Пропускная способность канала
1. Задание
2. Введение
3. Теоретическая часть
4. Практическая часть
5. Заключение
6. Литература
Задание.
В канале действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение сигнал/шум (Pc/Pш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; Vк=8*103 сим/с.
Рассчитать:
1) Изменение пропускной способности канала.
2) Изменение избыточности ? двоичного кода, необходимой для сведения ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.
Построить графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и ?= f(Pc/Pш).
Введение.
Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум. Можно определить пропускную способность С канала в расчете на один символ
Ссимвол=maxI(A,B),бит/символ
или в расчете на единицу времени (например, на секунду):
С=maxI’(A,B)=? Ссимвол, биит/с.
В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в расчете на единицу времени.
С=Fklog2(1+Pc/Pш),
А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации воспользуемся теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет выполняться, то избыточность ? будет равняться 0, значит информация передаётся без потерь. Если нет, то ? будет больше нуля (?>0). Т.е. чем меньше величина ?, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.
Теоретическая часть.
Пропускная способность канала связи.
В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяется по формуле:
I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А). (1)
Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рис. 1.
Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами
Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.
Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может характеризовать канал как средство передачи информации.
Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени ? символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации
I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A), (2)
где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от источника сигнала, так и от канала.
Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от различных источников информации с различными распределениями P(A). Для каждого источника I(A,B) примет свое значение. Максимальное количество информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:
бит/символ,
где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей Р(А).
Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу времени:
бит/с, (3)
где v - количество символов, переданное в секунду.
В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода - p.
Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти
Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: Ссим=max(H(B)-H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу. Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов - m*(m-1). Отсюда следует, что:
.
Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в ансамбле А, а определяется только переходными вероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.
Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:
. (4)
Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:
. (5)
Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в двоичных единицах в единицу времени
С=?[1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)] (6)
Зависимость С/? от р согласно (6) показана на рис.3
рис.3 Зависимость пропускной способности двоичного симметричного канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.
При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала.
Пропускная способность непрерывного канала связи.
Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала. Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС канала равна сумме ПС на один такой отсчет:
, (7)
где U - переданный сигнал; Z - сигнал на выходе канала с наложенными на него шумами; N - шум; Z=U+N.
Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:
.
Отсюда следует:
.
ПС в расчете на секунду будет равна:
, (8)
поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.
Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, что плотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному закону.
Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и отношения мощности сигнала к мощности шума.
Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосы пропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю спектральную мощность N0. Имеем Рш=N0F; поэтому
С=F*log(1+ Pc/N0*F )=F*loge*ln(1+Pc/N0*F) (9)
При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:
C?=Lim(Pc/N0)*loge (10)
Результат (10) получается очень просто, если учесть, что при |?|<<1 ln(1+?)??. Зависимость С и F показана на рис.4.
F N0/Pc
рис.4 Зависимость нормированной пропускной способности гауссовского канала от его полосы пропускания.
Теорема кодирования для канала с помехами.
Это основная теорема кодирования К. Шеннона. Применительно к дискретному источнику информации она формулируется так:
Теорема. Если производительность источника сообщений H’(A) меньше пропускной способности канала С: H’(A)<С, то существует такой способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе), при котором вероятность ошибочного декодирования и ненадежность канала H(A|A*) могут быть сколь угодно малы. Если же H’(A)>С, то таких способов кодирования и декодирования не существует.
Модель:
Н(А) Н’(В)
Н’(А)<с
Если же Н’(А)>с, то такого кода не существует.
Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.
Н’(А)< Н’(В)
Н’(В)=VkH
Декодер выдаёт на код каналов Vk символов в секунду. Если в канале потерь нет, то Vk=с.
При Н<1 будет тратится больше одного бита на символ, значит появляется избыточность, т.е. не все символы несут полезную информацию.
Делаем вывод, что смысл теоремы Шеннона заключается в том, что при H’(A)>С невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если же H’(A)<С, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине. Таким образом, величина С - это предельное значение скорости безошибочной передачи информации по каналу
Практическая часть.
Пропускная способность гауссовского канала определяется [1, стр.118]:
.
Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15 дБ. Поэтому С также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ с шагом 1 дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что в формуле отношение С/Ш - Pc/Pш - дано в разах, поэтому данные в дБ необходимо пересчитать в разы: ; отсюда .
С помощью программы MathCAD получили результаты подсчётов:
С1=1,246*104 бит/с
С2=1,197*104 бит/с
С3=1,147*104 бит/с
С4=1,098*104 бит/с
С5=1,048*104 бит/с
С6=9,987*103 бит/с
С7=9,495*103 бит/с
С8=9,003*103 бит/с
С9=8,514*103 бит/с
С10=8,026*103 бит/с
С11=7,542*103 бит/с
Производительность кодера H’(B)=vк*H(B) должна быть меньше пропускной способности канала С, иначе неизбежны потери информации в канале. Максимальное значение энтропии двоичного кодера Hmax=H(B)=log2=1 бит. Если С уменьшается, то для избежания потерь информации можно уменьшать H(B) так, чтобы H’(B) оставалась все время меньше С. Если же H(B)<1, это означает, что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга, т.е. используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кода вычисляется по формуле:
. (11)
Итак, пропускная способность канала С определяет предельное значение производительности кодера H’(B): H’(B)
По условию Vk=8*103 сим/с
В численном виде это выглядит так:
С/Vk1=1,558 бит/сим
С/Vk 2=1,496 бит/сим
С/Vk 3=1,434 бит/сим
С/Vk 4=1,372 бит/сим
С/Vk 5=1,31 бит/сим
С/Vk 6=1,248 бит/сим
С/Vk 7=1,187 бит/сим
С/Vk 8=1,125 бит/сим
С/Vk 9=1,064 бит/сим
С/Vk 10=1,003 бит/сим
В этих случаях энтропию Н(В) можно брать любой, вплоть до максимальной (Hmax=1 бит/сим).
С/Vk 11=0,943 бит/сим
Т.к. в 11-ом случае условие H’(B)
?=0,057
Чтобы было более наглядно, построим графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и ?= f(Pc/Pш).
График зависимости с=f(Pc/Pш) :
График зависимости ?= f(Pc/Pш).
Заключение.
В результате проведённой работы, мы можем сделать вывод, что с уменьшением отношения сигнал/шум пропускная способность канала также уменьшается, что приводит к потери информации. Для того чтобы избежать возникновение ошибок, мы вводили избыточные символы. Избыточность этого кода ?=0,057.
Сделаем вывод, что в результате проведенного расчета поставленная задача была полностью решена.
Литература.
1. Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др. Теория передачи сигналов. -М.: Радио и Связь, 1986.
2. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.: Радио и связь, 1990.
3. Методическое пособие по курсовой работе ТЭС.
9