Дж. Р. Хикс. "Стоимость и капитал" > Математические приложения.
1. Цель данных приложений заключается не просто в том, чтобы выразить основные положения, содержащиеся в книге, с помощью математических символов - в этом я не вижу особой пользы. Если словесные (или геометрические) рассуждения убедительны, они ничего не выиграют от представления в иной форме. Чего мы можем достигнуть, однако, так это уверенности в том, что наши положения обладают максимально возможной общностью: доказанное для двух, трех или четырех товаров справедливо и для n товаров. В этих приложениях я сосредоточу внимание на доказательстве обоснований такого рода обобщений.
Я буду придерживаться того же порядка рассмотрения вопросов, что и в тексте книги, и буду выделять части приложений таким образом, чтобы они соответствовали главам книги, с которыми связаны. Я должен начать, однако, с обсуждения чисто математического утверждения, которое играет основную роль в последующем изложении. Какое отношение оно имеет к делу, станет ясно почти сразу.
2. Основное математическое утверждение. (1) Однородную функцию второго порядка от трех переменных
ax2+ by2 + cz2 + 2fyz+ 2gzx+ 2hxy
можно записать также в следующем виде:
Так как переменные появляются только в скобках, а каждая скобка возведена в квадрат, сразу ясно, что исходное выражение положительно для всех действительных значений переменных, если коэффициенты при всех скобках положительны, и отрицательным, если все соответствующие коэффициенты отрицательны. Эти коэффициенты являются отношениями определителей
Таким образом, исходное выражение будет всегда положительным, если все три определителя положительны; оно будет всегда отрицательным, если первый и третий определители отрицательны, а второй положителен.
(2) Такое же утверждение можно установить для произвольного числа переменных [См.: Burnside and Panto n. Theory of Equations, vol. II, p. 181-182. (По этим вопросам см. также: Р. Беллман. Введение в теорию матриц, гл. 5. М., 1976. - Прим. перев.)]. Квадратичная форма общего вида
a11x21+ a22x22+...+ annx2n + 2a12x1x2+ 2a13x1x3+...+ 2а23x2x3+...
будет положительно определена для всех действительных значений х, если определители
все положительны; она будет отрицательно определена, если они отрицательны и положительны попеременно.
(3) Когда требуется найти условия, при которых рассмотренная выше квадратичная форма положительно или отрицательно определена не для всех значений переменных, а только удовлетворяющих линейному ограничению
b1x1+ b2x2+ ...+ bnxn = 0,
то мы можем двигаться дальше, удалив одну из переменных, например, x1. Квадратичная форма тогда примет следующий вид:
c22x22 + c33x32 + ...+ cnnxn2 + 2с23x2x3+ ...,
где
Теперь искомые условия можно тогда записать в той же форме, что и в пункте (2) выше - с с вместо а; их можно упростить, умножить каждый определитель на отрицательную величину (-У). Например:
что получается при добавлении первых двух столбцов с соответствующими множителями к каждому из оставшихся столбцов.
Таким образом, условие, согласно которому квадратичная форма положительно определена при линейном ограничении, состоит в том, что определители
должны быть все отрицательны (так как отрицательный множитель -b12 изменит все знаки); условие, согласно которому она отрицательно определена, состоит в том, что определители должны быть положительными и отрицательными попеременно.
Это все, что нам нужно из чисто математических основ; теперь обратимся к экономике.
Приложение к главе I
3. Равновесие потребителя. Мы начинаем с рассмотрения поведения индивида, который располагает фиксированной суммой денег М для расходов (назовем эту сумму условно его «доходом») и имеет возможность потратить эту сумму на n различных товаров. Цены этих n товаров заданы рынком. Обозначим эти цены как p1, p2, р3, ... рn. Обозначим через x1, x2, х3, ... xn количества соответствующих товаров, которые индивид покупает.
Тогда, при условии, что он потратит весь свой доход, мы получим:
Предположим пока, что потребности индивида выражаются известной функцией полезности u (x1, х2, х3,... xn). Количество закупленных товаров будет определено из условия, согласно которому и максимальна при соблюдении (3.1). Это количество можно найти, вводя множитель Лагранжа р, и максимизируя выражение:
Условия равновесия потребителя состоят, следовательно, в том. что
где ur - вписано вместо θu/θxr - предельной полезности xr. Таким образом, полученное уравнение выражает равенство между предельной полезностью xr и ценой xr, умноженной на μ (последний множитель связывается с маршаллианским понятием предельной полезности).
Если избавиться от μ в уравнениях (3.2), то они сводятся к виду:
Эти n-1 уравнение вместе с уравнением (3.1) дают n уравнений для определения n количеств: х1, х2, ..., xn.
4. Условия стабильности. Чтобы функция u действительно имела максимум, необходимо, чтобы выполнялось не только du=0 (как показано выше), но и d2u<0. Раскрывая эти выражения и обозначая как urs вторые частные производные (так же как и ur-первые), получим:
Последнее выражение является квадратичной формой, подобной той, что мы рассмотрели в § 2 (так как usr=urs); следовательно, условие, согласно которому d2u<0 для всех значений dx1, dx2, ..., dxn, таких, что du=0 [Имеется в виду, что изменения х не должны приводить к нарушению бюджетного ограничения (3.1), т. е. Σ prdxr=0. Отсюда, с учетом (3.2), получаем, что du=Σurdxr=0. - Прим. перев.], состоит в том, что определители
должны быть положительными и отрицательными попеременно.
Эти определители будут играть чрезвычайно важную роль в нашем последующем анализе. Я обозначу последний из них как U, а алгебраические дополнения элементов ur, us, urr, urs в U - как Ur, Us, Urr, Urs. Так как n товаров могут быть взяты в любом порядке, то из (4.1) непосредственно следует, что Urr/U должно быть отрицательным.
5. Ординалистский характер полезности. Условия равновесия и условия стабильности для индивидуального потребителя соответствуют предположению, что существует определенная функция полезности и. Это в действительности самый удобный способ записи таких условий. Важно лишь отметить, что они не зависят от существования какой-либо единственной функции полезности. Так, предположим, что функция полезности и заменяется на любую произвольную функцию от себя самой φ (u). Тогда можно показать, что при соблюдении единственного условия, согласно которому функция φ (u) возрастает с ростом u (т. е. при условии, что φ '(u) положительна), условия равновесия и условия стабильности при замене функции полезности никак не изменяется.
Так как j/jxr φ (u) = φ '(u) ur то условия равновесия (3.3) останутся неизменными. Равные друг другу отношения просто помножаются на общий множитель φ '(u), который можно сократить. (Даже если они записаны в виде (3.2), они все же не изменяются, если μ заменить на φ '(u) μ. Так как μ - произвольно, то такая замена обоснованна.)
Так как (δ2/ δ xr δ xs) φ (u) =φ '(u) urs+ φ ''(u) ur us то определители из условий устойчивости преобразуются аналогичным образом.
Первый определитель превращается в
подобное преобразование можно произвести с каждым определителем в данной последовательности, r-ый определитель имеет (r+ 2) строк и столбцов; следовательно его придется помножить на множитель {φ '(u)} r+2. Так как φ '(u) предполагается положительной, ни один из определителей с введением такого множителя не изменит знак; так как именно знаки определителей связаны со стабильностью, можно считать, что соответствующие условия не изменились при замене и на φ (u).
Таким образом, если мы решим начать (что, я считаю, нам и следует сделать) не с данной функции полезности, а с данной шкалы предпочтений, нам придется лишь сосредоточить внимание на тех свойствах функций полезности, которые инвариантны относительно замены u на φ (u). Исходные условия равновесия и исходные условия стабильности, как было показано, инвариантны относительно такой замены. В остальном наша теория стоимости будет разрабатываться с использованием только инвариантных свойств, хотя, как правило, я буду оставлять возможность самому читателю проверить инвариантность.
6. Влияние увеличения дохода на спрос. Преобразуем уравнения (3.1) и (3.2), записав их в форме:
Возьмем частную производную по М:
Решая, получим
Из (6.1) находим: ps=us/μ, так что это можно записать в виде:
О знаке Ur ничего не известно, следовательно, δxr/δМ может быть как положительным, так и отрицательным. (См. гл. II.)
7. Последствия изменения цены при постоянном уровне дохода. Предположим теперь, что рг меняется, а остальные цены (а также М) неизменны. Из (6.1) имеем:
Решая и упрощая, как и прежде, получим:
Используя (6.3), это можно записать в виде:
Это уравнение, полученное первоначально Слуцким, можно считать Основным Уравнением Теории Стоимости. Она показывает, как изменение цены товара xr воздействует на спрос индивида на другой товар (хs); это воздействие состоит из двух частей, которые мы назвали эффектом дохода и эффектом замещения соответственно. Так как xr=dM/dpr (если М не фиксировано, а все х и все прочие р фиксированы), то из уравнения следует, что член, соответствующий эффекту замещения, выражает воздействие на спрос на товар xs изменения цены xr совместно с таким изменением дохода, которое позволило бы потребителю при желании купить то же самое количество товара, что и раньше, несмотря на изменение рr. Очевидно, что изменение дохода будет тем меньше, чем меньшую роль играет xr в бюджете потребителя.
Полагая, что r=s (а у нас нет причин, которые не позволяли бы нам так считать), то же уравнение можно использовать для разделения воздействия цены хr на спрос на сам товар xr. Уравнение примет тогда вид:
Из условий стабильности непосредственно следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения, должен быть отрицательным.
8. Свойства члена, соответствующего эффекту замещения. В остальном теория спроса состоит по большей части из выявления свойств этого фундаментального уравнения. Прежде всего, удобнее переписать его в другой форме. Член μ Urs/U, соответствующий эффекту замещения, в действительности инвариантен относительно замены u на φ (u) в качестве функции полезности, следовательно, лучше записать его в такой форме, при которой уравнение не будет иметь прямой связи с определенной функцией полезности. Поэтому я буду писать его в нейтральной форме (xrs), так что уравнения будут иметь вид:
Это как раз такая форма, в которой нам будет наиболее удобно использовать уравнение в дальнейшем [С некоторых точек зрения (я думаю, не все так считают) есть определенный смысл в том, чтобы выражать фундаментальное уравнение в форме эластичностей, что нетрудно сделать, домножив уравнение на pr/xs, и сгруппировав полученные выражения в элементы, не зависящие от единиц измерения. В моей французской брошюре La Theorie mathematiqae de la Valeur (Hermann 1937) изложены по большей части последующие рассуждения, с использованием представления в форме эластичностей. Таким образом, читатель сам может сделать выбор.].
Два свойства члена уравнения, соответствующего эффекту замещения, сразу следуют из того, что уже сказано. Вначале я выпишу эти свойства, а потом выведу и некоторые другие.
(1) Так как оба определителя Urs и U симметричны по r и s, то xrs тоже симметричен. Это означает, что xsr=xrs. Таким образом, члены, соответствующие эффекту замещения в δхs/δрr и δхr/δрs, тождественны. Но члены, соответствующие эффекту дохода, вообще говоря, не равны друг другу. Значит, для того чтобы δхs/δрr и δхr/δрs были равны, необходимо равенство xrδхs/δМ и xsδхr/δрr. Это предполагает, что (М/xr) δхr/δМ должно быть равно (М/xs) δхs/δМ, т. е. эластичность спроса на xr и эластичность спроса на xs по отношению к доходу должна быть одинаковой.
(2) Так как Urr/U отрицательно, а μ положительно, то xrr<0.
(3) Выражение
0Ur+ u1U1r+ u2U2r+....+ unUnr
образует определитель, у которого две строки одинаковы; следовательно, оно равно нулю. Но так как usUrs=psμUxrs=psUxrs, то из этого соотношения можно вывести соотношения между х, а именно
.
Следовательно, ΣpsXrs (по всем значениям s, кроме r) = -рrХrr. которое несомненно положительно.
(4) В нашей работе до сих пор использовались лишь два условия стабильности из всего их набора (4.1), причем эти два условия мы свели к одному условию, согласно которому Urr/U отрицательно. Что означают остальные условия стабильности? Пойдем дальше, чтобы ответить на этот вопрос.
Пусть U11, 22-алгебраическое дополнение u22 в U11; U11, 22, 33-алгебраическое дополнение u33 в U11, 22; и т. д. Тогда условия стабильности говорят о том, что
отрицательны и положительны попеременно.
Из хорошо известного свойства обратных определителей [См., например: Вurnside and Pantоn, II, р. 42.] следует, что
будут отрицательными и положительными попеременно.
Но это условие того, что квадратичная форма вида
отрицательна для всех значений z. (См. выше.) Помимо прочих значений, z могут оказаться равными u. Следовательно,
Итак,
для всех значений m, меньших n.
Таким образом, мы получили четыре правила, которым должны подчиняться члены уравнения, выражающие действие эффекта замещения:
для всех значений m, меньших n.
Из второго и третьего правил, взятых вместе, следует, что
а из третьего и четвертого, взятых вместе, - что
Это шестое правило можно выразить и следующим образом. Если разделить n товаров на две группы любым возможным способом и образовать выражение prpsxrs (здесь xr берется из одной группы, а xs - из другой), то Σ Σprpsxrs (где r и s пробегают все возможные значения в своих группах) должно быть положительным.
Насколько я понимаю, это единственно важные правила, которым должно соответствовать количество товаров, приобретенных потребителем на доход. Можно заметить, что правило (2) является частным случаем правила (4), а правило (5)-частным случаем правила (6).
9. Дополняемость. Как и в самом тексте книги, я буду говорить, что два блага Xr и хs являются взаимозаменяемыми с точки зрения определенного потребителя, если для него xrs>0, и взаимодополняемыми, если для него Xrs<0. Из правила (5) сразу следует, что хотя и возможно, чтобы все прочие потребляемые блага были заменителями Хr, но невозможно, чтобы все они были дополняющими по отношению к xr. А из правила (6) следует, что есть еще одно ограничение на распространенность отношений дополняемости. Существует много способов собрать члены, соответствующие эффекту замещения между парами благ, в группы, внутри которых количество пар взаимозаменяемых товаров должно перевешивать количество пар взаимодополняемых товаров. Из группы в n благ можно составить 1/2 n (n-1) различных пар благ; эти 1/2n (n-1) пары можно объединить в группы такого типа
различными способами. 1/2n (n- 1) выражений prpsxrs (r<>s) не обязаны быть все положительными; но существует 2n-1-1 различных наборов этих выражении, суммы которых должны быть положительными. Именно в этом смысле заменяемость является доминирующим отношением в системе в целом.
10. Спрос на группу благ. Нам предстоит рассмотреть еще самое важное применение правила (4). Начнем с того, что из нашего фундаментального уравнения следует, что стоимость приращения спроса на Хs, которое вызвано данным пропорциональным изменением цены Хr, равна
Здесь рrxr - объем расходов на товар xr; ps (δхs/δМ) определяет приращение расходов на товар xs, которое было бы вызвано увеличением дохода потребителя.
Предположим теперь, что цены группы благ x1, x2, ... xm (m Стоимость приращения спроса на всю группу благ определяется дальнейшим суммированием:
Это выражение идентично по форме выражению (10.1); ему можно дать соответствующую интерпретацию. Далее, так как г и s суммируются по одной и той же группе товаров, то из правила (4) следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения в (10.2), обязательно будет отрицательным.
Таким образом, мы математически показали очень важный принцип, часто используемый в самой книге, что, если цены на группу благ изменяются в одной и той же пропорции, эту группу благ можно рассматривать точно так же, как если бы речь шла о единичном товаре.
11. Предложение товаров. Предположим теперь, что индивид выходит на рынок не с данной суммой денег (которая не меняется при изменении цен), а с определенным количеством товара на продажу, так что сумма, которую он сам может израсходовать, зависит от уровня рыночных цен. Чтобы рассмотреть общий случай, предположим, что вначале у него имеется n товаров в количестве x1, x2, ..., xn каждый. В результате торговли он будет увеличивать или уменьшать эти количества таким образом, чтобы получить, как говорилось прежде, предпочитаемый им набор благ х1, x2, ..., хn. Первое из условий равновесия (6.1) примет тогда следующий вид:
Это единственное изменение, которое необходимо внести в данную систему.
Оно сводится к замене М на Σ prx (cp)r, последняя величина теперь зависит от уровня цен. Следовательно, дифференцируя уравнения, мы не можем больше считать,
что δМ/δрr=0, а должны утверждать, что δМ/δрr=x (ср)r. Первое уравнение из (7.1) приобретает тогда вид:
Вместо уравнения (8.1) получим:
Это уравнение отличается от нашего исходного фундаментального уравнения только тем, что его член, соответствующий эффекту дохода, взвешивается чистым приращением блага xr.
12. Рыночный спрос. Одно из самых очевидных достоинств нашего фундаментального уравнения заключается в том, что его можно использовать непосредственно для изучения воздействия, которое изменение цепы оказывает на спрос со стороны группы индивидов. Если суммирование производится по всем членам группы, то получаем:
Член уравнения, соответствующий эффекту дохода, отражает воздействие, которое оказывает на спрос со стороны группы индивидов на товар х увеличение их дохода, если общий прирост дохода распределяется между представителями группы пропорционально их предшествующему чистому спросу на товар xr. Член уравнения, соответствующий эффекту замещения, является просто суммой «индивидуальных» членов, соответствующих эффекту замещения; следовательно, он должен определяться по тем же правилам, по которым определяются его составные части. Если записать член уравнения, соответствующий эффекту замещения для группы индивидов Σxrs в виде Xrs, то получим совершенно аналогичные правила:
Приложение к главе IV
13. Равновесие обмена. Здесь необходимо лишь выразить классические рассуждения Вальраса в наших собственных терминах.
Есть N индивидов, которые выносят на рынок в различных количествах n товаров и обмениваются ими в условиях совершенной конкуренции. Так как мы обозначаем количество r-го товара, находящееся первоначально у представительного индивида, через x (ср)r, а количество товара, которое он оставит у себя после окончания торговли, через xr (xr>x (ср)r, если он является покупателем товара и xr Цены n товаров будем обозначать, как и прежде: p1, р2, ..., рn. Но необходимо помнить, что один из товаров (например, xn) придется принять за масштаб стоимости. Таким образом, рn=1. Остальные цены (p1, р2, ..., pn-1) должны быть определены.
Если система будет находиться в равновесии, то спрос на каждый товар должен равняться его предложению. Следовательно,
Хr=Хr (r= 1, 2, 3,..., n). (13.1)
Тем самым мы получаем n уравнений, соответствующих n товарам; но нам предстоит определить только n-1 цен. Одно уравнение, однако, служит следствием всех остальных. Среди уравнений равновесия для репрезентативного индивида есть такое:
Суммируя эти уравнения по всем индивидам, получим:
Последнее уравнение должно выполняться всегда, независимо от того, выполнятся ли уравнения (13.1). Следовательно, если n-1 уравнение (13.1) выполняется, то должно выполняться и n-е уравнение. Таким образом, у нас есть n-1 уравнение для определения n-1 цены.
Приложение к главе V
14. Стабильность равновесия обмена. Так как значения Хг можно считать постоянными, то условия стабильности обмена можно получить из анализа знака dXr/dpr. Чтобы равновесие было совершенно стабильным, dXr/dpr должно быть отрицательным.
(1) если цены всех прочих, кроме данного, товаров не изменяются,
(2) если ps приводится в соответствие с другими ценами таким образом, что на рынке xs поддерживается равновесие, а цены остальных товаров не меняются.
(3) если ps и pt применяются аналогичным образом и т. д., пока не будут изменены соответствующим образом все цены, за исключением рr (и, конечно, рn
, которая обязательно равна 1).
Так, третье из этих условий предполагает, что dXr/dpr отрицательно, если
Избавившись от dps/dpr и dpt/dpr, получим
Так мы получим одно из выражений, которое должно быть отрицательным, чтобы система оказалась стабильной.
Если рассмотреть все такие условия вместе и учесть, что они должны выполняться для рынка каждого из товаров xr (r=1, 2, 3, ..., n-1), то условиям стабильности можно придать более удобную форму. Необходимо, чтобы якобианы
(для всех значений r, s, t в диапазоне 1, 2, 3, ..., n-1) были отрицательны и положительны попеременно.
15. Мы знаем, что
Таким образом, когда Хrr отрицательно, условия стабильности первого порядка могут не выполняться только в том случае, если значение члена, соответствующего эффекту дохода в приведенном выше выражении, велико и положительно. Но если приведенную выше формулу применить к группе индивидов (ко всему рынку в целом, т. е. к продавцам и покупателям вместе), то член уравнения, соответствующий эффекту дохода, обнаружит одно своеобразное свойство. Если количество товара δхr/δМ (т. е. приращение xr), которое будет куплено в результате данного повышения дохода, окажется одинаковым для всех агентов рынка, то член уравнения, соответствующий эффекту дохода, примет вид: (Х (ср) r-Хr) (δхr/δМ). Так как для состояния равновесия Хr=Х (ср)
r, то член уравнения, соответствующий эффекту дохода, будет равен нулю. Следовательно, значение члена уравнения, соответствующего эффекту дохода, будет велико, когда покупатели и продавцы реагируют на изменение в уровне дохода совершенно неодинаково. Его значение велико и положительно в том случае, когда продавцы склонны по мере того, как становятся богаче, увеличивать потребление товара Х
r гораздо больше, чем покупатели этого товара в тех же самых обстоятельствах.
Таким образом, подобное значительное различие в поведении покупателей и продавцов является одной из возможных причин нарушения стабильности. Чтобы выяснить, могут ли существовать какие-либо другие причины, предположим, что подобного несоответствия нет ни на одном рынке, так что всеми членами уравнения, соответствующими эффекту дохода, можно пренебречь.
Якобианы устойчивости сводятся тогда к следующему виду:
Про эти определители мы знаем, что первый из них отрицателен. Чтобы рассмотреть определитель второго порядка, преобразуем его, используя правило (3). Будет удобно предположить, что все прочие товары, за исключением Хm и Xs, сгруппированы вместе в составной товар Х0 (мы имеем право это делать, так как данный определитель второго порядка возникает из рассмотрения случаев, когда цены прочих, кроме данного, товаров предполагаются заданными). Используя правило (3) в форме
получим второе условие нестабильности в виде следующего выражения:
Очевидно, что это условие будет удовлетворяться, если все три пары товаров будут взаимозаменяемы; оно будет также выполняться, даже если в системе присутствует определенная дополняемость, при условии, что масштабы этой дополняемости не слишком велики.
Нетрудно с помощью метода индукции показать, что условия и более высокого порядка могут быть представлены аналогичным образом. Следовательно, наши рассуждения сохранят силу и здесь.
16. Последствия расширения спроса. Предположим, что спрос на товар xr немного увеличится. С этим вопросом можно разобраться, как мы делали (см. гл.V), выяснив, какие изменения цен были бы необходимы в старых условиях, чтобы вызвать на рынке товара xr малое превышение предложения над спросом, если предложение остается равным спросу на рынках прочих товаров (за исключением рынка товара xn, принятого за единицу масштаба стоимости, так как спрос на xr расширился за счет спроса на товар xn).
Из условий стабильности с очевидностью следует, что следует предполагать повышение цены товара xr.
Каким будет воздействие на цены прочих товаров, можно понять из анализа уравнений (14.1). Предположим вначале, что влияние повышения цены xr на все прочие цены, за исключением цены товара xs, достаточно мало и его можно не рассматривать. Тогда из второго уравнения (14.1) получаем:
следовательно,
(если членами уравнений, соответствующими эффекту дохода, можно пренебречь). Так как xss отрицательно, то цена товара xs увеличится, если товары xs и xr взаимозаменяемы, и уменьшится, если они взаимодополняемы.
Если переписать эту формулу в виде:
(мы использовали правило (3)), то ps увеличится по сравнению с рr в меньшей степени, за исключением случаев, когда xs и x0 находятся в отношении дополняемости).
Далее, предположим, что цены товаров хs, и xt могут существенно измениться. Тогда из второго и третьего уравнений (14.1) имеем:
(членами уравнений, соответствующими эффекту дохода, мы пренебрегаем). В этом выражении знаменатель положителен, что следует из условий стабильности. Первый член числителя означает, что есть прямое воздействие на цену товара xs, второй член свидетельствует о опосредованном воздействии на цену xs через цену xt. Если товар xt не взаимосвязан с хr и xs, то значение последнего члена будет, как правило, пренебрежимо мало, а формула сведется к более простому виду (см. 16.1). Но если между товарами наблюдается тесная взаимосвязь, то косвенное воздействие повышения цены xr будет осуществляться в соответствии с правилом «замещения взаимозаменяемых товаров (см. гл. V).
17. Возьмем последний якобиан из всего набора определителей стабильности-тот, у которого n-1 строк и столбцов, так что он включает в себя все товары, за исключением товара, принятого за единицу масштаба стоимости, и все переменные цены. Назовем его I. Пусть Irr, Irs - алгебраические дополнения δХr/δрr, δХr/δрs в I. Пусть Irr, ss, Irr, st - алгебраические дополнения δХs/δрs, δХs/δрt в Irr.
Тогда, учитывая косвенное воздействие повышения цены xr через цены всех прочих товаров, получаем (см. 14.1):
Если, пренебрегая эффектом дохода, мы уберем все элементы Хrr, Хss и т. д. при помощи третьего правила, то полученное уравнение можно рассматривать как «преобразование» dXr/dpr в понятия эффектов замещения, действующих между парами товаров Хrs, Хst, где r<>s<>t. Что можно сказать о зависимости уравнения от этих эффектов замещения?
Дифференцируя (17.1) по Хst, где или s, или t (но, как очевидно, не оба вместе) может равняться r, получим:
Из нашего третьего правила следует, что δxss/δxst = -pt/ps, а из хорошо известного свойства обратных определителей - что
Используя эти свойства, мы можем продолжить дифференцирование
что означает обязательный отрицательный результат. dXr/dpr неизбежно отрицательно; следовательно, мы доказали, что абсолютная величина этого выражения будет тем больше, чем больше эффект замещения между любой парой товаров в системе.
Приложение к главе VI
18. Равновесие фирмы. Условия равновесия. Можно считать, что фирма использует различные количества факторов y1, у2, у3, ..., ym для производства различных количеств продуктов xm+1, xm+2, ..., xn. Ее цель состоит в максимизации прибыли:
при условии, что выполняется соотношение, связывающее х и у. Так как с точки зрения фирмы разница между фактором и продуктом-всего лишь разница в знаке, то для простоты мы можем рассматривать факторы как отрицательные продукты, обозначив -yr через xr (r при соблюдении условия f(x1, x2, х3, ..., xn)=0. (Необходимо отметить, что функция f произвольна в том же самом смысле, в каком была произвольна функция полезности u. Любая функция φ (f), которая равна 0, когда f равна 0, годится для анализа наравне с f.)
Если предположить, что фирма находится в условиях совершенной конкуренции, то задачу максимизации можно опять исследовать путем введения множителя Лагранжа и максимизации выражения V-μ f. Отсюда имеем:
d(V-μf)=0
d2(V-μf)<0.
Из первого условия мы получаем: pr=μ fr {r=1, 2, 3, ... ..., re). Если избавиться от μ , то получим n-1 уравнение, которые вместе с производственной функцией определяют n величин x1, х2, ..., Хn.
Так как V линейна, то d2V=0, следовательно, второе условие предполагает, что d2f>0, если df=0.
Преобразуя полученные выражения (так же как и в § 4, но с учетом разницы в знаке), мы получаем аналогичный набор условий стабильности. Все определители
должны быть отрицательными. (См. 2(3).)
Будет удобно использовать обозначения, в точности аналогичные тем, которые мы применяли при рассмотрении теории полезности. Так, если F - последний из данных определителей, то алгебраическое дополнение frs в F
будет обозначаться как Frs. Условие того, что Frr/μ F положительно, инвариантно относительно замены f на φ (f) в качестве производственной функции.
Приложение к главе VII
19. Равновесие фирмы. Воздействие на него изменения цены. Предположим теперь, что цена рr меняется, а цены всех остальных товаров остаются неизменными.
Уравнения равновесия выглядят следующим образом:
Продифференцируем их по:
Из вида определителей стабильности следует, что выражения Frs/μ F будут подчиняться законам, очень похожим на те, которым подчинялись члены уравнений, соответствовавшие эффекту замещения в теории полезности. Если один раз изменить знак, то эти правила можно сделать идентичными. Поэтому обозначим:
Соответственно, получим наше фундаментальное уравнение в виде
и в точности аналогичный набор правил:
Фундаментальное уравнение записано в такой форме, в которой оно выражает воздействие изменения цены (продукта или фактора) на предложение продукта. Чтобы выяснить, каким будет воздействие на величину спроса на фактор, необходимо лишь заменить xs на -ys. Фундаментальное уравнение будет тогда выглядеть следующим образом: σys / σpr = хrs. Наши правила остаются совершенно без изменений.
20. Тенденция к преобладанию отношений дополняемости между факторами. В теории производства, разработанной в двух предыдущих разделах, неявно предполагается, что предприниматель обладает некоторым фиксированным производственным ресурсом, который ограничивает размеры производства и по отношению к которому прибыль V может считаться доходом. Если такого фиксированного ресурса не существует, то у нас нет оснований считать, что одинаковое пропорциональное увеличение всех факторов не позволит увеличить производство всех продуктов в соответствующей пропорции. С математической точки зрения это будет означать, что если f (x1,x2,..., xn)=0
то f(λx1, λх2, ..., λхn)=0
для всех значений λ. Производственная функция (записанная, как мы ее писали, в неявной форме) будет однородной функцией нулевого порядка.
Тогда, по теореме Эйлера, Σxrfr=0. (Так как из 19.1
следует: pr=μfr, предполагается, что V=0.) Дифференцируя еще раз, получим fs+ Σ xrfr, s=0 (s=l, 2, 3, ..., n).
Если использовать эти тождества для преобразования определителей стабильности, то сразу станет ясно (мы умножаем 2-ой, 3-ий, ... столбцы на х1, х2... и складываем их с первым), что F (последний из определителей устойчивости) равен нулю.
Так как х'rs=- Frs/μ F, все члены х' обращаются в бесконечность. Цена одного фактора (или продукта) не может измениться, если не меняются цены других факторов или продуктов, чтобы равновесие не оказалось полностью нарушенным. Если цена продукта растет, объем производства будет бесконечно большим; если же цена фактора растет, его значение станет равным нулю. Для того крайнего случая, который мы рассматриваем наш анализ может оказаться совсем непригодным.
Тем не менее полезно выяснить, чем определяется направление изменения предложения продуктов или спроса на факторы, так как можно ожидать, что соответствующие законы будут верны и тогда, когда мы будем приближаться к рассмотрению крайнего случая, не достигая его. Для ответа на этот вопрос можно вычислить Frs, при условии, что производственная функция однородна в нулевой степени.
Преобразуя этот определитель дважды тем же методом, который мы использовали для преобразования F, получим, что он равен xrxsF0, где F0 - алгебраическое дополнение 0 в определителе F, т. е. главный минор определи теля. Следовательно,
x'rs=-xrxs F0/μ F
для всех значений r и s.
Так как мы знаем, что x'rr отрицательно, то F0/μ F должно быть положительным. Если xr и хs, оба продукты или оба факторы, то xrxs будет положительным, a x'rs, следовательно, отрицательным. Если один из них - продукт, а другой - фактор, то xrxs
отрицательно, a x'rs, следовательно, положительно.
Таким образом, по мере приближения к рассмотрению предельного случая, мы должны полагать, что факторы и продукты распадутся на две взаимодополняемые группы; в то время как «заменяемость», которая тем не менее должна доминировать в системе в целом (в системе факторов и продуктов, взятых вместе), будет обеспечиваться исключительно отношениями фактор - продукт.
Приложение к главе VIII
21. Общее равновесие производства. Теперь необходимо свести воедино все выводы, к которым мы пришли, и использовать их для выяснения вопроса о том, как работает вся статическая система в целом. Мы предполагаем (как и в тексте книги), что индивиды, составляющие экономическую систему, представляют на рынок один (или оба) из ресурсов двух видов: (1) товары или факторы, которые можно непосредственно продавать на рынке, (2) «предпринимательские» ресурсы, которые можно использовать для производства товаров на обмен, но которые сами по себе не могут быть проданы. При любой данной системе цен будут использоваться только те предпринимательские ресурсы, использование которых принесет положительную прибыль.
При данной системе цен будет наблюдаться определенный спрос на товары со стороны потребителей (совокупный потребительский спрос на товар Хr мы обозначим как Хr); будет наблюдаться предложение непосредственно от частных лиц (Xr); и будет наблюдаться предложение только что произведенных товаров (Х'r). Рынок товара Хr будет находиться в равновесии, если
Хr=Х(ср) r+Х'r. (21.1)
Необходимо отметить, что это уравнение записано и самом общем виде; оно может использоваться по отношению к товару, услуге, продукту или фактору. Если Хr - товар конечного потребления, предложение которого целиком обусловлено производством, то Хr=0 и уравнение приобретает вид:
Xr=X'r
Если этот фактор производства (такой как труд), то Х'r отрицательно. Хг включает в себя спрос па прямые услуги фактора, независимо от того, предъявляется он другими людьми или самим поставщиком фактора. (Это, видимо, самый удобный способ учитывать изменения в предложении фактора). Таким образом, уравнение выглядит следующим образом:
(-Х'r)+Хr =Х(ср) r.
Если Хr - полуфабрикат, который производится и потребляется в ходе производства, но продается одной фирмой другой фирме, то только по этой причине X, и Х(ср)=0 и уравнение принимает вид: x'r=0.
(Чистое предложение всех фирм, взятых вместе, равно нулю.)
Таким образом, уравнение одного и того же вида подходит для всех товаров и услуг. Как и прежде, один из товаров должен служить масштабом измерения стоимости; так что если имеется всего n товаров, то необходимо определить n-1 цен. Как и прежде, одно уравнение следует из остальных. Среди уравнений, задающих условия равновесия частного лица, имеется следующее:
где V - прибыль, которую оно получает от обладания каким-либо предпринимательским ресурсом. Суммируя ато по всем индивидам, получаем:
где Σ V - общая сумма прибыли для всей экономики. Аналогично, для каждой фирмы:
Σ prxr =V
Суммируя эти уравнения, получаем:
следовательно:
Таким образом, если уравнения равновесия (21.1) выполняются для n-1 товаров, то они должны выполняться и для n-го товара. Есть только n-1 независимое уравнение, и система не является переопределенной.
22. Стабильность общего равновесия. Как и в равновесии обмена, для обеспечения стабильности необходимо, чтобы падение цены на любом рынке делало спрос большим, чем предложение. Чтобы стабильность была совершенной, это условие должно выполняться, если (1) .цены всех прочих товаров постоянны, (2) цены меняются одна за другой таким образом, чтобы поддерживалось равновесие на остальных рынках. Для несовершенной стабильности необходимо, чтобы это условие выполнялось и после изменения всех прочих цен.
Данное условие можно записать в виде: d/dpr (Xr-Xr-x'r) < 0. Но так как Xr можно считать заданным независимо от уровня цен, оно сводится к выражению:
Это выражение можно раскрыть, как и в разделе 14. Оно превратится в отношение двух определителей, типичный элемент которых будет выглядеть как
Мы знаем, как преобразовать последнее выражение. Из (12.1) следует:
(с учетом изменения V при изменении pr).
Из (19.4) следует, что δxs/δpr=-x'rs для каждой фирмы; таким образом, суммируя, мы получим δXs/δpr=-X'rs, где X'rs должно изменяться как и Xrs.
Следовательно, δ/ δpr (Xs-X's)= Σ (x(ср) r+x'r-xr) δxs/δM+ Xrs+X'rs. Так как движение Xrs и X'rs подчиняется одним и тем же правилам, то и движение Xrs+X'rs должно подчиняться тем же правилам.
Таким образом, выражение δ/ δpr (Xs-X's) изменяется так же, как и выражение δxs/δpr, которое мы рассматривали в теории обмена. Следовательно, дальнейший анализ общего равновесия производства совпадает с анализом общего равновесия обмена; все выводы разделов 15-17 можно интерпретировать в более широком смысле.
Приложение к главе XV.
23. Определение плана производства. Продолжим рассматривать факторы как отрицательные продукты, как это было удобно делать в теории статики. В динамике задача, стоящая перед фирмой, заключается в том, чтобы определить поток выпускаемых продуктов, который может быть произведен на имеющемся оборудовании и который будет обладать максимальной дисконтированной стоимостью (см. гл. XV). Если мы обозначим через xr0, xr1,..., xrv количества товара xr, которые планируется продавать в каждую последующую «неделю», начиная с нынешней, то производственная функция примет вид f(x10, x20, ..., Хn0, х11, х21, ..., xn1, x12, x22, ..., хn2, ..., x1v, x2v, ..., xnv) =0, если считать, что план распространяется вперед на v недель.
Дисконтированная стоимость плана равна
где Βt=l/(l+it), a it-ставка процента (в неделю) для ссуд сроком на t недель; рro - текущая цена xr и prt - цена, которая, как считает предприниматель, установится через t недель. (Необходимо считать, что в prt учитывается риск таким образом, как это описано в тексте в гл. XV, раздел 6.)
С точки зрения индивидуального предпринимателя, в условиях совершенной конкуренции все бета и все р заданы; следовательно, несмотря на то, что эта задача кажется более сложной, с формальной точки зрения она тождественна задаче, рассмотренной в разделе 18. Нет необходимости выписывать полностью условия равновесия. Законы, показывающие, каким образом будет устанавливаться соответствие между планом производства и фактическими или ожидаемыми ценами, аналогичны тем, которые получены в разделе 19. Но при записи шести правил, которым должны удовлетворять члены уравнения, соответствующие эффекту замещения, мы должны не забыть заменить pr на Β ttp
rt и провести суммирование не только по всем r, но и по всем t.
24. Воздействие процента на план производства. Изучая воздействие изменений процента на план (при условии, что цены и ценовые ожидания заданы), удобно воспользоваться тем свойством, что все продукты, для которых дисконтированные отношения цен в рамках данной задачи можно считать заданными, можно рассматривать как один продукт. Следовательно, мы можем теперь не различать типы продуктов (и факторов), планируемых на определенную неделю, а также отказаться от учета в наших формулах цен в явном виде. Начиная с данного момента Xt будет обозначать ожидаемую денежную оценку всех факторов и продуктов, взятых вместе, которые планируются на неделю, начинающуюся через t недель - иными словами, прибыль, планируемую на рассматриваемую неделю.
Приняв это упрощение, можно сказать, что предприниматель стремится максимизировать
при условии, что f(x0, x1, .... хv) =0.
Воздействие на прибыль xt изменения ставки процента по ссудам на t' недель будет задаваться выражением
в то время как среди шести правил, которым должны подчиняться х, имеется правило (3), согласно которому
Чтобы выяснить, каким будет воздействие на прибыль xt общего изменения процентных ставок, обратим внимание на то, что
и, следовательно,
Таким образом, если дисконтирующие отношения (Р) для ссуд на все периоды изменяются в одинаковой пропорции, то соответствующее воздействие на xt определяется выражением:
если ставки процента в неделю для ссуд на все периоды равны и таким образом дисконтирующие множители также равны.
Используя (24.1), это выражение можно записать в виде:
Если последнее выражение выписать полностью, станет ясно, что его член с х'tt равен нулю. Но именно х'tt в соответствии с правилом (2) должен быть непременно отрицательным; если взаимодополняемости нет, то все остальные x'tt будут положительными. Это означает, что если ставка процента падает (р растет), то будет наблюдаться замещение всех прибылей, получаемых прежде xt, прибылью xt, и замещение прибыли xt всеми прибылями, получаемыми позднее xt. Это обычное правило, на дело может осложняться при существовании дополняемости.
25. Средний период плана. Как и в главе XVII, мы определяем соответствующий средний период следующим: образом:
следовательно,
Дифференцируя по р, но считая р' постоянным в соответствии с известным правилом, получим:
следовательно,
(так как если А=В, то они оба равны - (А+В).)
В последнем выражении опять все члены с t=t' автоматически можно считать равными нулю. Следовательно, если дополняемости нет, все оставшиеся х'tt' будут положительными, и все выражение окажется положительным. Падение ставки процента должно увеличивать продолжительность среднего периода плана. Даже если есть отношения дополняемости, остается шестое правило, согласно которому Σ Σ Βt+t'xtt' >0 при t<>t'; следовательно, dP/dΒ может быть отрицательным, только если дополняющие пары таковы, что (t-t')2 для них велико. Это означает, что взаимодополняемые значения прибыли находятся на противоположных концах плана. Я думаю, что этот случай можно рассматривать только в качестве любопытного исключения.