Доклад: Предмет математики

На вопрос "Что же такое математика?", как и на вопрос "Что
же такое философия" ответить однозначно и конкретно в прин-
ципе не возможно. Эти две области мировоззрения весьма об-
ширны и постоянно богатеют все новыми и новыми идеями, так
что даже для того чтобы сделать только поверхностный обзор

математики потребуется очень много времени, поэтому этим я
заниматься не буду, а рассмотрю со своей точки зрения, опи-
раясь на точку зрения Канта, только небольшой вопрос касаю-
щийся математики и может частично (далеко не полностью) по-
пытаюсь ответить, что же все таки такое математика.

Всякая математика по Канту имеет приложение только к об-
ласти явлений, а математика чистая т.е. теоретическая, -
только к априорно-созерцательным формам, будучи ими же по-
рождена. Кант отрицает, что математические построения отра-
жают свойства объективной реальности. Он прав, полагая, что
собственно геометрическое пространство реально вне нас не
существует, а абсолютное пространство Ньютона не реально. У
Канта пространство и время тоже "абсолютны", но уже в том
смысле, что абсолютно не зависят ни от вещей в себе, ни от

чувственной эмпирии. Однако очень трудной задачи выяснения
статуса математических абстракций и их отношения к действи-
тельности он разрешить не смог. Хотя исторически арифметика
и геометрия выросли из практического опыта древних, но
исходными пунктами при аксиоматическом построении математи-
ческих дисциплин оказываются не индуктивные обобщения и во
многих случаях даже не идеализирующие абстракции от этих
обобщений, а так называемые чистые идеальные конструкты.

Правда, в случае, например, геометрии Евклида, в единствен-
ности и абсолютной универсальности которой у Канта в общем
нет сомнений, ее аксиомы и постулаты в совокупности
представляют собой гносеологически еще более сложное образо-
вание, будучи совокупным результатом идеализируещего абстра-
гирования и идеального, т.е. чисто абстрактного, конструиро-
вания. В последнем случае отражение объективной реальности в
теории происходит "окольным" путем приблизительной интерпре-
тации. Только физическая интерпретация, проверяемая затем в
практике научных экспериментов, в состоянии решить, какая из
известных ныне геометрических систем истинна, т.е. соот-
ветствует свойствам реального физического пространства. За-
метим так же, что изображенная Кантом структура математики,
которая включает в себя не только чувственную интуицию и
синтезирующую конструкцию, но и аналитичность, как бы по
частям возродилась в интуиционистском, конструктивистском и
чисто аналитическом направлениях философии математики ХХ в.

Но каждое из этих направлений односторонне.

Важный вопрос заключается в том, можно ли считать, что от-
крытие Лобачевским неевклидовых геометрий в принципе подор-
вало учение об априорности пространства, поскольку оно пока-
зало, что тезис об априорной общеобязательности геометрии
Евклида как единственного будто бы возможного для всякого
субъекта способа восприятия чувственных феноменов не имеет

силы.

Лобачевский не отрицал эмпирической предпочтительности ге-
ометрии Евклида как геометрии обычного восприятия и привыч-
ного для нас макромира, и эту-то "привилегированность" и
закрепленную в филогенезе "очевидность" евклидовского виде-
ния пространства Кант как раз и пытался объяснить
посредством априоризма, так что неокантианец Э.Кассирер уви-
дел в открытии Лобачевского даже подтверждение кантианской
позиции. Конечно зависимость выбора между неевклидовыми гео-
метриями от физических и предметных интерпретаций наносит по
априоризму "критического" Канта сильный удар. Однако сам
факт создания подобных геометрий не столько побуждает к его
модификациям: ведь метод идеальных конструктов в современной
математике и освобождение абстрактных геометрических постро-
ений наших дней от остатков былой "воззрительности" в первом
приближении с априористской иллюзией совместимы. Кант был
знаком через Ламберта с допущениями математиков насчет воз-
можности неевклидовых постулатов и писал: "...возможно, что
некоторые существа способны созерцать те же предметы под
другой формой, чем люди". Уже это его допущение свидетельст-
вует о том, что, кроме однозначного априоризма и конвенциа-
нолизма, идеализм в математике способен апеллировать и к
иным гносеологическим построениям. Однако тезис общей тео-
рии, относительности, что выбор той или иной геометрии есть
физическая проблема, а также вывод из этой теории, что при
определенных условиях распределения масс во Вселенной ее
пространство имеет именно неевклидовую структуру, подрывают

априоризм в самой его основе.