Статья: Элементы планиметрии

Мендель Виктор Васильевич, доцент кафедры геометрии ХГПУ

Цель предлагаемого задания – повторить материал по планиметрии для дальнейшего его использования при решении задач по стереометрии, а также применения при решении олимпиадных задач.

Предлагаемая разработка состоит из двух блоков. В первом изложены основные геометрические конструкции и связанные с ними факты; основные вычислительные формулы и замечательные теоремы, связанные с геометрией треугольника.

Во втором блоке собраны задачи. Начинается этот блок с опорных задач, которые нужно обязательно разобрать. Далее изложены задачи для самостоятельного решения. Они разделены по уровню сложности и по тематике. Некоторые снабжены указаниями к решению.

Вам необходимо внимательно прочитать и повторить материал первого блока. Решить опорные задачи (решения этих задач высылать не надо). Затем вы должны решить из задач для самостоятельного решения необходимый минимум (или больше). Минимальное количество задач по каждому разделу указано в начале каждого раздела. Если в школе учится несколько учащихся Заочной краевой физмат школы, им рекомендуется решать различные задачи.

Оформление решения:

Номер задачи. Краткая запись (текст можно не переписывать). Пояснение всех обозначений (Например: АН – высота из вершины А; ВМ – медиана; l – длина биссектрисы CL и т.п.).

Аккуратный чертеж с четкими обозначениями.

Решение (с необходимыми короткими комментариями. Например: из того, что треугольник ABC – прямоугольный — следует … , из Δ ABC по теореме косинусов выразим сторону BC и т.п.). При оформлении решения допускаются ссылки на материал первого блока.

I. Основные геометрические конструкции, вычислительные формулы и теоремы.

Основные конструкции.

Треугольник с построенными медианами.

Медианы пересекаются в одной точке (центроид, центр тяжести) и делятся этой точкой в отношении 2:1 считая от вершины.

Медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника.

Медианы разбивают треугольник на шесть равных по площади треугольников.

Площади треугольников АМВ, ВСМ и САМ – равны.

Если точка М лежит внутри треугольника и обладает свойством 4, то это точка пересечения медиан.

Треугольник с построенными высотами.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (точка пересечения высот, ортоцентр).

Если треугольник остроугольный – Н лежит внутри него, если тупоугольный – вне треугольника, если прямоугольный – совпадает с вершиной прямого угла.

Треугольник АВС и АНВНС – подобны: .

Четырехугольник ВСНВНС вписывается в окружность: ÐВСНВ+ÐНВНСВ=180°.

Четырехугольник АНСННВ вписывается в окружность: ÐА+ÐНСННВ=180°.

Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами лежат на одной окружности (окружность девяти точек).

Треугольник с построенными биссектрисами.

Основное свойство биссектрис:  (то же верно и для биссектрисы внешнего угла треугольника).

Биссектрисы пересекаются в одной точке L – центре вписаной окружности.

Расстояние от точки L до любой стороны треугольника равно r – радиусу вписанной окружности.

Замечание! Точки LA, LB и LC в общем случае не являются! точками касания сторон треугольника и вписанной окружности.

Треугольник с построенными серединными перпендикулярами.

Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке О – центре описанной окружности. Точка О равноудалена от вершин: ОА=ОВ=ОС=R – радиус описанной окружности.

(см. рис. 5) . Теорема синусов: .

Точка О лежит:

внутри остроугольного треугольника;

на середине гипотенузы прямоугольного треугольника;

вне тупоугольного треугольника.

Связь между серединными перпендикулярами и высотами: высоты треугольника НАНВНС (см. рис.2) лежат на серединных перпендикулярах треугольника АВС.

Треугольник с построенными средними линиями.

средняя линия – отрезок, соединяющий середины 2-х сторон треугольника. Средняя линия МАМВ параллельна стороне АВ и равна половине ее длины.

Средние линии образуют треугольник, подобный данному. Коэффициент подобия – 1/2, площади относятся как 1:4.

Про описанную окружность треугольника МАМВМС смотри 1.2 №6.

Про его высоты смотри 1.4 № 4.

Углы, вписанные в окружность.

Угол, вершина которого лежит на данной окружности, а стороны ее пересекают, называется вписанным.

Градусная мера дуги ВС окружности есть градусная мера центрального угла ВОС, опирающегося на эту дугу.

Угол ВАС равен половине угла ВОС (мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую этот угол опирается).

Сумма противоположных углов вписанного 4-х угольника равна 180º.

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равных окружностей (или одной окружности) – равны.

Будем говорить, что отрезок АВ виден из точки М под углом γ, если ÐАМВ=γ.

Если одна из сторон выпуклого многоугольника видна из всех оставшихся вершин под одним и тем же углом, то вокруг этого многоугольника можно описать окружность (обратное также верно).

Угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают

эту окружность.

ÐСМD=1/2×(ÐСОD-ÐAOB) – угол равен полуразности мер дуг, которые он вырезает из окружности.

Треугольники АМВ и СМD – подобны: ; ÐМАВ=ÐМDС, ÐМВА=ÐМСD.

Свойство отрезков секущих: МА·МС=МВ·МD=МТ2=МО2-R2 (MT – отрезок касательной, МО – расстояние от М до центра О, R – радиус окружности).

Угол, вершина которого лежит внутри окружности.

 – угол равен полусумме мер дуг, которые он вырезает из окружности.

Треугольники МВС и МАD подобны: ÐМВС=ÐМАD; ÐМСВ=ÐМDА (т.к. опираются на равные дуги). МА:МВ=МС:МD=ВС:АD.

Свойство отрезков секущих: МА·МС=МВ·МD= =R2-МО2.

Выпуклый многоугольник, описанный вокруг окружности.

Многоугольник описан вокруг окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Если внутри выпуклого многоугольника есть точка, равноудаленная от всех его сторон, то в этот многоугольник вписывается окружность с центром в данной точке.

В выпуклый 4-х угольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: a+c=b+d.

Радиус r вписаной окружности многоугольника вычисляется по формуле , где S – площадь, а P – периметр многоугольника.

Теоремы Вариньона.

Середины сторон 4-х угольника являются вершинами параллелограмма (рис. 11).

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей 4-х угольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Если 4-х угольник из п.2 – выпуклый, то площадь параллелограмма MNPQ равна половине площади ABCD.

Свойства хорд.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Параллельные хорды AB и CD (рис. 12) высекают на окружности равные дуги AD и BC.

Равные хорды одной (или двух равных) окружности стягивают равные дуги.

Угол между хордой АВ и касательной в точке А равен половине меры дуги АВ.

Линия центров двух окружностей.

Линия центров – прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Общие внешние (внутренние) касательные двух окружностей пересекаются в точках, лежащих на линии центров.

Основные вычислительные формулы.

Теорема косинусов:

Площадь треугольника:

– стороны треугольника, – углы,– высота, – полупериметр,  – радиус описаной окружности,  – радиус вписаной окружности.

Площадь выпуклого четырехугольника: , и  – диагонали,  – угол между ними.

2.4. Площадь выпуклого многоугольника с периметром, описанного вокруг окружности радиуса : .

2.5.Формула Герона для вычисления площади треугольника: , где .

2.6.Длина отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вписаной окружности:, ,

2.7.Теорема Птолемея: во вписаном 4-х угольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: .

2.8.Площадь трапеции: , и  – основания,  – высота трапеции.

2.9.Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, нужно найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого служат три каких-либо вершины данного многоугольника.

3. Некоторые замечательные теоремы планиметрии.

3.1. Теорема Менелая.

Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

3.2.Теорема Чевы.

Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

.

3.3.Теорема Пифагора.

3.4. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

 – радиус вписаной окружности

 – радиус описаной окружности

 – высота из вершины прямого угла

II. Задачи.

Опорные задачи.

Представленные ниже опорные задачи, являются упражнениями для закрепления материала, изложенного методических рекомендациях. Эти задачи необходимо прорешать, но высылать их решения не следует.

Найдите неизвестные стороны треугольника АВС, если дано:

а) а=4, в=6, g=30° б) а=4, в=6, b=60° в) а=5, a=30°, b=120°

Стороны параллелограмма а и в, угол между ними g. Найдите длины его диагоналей.

Вычислите длину медианы mа, проведенную из вершины А треугольника АВС, если а) АВ=с, АС=в, ÐА=a б) АВ=с, АС=в, ВС=а

Указание: Достройте треугольник до параллелограмма и используйте формулы, полученные в задаче 1.2.

Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна m. Найдите длины боковых сторон.

Диагонали параллелограмма равны и , угол при вершине – a. Найдите площадь.

Радиус описаной окружности треугольника равен R, углы при вершинах: a, b и g. Докажите, что площадь треугольника равна .

Указание: Используйте при решении конструкцию на рис. 5 (соединив точку О с другими вершинами).

В остроугольном треугольнике АВС угол ÐА=60°, а сторона ВС=4 см. D и E – основания высот, опущенных из вершин В и С. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АDE.

Площадь треугольника равна 6, а длины двух сторон 3 и 4. Найдите радиус описанной окружности.

Диагонали выпуклого 4-х угольника АВСD разрезали его на четыре треугольника:  (М – точка пересечения диагоналей). Найдите площадь четырехугольника.

Площадь треугольника равна 5, две стороны 3 и 4. Найдите площади треугольников, на которые он делится биссектрисой угла между данными сторонами.

Площадь трапеции равна 3, основания 1 и 2. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.

Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция с боковой стороной 3. Найдите площадь трапеции.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и острым углом 30°. Найдите площадь двух кругов, проходящих через вершину прямого угла с центрами в острых углах треугольника.

В полукруг радиуса 1 вписан квадрат так, что две вершины лежат на основании, а две другие – на дуге полуокружности. Найдите площадь квадрата.

Найдите отношение радиусов двух касающихся окружностей, если каждая из них касается сторон угла величины a.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 2a. Найдите отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5, а радиус вписанной окружности 2. Найдите гипотенузу.

Определите острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое диагоналей.

Площадь ромба равна S, сумма его диагоналей – m. Найдите сторону ромба.

Одна биссектриса поделила первую сторону в отношении 3:1, а другая вторую в отношении 4:3. Может ли третья биссектриса поделить третью сторону в отношении:

а) 1:4,  б) 5:3.

Найдите площадь треугольника АВС, если ВС=а, АМ=n, ÐАМВ=60°

(М – некоторая точка на отрезке ВС).

2. Задачи для самостоятельного решения

Представленные ниже задачи для самостоятельного решения, являются контрольным заданием заочной школы. Выбор задач для решения производится в соответствии с указаниями рядом с названием каждой темы. Правила оформления работ смотрите во вступительной статье.

Треугольник (решить любые две задачи).

М10.1.1 В треугольнике АВС сторона АС равна 26, а медианы, проведенные из вершин А и С, равны соответственно 36 и 15. Найти третью медиану.

М10.1.2 Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равно 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

М10.1.3 Определить углы треугольника, в котором медиана, биссектриса и высота, выходящие из одной и той же вершины треугольника, делят соответствующий угол на 4 равные части.

М10.1.4 Найти угол А треугольника АВС, если заданы длины его сторон |АС|=b, |АВ|=с и длина l биссектрисы внутреннего угла А.

Треугольники и окружность (решить любые две задачи).

М10.1.5 Из точки А к окружности радиуса R проводится касательная, которая касается окружности в точке М. Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках K и L, причем L – середина отрезка АК, угол АМК равен 60°. Найдите площадь треугольника АМК.

М10.1.6 Площадь прямоугольного треугольника равна Р, а площадь круга, вписанного в него, равна Q. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника.

М10.1.7 Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см, а гипотенуза – 13 см.

М10.1.8 В треугольнике АВС АН и ВN – высоты, М – середина стороны АВ. АН=4, АВ=5, ВС=4. Найдите длну отрезка, который высекает на стороне ВС окружность, проходящую через точки Н, М и N.

Теорема Менелая (обязательно решить № М10.1.10, попробовать № М10.1.9).

М10.1.9 Вокруг 4-х угольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD – в точке К. (Точки В и D лежат на отрезках АМ и АК соответственно). Пусть Р – проекция точки М на прямую АК, L – проекция точки К на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.

Указание: Запишите теорему Менелая для треугольника АВD и прямой LР и попробуйте выразить отрезки АР, РD, А L и ВL через отрезки МР и  К L и углы 4-х угольника АВСD.

М10.1.10 На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FE.

Четырехугольники (решить любые три задачи).

М10.1.11 В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD. Известно, что АD=2, ÐАВD=ÐАСD=90° и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника АВD и точкой пересечения биссектрис треугольника АСD равно . Найдите длину стороны ВС.

М10.1.12 В параллелограмме АВСD длина стороны АD равна 8. Биссектриса угла АDС пересекает прямую АВ в точке Е . В треугольник АDЕ вписана окружность с центром в точке О, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны АD в точке L. Найдите величину угла КОL, если длина КL равна 2.

М10.1.13 Основание АВ трапеции АВСD вдвое длиннее основания СD т вдвое длиннее боковой стороны АD. Длина диагонали АС равна а, длина боковой стороны ВС равна b. Найдите площадь трапеции.

М10.1.14 На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD взяты соответственно точки К и М так, что АК:КВ=2:3, а ВМ:МС=2:1. Найти отношение площадей треугольников КВМ и КМD.

М10.1.15 Сумма длин оснований трапеции равна 9, а длины диагоналей равны 5 и . Углы при большом основании — острые. Найдите площадь трапеции.

Четырехугольники и окружности (решить № М10.1.16 и одну любую задачу).

М10.1.16 Основание АС равнобедренного треугольника АВС является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольник АВС. Прямые, проходящие через точку В, касаются окружности в точках D и Е. Найдите площадь треугольника DВЕ, если АВ=ВС=2, ÐАВС=, а радиус окружности равен 1.

М10.1.17 В треугольнике АВС известна сторона АВ=4, ÐВАС=30°, ÐАВС=130°. На АВ как на диаметре построен круг. Найдите площадь части круга внутри треугольника.

М10.1.18 В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16, СЕ=. Окружность, проходящая через точки А, В, С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, ÐАНВ=60°. Найдите АС.

М10.1.19 В окружность радиуса 10 вписан четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и . Найдите стороны четырехугольника.

Комбинации многоугольников и окружностей (решить любые две задачи).

М10.1.20 Две окружности радиуса 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D так, что СD=8 и В лежит между С и D, В¹С¹D. Найдите площадь треугольника АСD.

М10.1.21 Окружность О1 радиуса 3r касается продолжения стороны АВ угла АВС, ее центр лежит на стороне ВС. Окружность О2 радиуса r касается сторон угла АВС и окружности О1. Найдите угол АВС.

М10.1.22 Дан треугольник АВС. Окружность радиуса R касается прямых АВ и ВС в точках А и С соответственно и пересекает медиану ВD в точке L так, что ВL=ВD. Найдите площадь треугольника.

М10.1.23 В четырехугольнике MNPQ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон MN, NP и PQ, а другая — сторон MN, MQ и PQ. Точки В и А лежат, соответственно, на сторонах MN и PQ, причем отрезок АВ касается обеих окружностей. Найдите длину стороны MQ, если NP=b и периметр четырехугольника BAQM больше периметра четырехугольника ABNP на величину 2р.