Шпаргалка: Пределы и производные

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A| A-E

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1 "n>N1 |a-Xn| " E/2 $ N2 "n>N2 |Xn-и|N0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во: 1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a| n>N3, a-EN0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E =>  lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0, n>N0, |Xn|

Свойства б.м. величин:

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во: из Xn – б.м. => " E/2 $N1, n>N1 |Xn|

из Yn–б.м.=>" E/2 $N2, n>N2 |Yn|N0, |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn| lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N0 n>N0 |Yn|

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N0 n>N0 |Xn-a|

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0, |Xn|>M => M

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N1, n>N1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N2, n>N2 |Yn|>M

N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0, n>N0 |Xn|>M =>n>N0.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;

Xn ± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) =>   lim Xn/Yn =   

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x0| выпол x0-d A-E

Lim x®x0 f(x)=A

Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при x®x0 если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x0|M, "x  x0-df(x)>M.

Lim f(x)=¥ (x®x0).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x®¥, если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

Sтреуг МОА< Sсект МОА

SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX

1(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. limx®0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1; 

2.limx®0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=limt®0t/sint=1;

3. limx®0 (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b limax®0(sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

limn®¥(1+1/n)n=?

Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4)/4!+...+bn.

(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+...+1/nn= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n <3.

2£(1+1/n)n<3 => $ limn®¥(1+1/n)n=e.

Следствия:

1.limx®+¥(1+1/x)x=e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x³(1/x+1)x³(1+1/(n+1))x

(1/n+1)n+1³(1+1/x)x³(1+1/(n+1))n limn®¥(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,·  limn®¥(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $limx®+¥(1+1/x)x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x);

4. limx®x0±f(x)=f(x0).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность)  y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во (суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=

=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.· 

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства(small):

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м

Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x2)£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xÎX, x0; x0+Dx ÎX => Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0), Dy/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx.

Если $ limDx®0Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. LimDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx= =f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.

y|(x0)=limDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/ /Dx=limDх®0Dy/Dx=limDх®0tga==lima®a0tga=tga0.

L: y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f(x0).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y|=limDx®0Dy/Dx = limDx®0Du/Dx+ limDx®0Dv/Dx=U|(x)+V/(x).

2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

y|= limDx®0Dy/Dx= limDx®0Duv/Dx + limDx®0Dvu/Dx + limDx®0DuDv/Dx={ limDx®0Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.

3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

Dy/Dx...

4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/=0/}

Формула Лейбница.

y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)

Дифференцирование ф-ии в  точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limDx®0O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f(x0).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

f(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDx®0[(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx®0(A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f(x0)Dx+O(Dx) => limDx®0Dy=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f(x0) – число, f(x0)=limDx®0Dy/Dx => Dy/Dx=f(x0)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f(x0)Dx+a(Dx)Dx => Dy=f(x0)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx®0O(Dx)/Dx=limDx®0a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0+Dx)-f(x0) =>f(x0+Dx)=f(x0)+Dy»f(x0)+df(x0)=f(x0)+f(x0)dx, dx=Dx.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x);

4. limx®x0±f(x)=f(x0).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность)  y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во (суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=

=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.· 

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Бесконечно малая последовательность

Последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех , c номерами справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все c номерами , расположены между и . Последовательность, предел которой конечное число , называется сходящейся и ее предел обозначают . Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами , то неравенства означают, что все точки с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

Производная

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точкиx. Пусть Dx- приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx)–f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение функции Df.

Отношение Df/Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y=f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y=f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y=f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение Dy/Dx или, что то же самое (f(x+Dx)-f(x))/Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx=0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x+Dx)–f(x))/Dx в точке Dx=0, то он называется производной функции y=f(x) в точке x и обозначается y¢ илиf¢(x):

  
Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a,b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a,b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢(x)»Df/Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df  и Dx.Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке.

 
Так функция y=êxê не имеет производной в точке x=0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке. . Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.