преподавания специальных дисциплин.

Применительно к математике сформулируем наш вывод в более категоричной форме: выявление дуалистических свойств науки на математическом материале и в результате математической деятельности способствует улучшению качества математического образования, поскольку а) дает студенту навыки исследовательской работы; б) раскрывает полидисциплинарную природу математики и науки вообще; в) способствует выработке ключевых компетенций посредством занятий математикой.

Остается открытым вопрос о том, возможно ли распространение данного вывода на другие научные дисциплины. Мы убеждены, что ответ является положительным, а также в том, что поиск эффективных способов иллюстрации дуалистических свойств науки в преподавании конкретных дисциплин не окажется чрезмерно трудным.

Список литературы

1. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. М., 1996.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985.

3. Гумилев Л.Н. Этногенез и биосфера Земли. М.: Институт ДИДИК, 1997.

4. Жезлова С.А. Модерация как инновационная форма повышения квалификации учителей // Дисс .…. канд. пед. наук. Ярославль, 2002.

5. Зимняя И. А. Ключевые компетенции — новая парадигма результатов образования // Высшее образование сегодня. 2003. №5. С. 34-42.

6. Корнеева Е.Н., Ястребов А.В. Инвариантные свойства психологии и их отражение в процессе ее преподавания//Ярославский психологический вестник. Вып. 12. 2004. С 124-134.

7. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968.

8. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

9. Лекторский В.А. Субъект, объект, познание. М.: Наука, 1981.

10. Нейман Дж. фон. Математик //Природа. 1983. №2. С. 88-95.

11. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.

12. Хуторской А.В. Ключевые компетенции и образовательные стандарты: Доклад на отделении философии образования и теории педагогики РАО 23 апреля 2002. Центр «Эйдос» WWW/eidos.ru/news/compet/htm.

13. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986.

14. Ястребов А.В. Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания // Ярославский педагогический вестник. 2001. № 1. С. 48-53.

15. Ястребов А.В. Сценарии групповой работы при изучении математики // Вопросы методики обучения математике в средней школе: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2002. С. 113-121.