Доклад: Теория отображений
Отобразить верхнюю половину плоскости с разрезами по отрезкам на верхнюю полуплоскость.
Решение:

Отображение
отображает верхнюю полуплоскость с разрезами на верхнюю полуплоскость без разрезов (под операцией взятия в квадратные скобки надо пономать взятие целой части от числа). Докажем это:
Рассмотрим отображение из полосы
полуплоскости сразрезами в полуплоскость без разрезов.
(*)
совершенно очевидно ,что в нашем случае
. То есть, мы
получаем верхнюю полуплоскость без действительной оси. Рассмотрим образ луча
.
Подставляя в формулу (*) значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий
на действительной оси . В результате мы получили, что
образом полосы
(1) является
.
Если на полосу плоскости без разреза подействовать
отображением sin(Z) то в образе получим такое множество
(2).
Применив отображение
к полосе(1) с разрезом в образе
получим множество (2).
Поэтому функция отображает полосу
с разрезом в полосу
без разреза.
Продолжим эту функцию на всю полуплоскость с разрезами. Рассмотрим функцию
заданную в полосе
с разрезом.
Функция отображает эту полосу на полосу
без разреза.
И тогда отображение отображает полосу
без разреза.
Проверим является ли функция аналитическим продолжением
функции
. Для этого применим теорему:
Пусть функция аналитична в области
и функция
аналитична в области
. И области
и
имеют общий фрагмент граници
. Если функции на
совпадают то функция
является аналитическим продолжением функции
в область
.
Естественно функции и
совпадают
на луче
.
Поэтому функция является аналитическом продолжением
функции
на полосу
.
Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю верхнюю полуплоскость
с вырезами. И в результате получим функцию:
отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами на верхнюю полуплоскость без вырезов.