Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики
- 1 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение
а) Актуальность темы дипломной работы
б) Цели работы
в) Научная новизна результатов дипломной работы
г) Научная и практическая ценность
д) Вклад автора
е) Реализация
ж) Апробация и публикации
з) Краткое содержание и структура
Глава 1. Физические основы исследуемых процессов
1.1 Электрический колебательный контур
1.2 Опыт Милликена
1.3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии
1.4 Скин-эффект в плоской геометрии
Глава 2. Математические методы исследования физических
процессов
2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений
2.2 Задача Коши.(Метод Рунге-Кутты 2-го порядка
2.3 Метод Рунге-Кутты 4 порядка
2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя
2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина
- 2 -
Глава 3. Использование ЭВМ в учебном процессе
3.1 Роль ЭВМ в обучении физики
3.2 Методы использования ЭВМ в обучении
3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ
3.4 Краткое описание программ
Заключение
Приложения
Литература
ш2.0
- 3 -
2Введение
_ 1Актуальность темы дипломной работы
Дипломная работа посвящена разработке демонстрационных прог-
рамм для применения в процессе преподавания физики как в школах и
среднеспециальных учебных заведениях, так и в высших учебных за-
ведениях.
Насыщенность школ современной вычислительной техникой еще не
приводит к большим переменам в образовании, если учитель не под-
готовлен ни психологически, ни профессионально к внедрению ЭВМ в
его жизнь.
В настоящее время накоплен большой опыт применения вычисли-
тельной техники в физических исследованиях, выработаны общие ме-
тодические подходы решения основных физических проблем и можно
констатировать факт, что сложился новый предмет - вычислительная
физика, которая составной частью современной физики наряду с об-
щей физикой и теоретической физикой и входит в стандарт образова-
ния по физики.
Основным методом исследования вычислительной физики является
компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит ма-
тематическое моделирование, а экспериментальной базой - ЭВМ.
Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как
теоретическая физика, численный анализ и программирование.
На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень мно-
гие важные явления и опыты не могут быть реализованы в виде де-
монстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от препо-
давателя больших "художественных возможностей". Именно поэтому
- 4 -
появилась тенденция создания компьютерных программ для моделиро-
вания подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель, заранее по-
добрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать
все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу вре-
мени на приемлемое изображение установки, самого эксперимента,
сопутствующих графиков.
Кроме того, такие программы могут быть также 2 0 использованы в
лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уров-
ня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для
самостоятельного изучения материала.
_ 1Целями дипломной работы являлись
- исследование моделируемых процессов на предмет получения
конечных аналитических решений, пригодных для создания на их ос-
нове демонстрационных программ, а в случае их отсутствия построе-
ние алгоритмов решения на основе численных методов;
- создание демонстрационных программ на основе полученных ре-
шений;
- создания лабораторных работ на основе разработанных прог-
рамм и ряда разноуровневых заданий к ним;
- апробация созданных лабораторных работ 2 0на 2 0 физическом фа-
культете ТГПУ им. Л. Н. Толстого в курсе методики преподавания
физики;
_ 1Научная новизна результатов дипломной работы
В работе впервые:
- Созданы демонстрационные программы для моделирования: про-
цессов в электрическом колебательном контуре, опыта Милликена,
- 5 -
скин-эффекта;
- Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций
Кельвина;
- Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении
для скин-эффекта;
- Показано, что в электрическом колебательном контуре на гра-
фике зависимости энергии от времени существуют плато, соответс-
твующее нулевому току и проведена аналогия с механическими коле-
баниями;
_ 1Научная и практическая ценность
В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов
и создан ряд моделирующих программ.
Как теоретические результаты, так и компьютерные программы
дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания
физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изу-
чении данного материала.
_ 1Вклад автора
В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполнен-
ных совместно с научным руководителем, автором внесен должный
вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретичес-
кий анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов.
_ 1Реализация результатов работы
Полученные в результате теоретического анализа аналитические
решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ
для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих под управле-
- 6 -
нием:
- MS-DOC версии 5.0 и последующих;
- MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11 (RUS).
Программы реализованы с помощью компиляторов:
- Turbo Pascal 6.0;
- Turbo Pascal 7.0;
и при использовании графических пакетов:
- BGI (Borland International)
- Дизайнер.
Демонстрационные программы используются в курсе преподава-
ния физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого и могут
быть использованы в других учебных заведениях.
_ 1Апробация и публикации. 0
Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах док-
ладов 3 Всероссийского (с участием стран СНГ) совещания-семинара
"Применение средств вычислительной техники в учебном процессе", изд-во
УГТУ, Ульяновск 1995 г. [23]
Материалы работы докладывались и обсуждались также на студен-
ческих научных конференциях в ТГПУ [24].
_ 1Краткое содержание и структура
Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав,
приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописного текста,
12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименова-
ния.
Во _Введении. обосновывается актуальность работы, формулируется
ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и пере-
- 7 -
числяются результаты, являющиеся новыми. Кроме того говорится о
реализации и апробации проделанной работы.
_Глава 1. дипломной работы посвящена теоретическому исследова-
нию моделируемых процессов.
_Глава 2. посвящена описанию математических методов, необходи-
мых для теоретического исследования и моделирования.
В _ Главе 3. рассматриваются методические вопросы, касающиеся
как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно
применение разработанных программ.
_Заключение. посвящено подведению итогов проделанной работы.
В _ Приложении. приводятся необходимые схемы, рисунки и графики.
ш2.0
- 8 -
_ 2Глава 1
1Физические основы исследуемых процессов
1 0 11.1 0 1Электрический колебательный контур.
Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в
общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопро-
тивления нагрузки R (см. рис. 1). Процессы происходящие в такой
системе описываются дифференциальным уравнением вида:
Ф-
ш1.0
d 52 0q 7 0 dq
????? + 2 7d 0???? + 7 w 40 52 0q = 0 (1.1.1)
dt 52 0 7 0 dt
где
R 1 dq
2 7d 0= 7 0??? ; 7 w 40 52 0 = ???? ; I = - ????.
L LC dt
Начальные условия: q? =q 40 0 ; I? =I 40 0.
?t=0 4 0 ?t=0
Энергия колебательного контура определяется выражением:
q 52 0 LI 52
W = ???? + ?????. (1.1.2)
2C 2
ш2.0
Ф+
Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами. Колебания, описываемые ли-
нейными дифференциальными уравнениями, называются линейными ко-
лебаниями, а соответствующие колебательные системы - линейными
- 9 -
ш1.0
системами. Уравнение (1.1.1) имеет следующие решения[18]:
Ф-
ш1.0
7|\\\\\\\\\
1) 7 w 40 0 > 7d 4, 7 W 0 = 7? w 40 52 7 0+ 7d 52 0 - слабое затухание
4- 7в 4t 7 0 7d
q = e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t)); A=q 40 0;B= ??? q 40;
7W
4- 7в 4t 0 4- 7в 4t
q'= - 7d 0e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t))+ e 4 0(A 7W 0Cos( 7W 0t) + B 7W 0Sin( 7W 0t))
7|\\\\\\\\
7/ 0 7d 52 4 - 7в 4t
q=q 40 7 / 0 1+ ???? e 7 0Cos( 7W 0t- 7f 40 0); (1.1.3)
7? 0 7W 52
7d
где tg 7f 40 0 = ??? - сдвиг фаз;
7W
7( 0 7d 52 0 7) 4- 7в 4t
I = q 40 7* 01 + 7 0???? 78 0 7W 0e 7 0Sin( 7W 0t) (1.1.4)
79 0 7W 52 0 70
Частный случай: R=0 и 7d 0=0 (гармонические колебания)
q = q 40 0Cos( 7w 40 0t) (1.1.5)
I = q 40 7w 40 0Sin( 7w 40 0t) (1.1.6)
2) Критический режим: 7 цw 40 0= 7d
1 R 52 0 4L
???? = ????? 5 ????? 0> R 52 0 = ????
LC 4L 52 0 C
4- 7в 4t
q = q 40 0e 7 0( 7d 0t + 1) (1.1.7)
4- 7в 4t
I = q 40 0e 7 d 52 0t (1.1.8)
- 10 -
ш1.0
3) Сильное затухание:
q 52 7 ( 0 7 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)
q = ???? 7 * 0( 7W 0 + 7d 0)e 7 0 7 0 + ( 7W 0 - 7d 0)e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.9)
2 7W 9 0 70
q 52 7w 40 52 0 7( 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)
I = ??????? 7 * 0e 7 0 7 0 + e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.10)
2 7W 0 79 0 70
ш2.0
На рис. 12 показаны зависимости q(t), I(t), W(t), причем на
последней хорошо заметно _плато., соответствующие нулевому току,
при котором в системе не происходит потерь энергии.
ш2.0
- 11 -
1 0 11.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.
Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) - американский физик (с
1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую извест-
ность за ряд опытов, направленных на установление дискретности
электрического заряда и определение заряда электрона с высокой
точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии.
Также известны его работы, направленные на экспериментальное
подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы
по определению численного значения постоянной Планка.
Классические опыты Милликена направлены на прямое доказатель-
ство дискретности электрического заряда и определение элементар-
ного электрического заряда.
Экспериментальный метод, примененный Милликеном, заключался
в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек мас-
ла[14,19].Представим себе такую капельку между обкладками гори-
зонтально расположенного конденсатора(рис.2).Если к пластинам
конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно
падать. Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно,
так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, оп-
ределяемой законом Стокса, и силой Архимеда.
Ф-
ш1.0
76 6 6
F 4st 0+G+F 4арх 0=0 (1.2.1)
F 4st 0=G-F 4арх 0 (1.2.2)
F 4st 0=6 7ph 0aV 4G 0, (1.2.3)
G-F 4aрх 0=3 7p 0a 53 0( 7r 4k 0- 7r 0)g/4, (1.2.4)
ш2.0
Ф+
где a-радиус капли, 7h 0-вязкость газа, V 4G 0-скорость свободного паде-
ния капли, 7r 4k 0-плотность капли, 7r 0-плотность газа.
- 12 -
Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора прило-
жено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы
капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Ес-
ли через V 4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать:
Ф-
Еq-mg=6 7ph 0aV 4E 0 (1.2.5)
Ф+
где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух
между пластинами конденсатора ( например, при помощи рентгеновс-
ких лучей ), можно изменить заряд капли. Если при этом величину
напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится
и станет равной V 4E1 0.
Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для раз-
ности зарядов (q-заряд до облучения, q 41 0-заряд после облучения):
Ф-
1.0
7p 0(2V 4G 7h 53 0) 51/2
7D 0q=q-q 41 0=9???????????????(V 4E 0-V 4E1 0) (1.2.6)
E(( 7r 4k 0- 7r 0)g) 51/2
ш2.0
Ф+
Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен
проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и
подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который
по его данным оказался равным
e=4.805*10 5-10 0СГСЭ.
Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11,19].
Проведем строгое решение задачи о движении заряженной части-
цы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис.2)
описывается следующим уравнением:
- 13 -
Ф-
ш1.0
76
dV 76 0 7 6 0 76 0 7 0 76
m ???? = F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 + F 4электр 0; (1.2.7)
dt
dV 4x
m ????? = - F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 - F 4электр 0 (1.2.8)
dt
ш2.0
76 0 7 6
где F 4электр 0=qE - сила, действующая на заряженную частицу в
электрическом поле с напряженностью E, причем
E 4x 0= 7+ 0 U/d, 7 0U - напряжение между обкладками конденсатора
d - расстояние между обкладками конденсатора
F 4сопр- 0определяется по закону Стокса (1.2.3), G=mg - сила тяжести
После подстановки и преобразований получим:
ш1.0
dVx 6 7ph 0а Gx F 4арх 0 4 0qE 4x
????? + ?????? Vx = ???? - ?????? + ????? (1.2.9)
dt m m m m
Введем обозначения
ш1.0
9 7h 0 7r 0 7 03qE 4x
7a 0=???????;(1.2.10) 7b 0=g(1- ????);(1.2.11) 7g 0=????????;(1.2.12)
2 7r 4k 0а 52 0 7r 4k 0 4 7r 4k 7p 0a 53
получим
dVx
????? + 7a 0Vx = 7b 0 + 7g 0 (1.2.13)
dt
4- 7a 0t 7b 0+ 7 g
Общее решение этого уравнения: V 4x 7 0= 7 0const e + 7 0??????? (1.2.14)
7a
используя начальное условие
7b 0 + 7g 0 7b 0 + 7g
Vx? =V 40 0 ; 4 0V 40 0 = const + ??????? 7" 0 const = V 40 0 - ??????? (1.2.15)
?t=0 7 0 7a 0 7 0 7a
- 14 -
ш1.0
имеем
7{ 0 7b 0 + 7g 0 7} 0 4- 7a 0t 7b 0 + 7g
V 4x 0 4= 0 72 0 V 40 0 - ??????? 72 0 e 4 0+ ??????? (1.2.16)
7[ 0 7a 0 7 ] 0 7a
4x 0 4t
7! 0 7!
так как 72 4 0dx = 7 2 0 V 4x 0 dt (1.2.17) и x? =0 получим
71 0 71 0 ?t=0
5x 40 0 50
1 7( 0 7 b 0+ 7g 0 7) 4 0 4- 7a 4t 0 7( 0 7 b 0+ 7 g 0 7)
x = - ??? 7 * 0V 40 7 0- 7 0??????? 7 8 0 e + 7 * 0??????? 7 8 0 t (1.2.18)
7a 9 0 7a 0 70 0 7 9 0 7 a 0 7 0
Для создания демонстрационной программы удобнее использовать
формулу не для x, а для 7D 0x,
1 7{ 0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4- 7a 4t 0 7} 0 7 b 0+ 7 g
7D 0x=x-x 40 0= ??? 72 0V 40 0- ??????? 722 0 1 - e 72 0+??????? t (1.2.19)
7a 0 7[ 0 7 a 0 7 ][ 0 7 ] 0 7 a
ш2.0
При q 41 0=n 41 0e 76 g 41 0= 7a 0V 41x 0- 7a 0V 40x 0, а при q 42 0=n 42 0e 76 g 42 0= 7a 0V 42x 0- 7a 0V 40x 0(1.2.20),
где V 40x 0-скорость падения капли до облучения и без напряже-
ния,V 41x 0-скорость падения капли до облучения при наличии по-
ля,V 42x 0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив
(1.2.20) друг на друга получим:
1.0
7g 41 0 V 41x 0 - V 40x 0 q 41
??? 4 0= 4 0??????????? = ???? (1.2.21)
7g 42 0 V 42x 0 - V 40x 0 q 42
ш2.0
Определив из формулы (1.2.16) значения для V 40x 0,V 41x 0,V 42x 0и подста-
вив их в (1.2.21) можно получить отношение q 41 0 к q 42 0и если оно
равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать, что оба
- 15 -
заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электри-
ческому заряду, который по современным данным равен:
e=1.6021892*10 5-19 0Кл.
ш2.0
- 16 -
1 0 11.3 0 1Скин эффект в цилиндрической геометрии.
Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явление затухания
электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую сре-
ду. Переменное во времени электрическое поле 3 0и связанное с ним
магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены
большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщи-
ной 7 d 0, называемом 1 глубиной скин-слоя 0. Происхождение скин-эффекта
объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в
проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компен-
сирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется
у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой про-
водимостью[12,15].
Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s 0, цик-
лической частоты электромагнитного поля 7 w 0, от состояния поверх-
ности. На малых частотах 7 d 0 велика, убывает с ростом частоты и для
металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой
с длинной волны 7 l` 010 5-5 0 см. При еще больших частотах, превышающих
1плазменную частоту 0, в проводниках оказывается возможным распрост-
ранение электромагнитных волн. Их затухание определяется как
внутризонными, так и межзонными электронными переходами.
Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кине-
тического уравнения для носителей заряда с целью определения свя-
зи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наи-
более просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет
место, когда 7 d 0 велика по сравнению с эффективной длиной 7 0 пробега
l электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым
- 17 -
электроном за время 7 t 0 между двумя актами рассеяния( 7t 0-время релак-
сации) либо за период поля 1/ 7w 0 в зависимости от того, какая из
этих величин меньше. В общем случае:
v
l= ????????, (1.3.1)
7t 5-1 0-i 7w
где v-скорость электрона.
Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальный и нели-
нейный.
В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение си-
туации, когда l > 7 d 0; он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых ме-
таллах при низких температурах.
При достаточно высоких значениях напряженности электромагнит-
ного поля, когда параметры среды, например проводимость 7 d 0, начи-
нают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е.
толщина скин-слоя 7 d 0 также начинает зависеть от интенсивности
электромагнитного поля.
Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению
проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный
ток, т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит, вооб-
ще говоря, не только от формы проводника, но и от способа воз-
буждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного маг-
нитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, ког-
да распределение тока можно считать независящим от способа его
возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по
сравнению с его длиной.
При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода
будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое по-
- 18 -
ле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного по-
ля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12].
Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно
прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действи-
тельно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряжен-
ности электрического поля зависит только от времени. Но при таком
граничном условии уравнения
76 6
div E = 0 и rot E = 0 7 0 7 0 (1.3.2)
76
в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const 7 0не зави-
сящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда
следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким
оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному
мгновенному значению переменного тока.[15]
Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Исполь-
зуя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической
системе координат:
ш1.0
76 0 ? 7 ( 0 4 7 ) ( )
76 0 7ч 0B 7ы 0 ? 76 2 01 7 0 7ч 0E 4z 7ч 0E 7f 4 726 2 ч 0E 4r 7 ч 0E 4z 726
rotE=-???? ; ? rotE= 72 0- 7 0???? 4 0- 4 ????? 72 0e 4r 0+ 72 0???? + 4 0???? 72 0e 7f 0+
7ч 0t ? 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2
(1.3.3) ? 7 9 0 4 70 9 0
76 0 ?
76 0 76 ч 0D ? 7 ( 0 7 )
rotH=j+???? ; ? 7 2 01 7 ч 0(rE 7f 0) 7 01 7 ч 0E 4z 7 26
7ч 0t 7я 0 ? 7 0 + 72 0- 7 0?????? 7 0- 4 0- 7 0????? 72 0e 4z 0 (1.3.4)
(1.3.5) ? 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2
Закон Ома ? 7 9 0 7 0
76 0 76 0 ?
j= 7s 0E ? 7 ( 0 4 7 ) ( )
(1.3.6) ? 76 2 01 7 0 7ч 0H 4z 7ч 0H 7f 4 726 2 ч 0H 4r 7 ч 0H 4z 726
? rotH= 72 0- 7 0???? 4 0- 4 ????? 72 0e 4r 0+ 72 0???? + 4 0???? 72 0e 7f 0+
Материальные урав-? 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2
нения ? 7 9 0 4 70 9 0
- 19 -
ш1.0
76 6 0 7) 0 ? 7( 0 7 )
D= 7ee 40 0E 72 0 (1.4.7) ? 72 01 7 ч 0(rH 7f 0) 7 01 7 ч 0H 4z 7 26
76 0 76 0 72 0 ? 7 0+ 72 0- 7 0?????? 7 0- 4 0- 7 0????? 72 0e 4z 0 (1.3.8)
B= 7mm 40 0H 70 0 ? 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2
79 0 7 0
76 0 7 6
76 ч 0H 76 0 76 ч 0E
rotE=- 7mm 40?? 0 (1.3.9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40?? 0 (1.3.10);
7ч 0t 7 0 7 ч 0t
7ч
Из симметрии задачи видно, что ??=0, тогда получим:
7чf
7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 ? 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r
- ??? =- 7mm 40 0??? (1.3.11) ? - ???= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0??? (1.3.12)
7ч 0z 7 ч 0t 7 0 ? 7 ч 0z 7 4 7 ч 0t
?
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 ? 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f
??? - ???=- 7mm 40 0??? (1.2.13) ? ??? - ???= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0???(1.3.14)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t ? 7 ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t
?
1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 ? 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z
- ??????=- 7mm 40 0??? (1.3.15) ? - ??????= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0??? (1.3.16)
r 7ч 0r 7ч 0t ? 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t
Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:
ш1.0
1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 ? 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 )
- ??????= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0??? (а) 72 0 ? - ??????=- 7mm 40 0??? 7 2
r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 ? r 7ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 ? 7 2
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 ? 7ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2
??? - ???=- 7mm 40 0??? (б) 78 0(1)? ??? - ???= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0??? 7 8 0(2)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 ? 7ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 ? 7 2
7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 ? 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2
- ???= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0??? (в) 72 0 ? - ??? =- 7mm 40 0??? 7 2
7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 ? 7ч 0z 7 ч 0t 7 0
?
С компонентами E 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-?С компонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис-
тема описывает скин-эффект. ?тема описывает вихревые токи.
ш2.0
Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-
эффект.
Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле перио-
дически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и
во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических
решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользовать-
ся комплексной показательной функцией, а затем с помощью извест-
- 20 -
ной формулы Эйлера:
ш1.0
4i 7ф
e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17)
ш2.0
перейти к вещественной форме решения.
Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и од-
нородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции:
сумма произвольного числа решений уравнения сама является решени-
ем того же уравнения.
Ищем решение системы (1) в виде:
ш1.0
i 7w 0t 7 ч )
E 4z 0=E 4z 0(r)e ??=i 7w 2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1.3.18)
H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ? ч 2
i 7w 0t => ??=-ik 4z 7 2
E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0
Положим k 4z 0=0 так, как мы ищем колебательное решения, а не
волновое. Кроме того считаем, что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.
Тогда:
?
ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1.3.19) ?
?
? 7s 0 7 ч 0E 4z
7ч 0E 4z 7я 0 ? H 7f 0 = ???????? ????? (1.3.22)
????? = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) ? i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r
7ч 0r ?
?
7ч 0H 7f 0 1 ?
??? + ? H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) ?
7ч 0r r
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Рассмотрим 2 возможных случая:
1) _Снаружи проводника. ( 7s 0=0)
- 21 -
ш1.0
? ?
7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 ? 7ч 0E 4z 0 ? 7 ч 0E 4z
???? + ? ??? = 0 => ? ??? r??? ? = 0 => r??? = const 41
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r r 7 ч 0r? 7 0 7ч 0r ? 7 ч 0r
? ?
7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41
??? 4 0= ?????? => E 4z 0= 72 0 ?????? dr (1.3.24)
7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r
E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25)
ш2.0
Т.к. при r 76$ 0 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0,
следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит от пространственных коор-
динат вокруг проводника.
2) _ Внутри проводника
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Очевидны граничные условия:
ш1.0
I
E 4z 0? =E 4z 0? и H 7f 0? =H 7f 0? = ???
?r=R ?r=R ?r=R ?r=R 2 7p 0R (1.3.27)
Таким образом мы получили уравнение:
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.28)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
где k 52 0=-i 7mm 40 7ws
7ы 0 ? 1 ? 7ч 0E 4z
H 7f 0=? ????? ? ??? (1.3.29)
? i 7mm 40 7w 0 ? 7ч 0r
ш2.0
Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого
записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана ( или
- 22 -
ш2.0
Вебера )[8,18]:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)
Однако N 40 0(x) 76$ 0при x 76 00, поэтому мы вынуждены отбросить это
решение и окончательно записать:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)
Или общее решение:
ш1.0
i 7w 0t
E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)
7|\ 0 1-i 7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\\\
т.к. 7? 0-i=????;k= 7?mm 40 7ws 5 ???? 0;k= ? ????; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7|\ |\ |\
7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02
ш2.0
7d 0 - глубина проникновения.
Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного
аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную
задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной сте-
пенью наглядности.
Вместе с тем хорошо известно, что уравнение вида:
ш1.0
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.33)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d
ш2.0
имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:
- 23 -
ш2.0
E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)
Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем
же соображениям, что и функции Неймана в предыдущем решении.
Это же легко подтвердить из следующих соображений:
ш0.9
7|\ 0 -i 7p 0/4
(1-i)/ 7? 02 7 0=e (1.3.35)
Тогда согласно [8] получим:
-i 7p 0/4
ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36)
ш2.0
Очевидно, что : ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37)
bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)
Очевидно, что общее решение будет иметь вид :
ш0.8
i 7w 0t
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39)
ш1.0
Преобразуем последнее выражение :
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=
? ?
=A?{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}?+
? ?
? ?
+i?{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}?=
? ?
? 7 |\\\\\\\\\\
=A?((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+
?
7|\\\\\\\\\\ 0 ?
+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)?; (1.3.40)
?
bei 40 0(r/ 7d 0)
где tg 7f 0=???????????
ber 40 0(r/ 7d 0)
7|\\\\\\\\\\
E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1.3.41)
- 24 -
ш2.0
Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так
как только такие решения имеют физический смысл. Как было показа-
но выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным
решениям.
ш1.0
7|\\\\\\\\\\
E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42)
7|\\\\\\\\\\
E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.43)
7|\\\\
где 7 f 0 - определяется выше, а 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
ш2.0
Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно
перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.
Окончательно получим :
ш1.0
???????????????????????????????????????????????????????????
? ?
? E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.44) ?
? ?
? ?
? bei 40 0(r/ 7d 0) 7 0 7|\\\\ 0 ?
? где 7 f 0= arctg??????????? ; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7 w 0=2 7pn 0 ?
? ber 40 0(r/ 7d 0) ?
???????????????????????????????????????????????????????????
ш2.0
7n 0 - частота переменного тока
7m 0 - магнитная проницаемость проводника
7m 40 0=4 7p 0*10 5-7 0 Гн/м - магнитная постоянная
7s 0 - проводимость проводника
Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент
времени:
ш1.0 7
4R R
7! ! !
I(t)= 72 0jdS= 72s 0E 4z 02 7p 0rdr=2 7ps2 0E 4z 0(r,t)rdr (1.3.45)
71 1 1
50 0
- 25 -
ш1.0
7|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Графики функций ber 40 0(x),bei 40 0(x), 7? 0((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+bei 40 0(r/ 7d 0) 52 0),
7f 0(x) в приложении (на рис. 4,5).
ш1.0
При высоких частотах.
x>>1
7|\\ |\ |\
ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.46)
7|\\ |\ |\
ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.47)
Тогда x=r/ 7d
? 7 |\ |\
E 4z 0(r,t)=A?(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)cos 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8)+
?
7|\ 0 7|\ 0 5?
+(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)sin 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 5? 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.48)
5?
7|\\ |\
7? 02 7p 0x 7 0sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 7 |\
7f 0=arctg???????????????????????=arctg{tg((x/ 7? 02)- 7p 0/8)} (1.3.49)
7|\\ |\
7? 02 7p 0x 7 0cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8)
7|\
7f 0=(x/ 7? 02)- 7p 0/8
????????????????????????????????????????????????????????????????
?E 4z 0(r,t)=A(2 7p 0r/ 7d 0) 5-1/2 0exp(r/ 7d 02 51/2 0)cos( 7w 0t+(r/ 7d 02 51/2 0)- 7p 0/8) (1.3.50)?
????????????????????????????????????????????????????????????????
ш2.0
При малых частотах.
x 76 00 ber(x) 7~ 01 ; bei(x) 7~ 0x 52 0/4 ; tg 7f~ 0x 52 0/4 7~f
Тогда E 4z 0(r,t)=A(1+x 54 0/16) 51/2 0cos( 7w 0t+x 52 0/4) (1.3.51)
ш2.0
- 26 -
1 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.
Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный рас-
чет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем,
что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндри-
ческой геометрии, причем функции sin, exp, cos считаются намного
быстрее.
Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой
течет ток (шина) (рис.6)
Ф-
ш1.0
? 7 6 6 6
76 0 ? 4 0? e 4x 0 4 0e 4y 0 4 0e 4z 0 ? ? ? ? ?
76 0 7ч 0B ? 76 0 ? ? 4 76 4 0? 7ч 0E 4z 0 7ч 0E 4y 0? 76 4 0? 7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 0?
rotE=-?? ? 7 0rotE=? 7ч 0/ 7ч 0x 7 ч 0/ 7ч 0y 7 ч 0/ 7ч 0z?=e 4x? 0??? - ????+e 4y? 0??? - ????+
7ч 0t ? ? ? 4 0? 7ч 0y 7ч 0z ? 4 0? 7ч 0z 7ч 0x ?
(1.4.1) ? ? E 4x 0 E 4y 0 E 4z 0 ? ? ? ? ?
76 0 ?
76 0 76 0 7ч 0D ?
rotH=j+?? ? ? ?
7ч 0t ? 76 4 0? 7ч 0E 4y 0 7ч 0E 4x 0?
(1.4.2) ? +e 4z? 0??? - ???? (1.4.3)
76 6 0 ? 4 0? 7ч 0x 7ч 0y ?
j= 7s 0E 7о 0 ? ? ?
76 4 76 0 ?????????????????????????????????????????????????????
D= 7ee 40 0E ? 7 6 6 0 76 6 6
76 4 76 0 ? rotE=- 7mm 40 7ч 0H/ 7ч 0t (1.4.4); rotH= 7s 0E+ 7ee 40 7ч 0E/ 7ч 0t (1.4.5)
B= 7mm 40 0H ?
Из симметрии задачи очевидно, что 7 ч 0/ 7ч 0y=0
7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x 0 4? 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x
-??? =- 7mm 40 0??? (1.4.6) 4? 0 -??? = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.7)
7ч 0z 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
4?
7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 0 4? 0 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y
4??? 0 - ??? =- 7mm 40 0??? (1.4.8) 4? 0 ??? - ??? = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.9)
7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
4?
7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z 0 4? 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z
??? =- 7mm 40 0??? (1.4.10) 4? 0 ??? = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.11)
7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t
Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:
7) 0 ?
7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z 7 2 0 ? 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x
??? = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0??? (a) 78 0 (a)? -??? =- 7mm 40 0???
7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t 7 0 0 ? 7ч 0z 7 ч 0t
- 27 -
7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 7 ) 0 ? 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y
4??? 0 - ??? =- 7mm 40 0??? (b) 72 0 ? ??? - ??? = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0???
7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 0 7 ч 0t 7 0? ? 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
78 0 (a)?
7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x 7 2 0 ? 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z
-??? = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0??? (c)? ? ??? =- 7mm 40 0???
7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 7 2 0 ? 7ч 0x 7 ч 0t
70 0 ?
?????????????????????????????????????????????????????????????????
С компонентами E 4z 0,H 4y 0,E 4x 0, эта ? С компонентами H 4z 0,E 4y 0,H 4x 0, эта
система описывает скин-эффект ? система описывает вихревые токи
?????????????????????????????????????????????????????????????????
Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде:
ш1.0
7)
i 7w 0t 7 ч 2
E 4z 0=E 4z 0(r)e ??=i 7w 2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 8 0 (1.4.12)
H 4y 0=H 4y 0(r)e 7 ? ч 2
i 7w 0t => ??=-ik 4z 7 2
E 4x 0=E 4x 0(r)e 7 ч 0z 7 2
70
7ч 0H 4y
???= 7s 0E 4z 0 (1.4.13)
7ч 0x
7ч 0E 4z 0 7ы
??? = i 7mm 40 7w 0H 4y 0 (1.4.14)
7ч 0x
E 4x 0= 0 (1.4.15)
7s 0 7 ч 0E 4z
H 4y 0= ??????? 7 0??? (1.4.16)
i 7mm 40 7ws ч 0x
7ч 52 0E 4z
???? - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.17)
7ч 0x 52
Таким образом имеем уравнения:
Внутри проводника ? Снаружи проводника ( 7s 0=0)
?????????????????????????????????????????????????????????????????
7ч 52 0E 4z 0 ? 7ч 52 0E 4z
???? - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.18) ? ???? = 0 (1.4.19)
7ч 0x 52 0 ? 7ч 0x 52
?
Очевидны граничные условия: ? Решение:
? E 4z 0=const 41 0x+const 42 0 (1.4.22)
E 4z 0? = E 4z 0? (1.4.20) ? Так как поле не может бес-
?r=R ?r=R ? конечно возрастать то:
4внутри 5 4снаружи 0 ? const 41 0=0
? Поле вне проводника пос-
- 28 -
ш1.0
H 4y 0? = H 4y 0? (1.4.21) ? тоянно, не зависит от
?r=R ?r=R ? пространственных координат
4внутри снаружи ?
?
По теореме о циркуляции легко ? E 4z 0=const 42
получить: 5?
76 0 76 0 5? 0 7ee 40 0 1 7 ч 0E 4z
7# 0Hdl=I (1.4.23) 5? 0 H 4y 0= ??? ? 7 0??? 7?? 0 (1.4.24)
5? 0 7mm 40 7 s ч 0x
5? 0 5? 0????
I 5* 0 5? 0 5неопределенность
7H 4y 02l=I 5* 0l => H 4y 0=???? (1.4.25) 5? 0 Магнитное поле такое же,
2 5? 0 как оно было бы вокруг про-
5? 0 вода с постоянным током,
I 5* 0 - линейная плотность тока 5? 0 равным мгновенному значению
5? 0 переменного тока.
ш1.0
Таким образом имеем уравнение:
7ч 52 0E 4z
???? - k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26)
7ч 0x 52
где k 52 0=i 7mm 40 7ws
Решение этого уравнения хорошо известно[18]:
E(x) = Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)
7|\ 0 1-i 7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\\\
т.к. 7? 0-i=????;k= 7?mm 40 7ws 5 ???? 0;k= ? ????; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7|\ |\ |\
7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02
из геометрии задачи видно, что E 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следова-
тельно решение уравнения можно записать в виде:
E(x) = A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)
Тогда общее решение можно записать в виде ( переобозначив не-
которые выражения: x/(2 51/2 7s 0)=y, а 7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 ):
4i 7ф
E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e =A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*
*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=
?
=A?{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+
?
?
+i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}?=
?
A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+
- 29 -
+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)} (1.4.29)
ш1.0
(e 5y 0-e 5-y 0)siny 5 0e 5y 0-e 5-y
где tg 7f 0=?????????????? 5 0= 5 0???????? tgy
(e 5y 0+e 5-y 0)cosy 5 0e 5y 0+e 5-y
Тогда вправе переписать:
????????????????????????????????????????????????? 5? 0?????????
? ?
? E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)} (1.4.30) ?
? ?
???????????????????????????????????????????????????????????
ш2.0
Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как
только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше
комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения
одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус,
путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям
путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0.
Окончательно получим:
ш1.0
????????????????????????????????????????????????????????????
? E 4z 0(r,t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.31) ?
? ?
? e 5y 0-e 5-y 0 x 7|\\\\ 0 ?
? 7f 0=arctg 5 0???????? tgy ; y=??????? ; 7 d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7w 0=2 7pn 0 ?
? e 5y 0+e 5-y 0 2 51/2 7d 0 ?
????????????????????????????????????????????????????????????
Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.
Интересен предел высоких частот: 7w6$ 0; 7d6$ 0;y 76$
?????????????????????????????????????
? ?
? E 4z 0(x,t)=Ae 5y 0cos( 7w 0t+y) (1.4.32) ?
? ?
?????????????????????????????????????
x
y= ??????? (1.4.33)
2 51/2 7d
- 30 -
Предел низких частот: 7w6 00; 7d6 00;y 76 00
ш1.0
???????????????????????????????????????????????????????
? E 4z 0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.34) ?
? ?
? ?
? 1+y-1+y ?
? tg 7f 0=???????y=y 52 0 ?
? 1+y+1-y ?
? ?
? ?
? E 4z 0(r,t)=A(2+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.35) ?
? ?
? ?
? E 4z 0(r,t)=A(2(1+cos2y)) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.36) ?
? ?
? ?
? E 4z 0(r,t)=A2?cosy?cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.37) ?
???????????????????????????????????????????????????????
ш2.0
Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует
дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна
при сравнении рисунков 10 и 11.
Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью
тока противоположно направленной поверхностному току.
Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в прог-
раммах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и skin_1.exe (без
учета).
ш2.0
- 31 -
_ 2Глава 2
1" Математические методы исследования процессов "
1 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко
используются для математического моделирования процессов и явле-
ний в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неиз-
вестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по
аргументу x
7f 0(x,y,y',...y 5(n) 0)=0. (2.1.1)
Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно
системе n уравнений первого порядка
7f 4k 0(x,y 41 0,y' 41 0,y 42 0,y' 42 0,...,y 4n 0,y' 4n 0)=0, (2.1.2)
где k=1,2,...,n.
Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система (2.1.2) имеют
бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с
помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять ис-
комые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают-
ся три типа задач, для которых доказано существование и единс-
твенность решений.
Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными услови-
- 32 -
ями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в некото-
рой точке x 40 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения
функции y(x) и ее производных
y(x 40 0)=y 40 0 ; y'(x 40 0)=y 410 0,...,y 5(n-1) 0(x 40 0)=y 4n-1,0 0. (2.1.3)
Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в виде
y 41 0(x 40 0)=y 410 0 ; y 42 0(x 40 0)=y 420 0,...,y 4n 0(x 40 0)=y 4n0 0. (2.1.4)
Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или
краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде
функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество
условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если
решение задачи определяется в интервале x 7е 0[x 40 0,x 4k 0], то такие усло-
вия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.
Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована
граничная задача, равен двум.
Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значе-
ния. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x)
и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных
параметров 7 l 41 0, 7l 42 0, 7l 43 0,..., 7l 4m 0, которые называются собственными зна-
чениями. Для единственности решения на интервале [x 40 0,x 4k 0] необхо-
димо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно
назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов дис-
сипации, структуры электромагнитных полей и механических напряже-
ний в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффици-
ентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей по-
- 33 -
лей волновых процессов и т.д.
К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не уда-
ется построить аналитическое решение задачи через известные функ-
ции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более
эффективными даже при наличии аналитических решений [10].
Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач.
ш2.0
- 34 -
1 2.2 0 1Задача Коши. (Метод Рунге-Кутту 2-го порядка).
Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в каноническом
виде, в так называемой форме Коши
ш0.9
dy 4k 0(x)
???????? = f 4k 0(x,y 41 0,y 42 0,...,y 4n 0), (2.2.1)
dx
ш2.0
где k=1,2,...,n.
При формулировке задачи Коши система (2.2.1) дополняется на-
чальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотрим задачу Коши
для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы
обобщим на систему n уравнений
ш0.9
dy(x)
??????? = f(x,y), y(x 40 0)=y 40 0. (2.2.2)
dx
ш2.0
В окрестности точки x 40 0 функцию y(x) разложим р ряд Тейлора
ш0.9
(x-x 40 0) 52
y(x)=y(x 40 0)+(x-x 40 0)y'(x 40 0)+?????????y''(x 40 0)+..., (2.2.3)
2
ш2.0
который можно применить для приближенного определения искомой
функции y(x). D njxrt x 40 0 + h при малых значениях h можно ограни-
чится двумя членами ряда (2.2.3), тогда
y(x 40 0+h)=y 40 0+hy'(x 40 0)+O(h 52 0), (2.2.4)
где O(h 52 0)-бесконечно малая величина порядка h 52 0. Но такой метод
дает очень существенные погрешности.
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, исполь-
зующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (2.2.3), необ-
- 35 -
ходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом
возникает необходимость аппроксимации производных от правых час-
тей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что
производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точ-
ках на интервале [x 40 0,x 40 0+h], которые выбираются из условия наи-
большей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от стар-
шей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычис-
лительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности [10].
Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка
точности полечено однопараметрическое семейство схем вида:
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[(1- 7a 0)f 40 0+ 7a 0f(x 40 0+ 7g 0h,y 40 0+ 7g 0f 40 0h)]+O(h 53 0), (2.2.5)
где 0 7 0< 7 a, 0 1 - свободный параметр,
f=f(x,y), 7 g 0=(2 7a 0) 5-1 0.
Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й порядок, гло-
бальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномер-
но сходится к точному решению с погрешностью O(h 52 0).
Для параметра 7 a 0 наиболее часто используют значения 7 a 0=0,5 и
7a 0=1. В первом случае формула (2.2.5) приобретает вид
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[f 40 0+f(x 40 0+h,y 40 0+hf 40 0)]/2, (2.2.6)
геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7
Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x 40 0 + h по
формуле Эйлера y 4Э 0= 4 0y 40 0+ 4 0hf 40 0. Затем определяется наклон интег-
- 36 -
ральной кривой в найденной точке f(x 40 0+h,y 4Э 0), и после нахождения
среднего наклона на шаге h находится уточненное значение
y 4RK 0=y(x 40 0+h). Схемы подобного типа называют "прогноз-коррекция",
что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого
порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о пове-
дении интегральной кривой [10].
С целью экономии памяти при программировании алгоритма
(2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом
того, что y 40 0=y 4Э 0-hf 40
y 4k 0(x 40 0+h)=y 4kЭ 0+h[f 4k0 0-f 4k 0(x 40 0+h,y 4kЭ 0)]/2, (2.2.7)
где k - номер решения для системы ОДУ.
Во втором случае при 7a 0=1 от формулы (2.2.5) переходим к схеме
y(x 40 0+h)=y 40 0+hf(x 40 0+h/2,y 40 0+hf 40 0/2), (2.2.8)
геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогно-
зе определяется методом Эйлера решение в точке x 40 0+h/2
y 41/2 0=y 40 0+hf 40 0/2, (2.2.9)
а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в
средней точке решение корректируется по этому наклону.
ш2.0
- 37 -
1 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.
Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты чет-
вертого порядка в тейлоровском разложении искомого решения y(x)
учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертой включи-
тельно. после аппроксимации правой части ОДУ f(x,y) получено се-
мейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка, из которых наиболее
используемой в вычислительной практике является следующая:
y(x 40 0+h)=y 40 0+(k 41 0+2k 42 0+2k 43 0+k 44 0)/6+O(h 55 0), (2.3.1)
где
k 41 0=hf(x 40 0,y 40 0),
k 42 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 41 0/2),
k 43 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 42 0/2),
k 44 0=hf(x 40 0+h,y 40 0+k 43 0).
Схема (2,3,1) на каждом шаге h требует вычисления правой час-
ти ОДУ в 4-х точках. Локальная погрешность схемы имеет 5-й поря-
док, глобальная - 4-й. Схема обобщается для систем ОДУ, записан-
ных в форме Коши. Для удобства программной реализации, особенно в
случае систем ОДУ, формулы (2,3,1) рекомендуется преобразовать к
виду:
y 4i 0(x 40 0+h)=y 4i0 0+(q 4i1 0+2q 4i2 0+2q 4i3 0+q 4i4 0)/3+O(h 55 0), (2.3.2)
где
- 38 -
q 4i1 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0,y 4i0 0), h 42 0=h/2
q 4i2 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i1 0),
q 4i3 0=hf 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i2 0),
q 4i4 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h,y 4i0 0+q 4i3 0),
i=1,2,...,n - номер уравнения в системе ОДУ из n уравнений.
В приводимом тексте программ рассматривается решение уравне-
ния Ван дер Поля:
y''+p(y 52 0-1)y'+y=0, (2.3.3)
которое является математической моделью автоколебательных механи-
ческих и электронных схем. Параметр p в уравнении (2,3,3) опреде-
ляет нелинейные свойства системы. Для малых (p << 1) и больших
(p >> 1) значения параметра p в теории колебаний развиты прибли-
женные методы аналитического решения уравнения Ван дер Поля. Для
промежуточных значений параметра p уравнение приходится решать
численными методами[10].
Для приведения уравнения (2,3,3) к форме Коши введем обозна-
чения: y 41 0(x)=y(x),y 42 0(x)=y'(x), тогда получим систему уравнений:
ш1.0
7(
72 0y' 41 0(x)=y 42 0(x),
7* 0 (2.3.4)
72 0y' 42 0(x)=p(1-y 52 41 0(x))y 42 0(x)-y 41 0(x).
79
ш2.0
Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом
Рунге-Кутты четвертого порядка, можно провести можно провести по
формуле:
ш1.0
y 4h 0(x)-y 4kh 0(x)
R 40 0=????????????? 5? 0, (2.3.5)
k 5p 0-1
- 39 -
которая при кратности изменения шага k=2 принимает вид:
R 40 0=[y 4h 0(x)-y 42h 0(x)]/15 (2.3.6)
ш2.0
Однако эта формула требует значительных затрат времени для пов-
торного расчета.
Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале.
PROGRAM RUNGE-KYTTE_4
TYPE VEC=ARRAY [1..8] OF REAL;
VAR P,X,X9,H:REAL;
Y:VEC;
CH:CHAR;
{-----ПРОИЗВОДНЫЕ-----}
PROCEDURE RP(X:REAL;VAR Y,R:VEC);
BEGIN
F[1]:=Y[2];
F[2]:=P*(1.0-SQR(Y[1]))*Y[2]-Y[1];
END;
{-----МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА-----}
PROCEDURE RK4(N:INTEGER; X,H:REAL; VAR Y:VEC);
VAR I,J:INTEGER;
H1,H2,Q:REAL;
Y0,Y1,F:VEC;
BEGIN
H1:=0.0;
H2:=H/2;
- 40 -
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN
Y0[I]:=Y[I];
Y1[I]:=Y[I];
END;
FOR J:=1 TO 4 DO
BEGIN
RP(X+H1,Y,F);
IF J=3 THEN H1:=H ELSE H1:=H2;
FOR I:= TO N DO
BEGIN
Q:=H1*F[I];
Y[I]:=Y0[I]+Q;
IF J=2 THEN Q:=2+Q;
Y1[I]:=Y1[I]+Q/3.0;
END;
END;
FOR I:=1 TO N DO Y[I]:=Y1[I];
END;
{--------------------}
BEGIN
REPET
WRITE('P,X,X9,H,Y[1],Y[2]?');
READLN(P,X,X9,H,Y[1],Y[2]);
WHILE (X
BEGIN
RP4(2,X,H,Y);
X:+X+H;
- 41 -
WRITELN(X,' ',Y[1],' ',Y[2]);
END;
WRITE('Еще разок ?(Y/N)');
READLN(CH);
UNTIL (CH='Y')OR(CH='y');
END.
ш2.0
- 42 -
1 2.4 0 1Краткие сведения о функциях 0 1Бесселя.
Цилиндрические функции (бесселевы функции) - решения Z 7т 0 диф-
ференциального уравнения Бесселя:
ш1.0
d 52 0Z dZ
z 52 0 ????? + z ???? + (z 52 0- 7n 52 0)Z=0 (2.4.1)
dz 52 0 dz
ш2.0
где 7 n 0 - произвольное действительное или комплексное число.
Если 7 n 0 не является целым числом, то общее решение уравнения
(2.4.1) имеет вид:
Z 7т 0= 7 0c 41 0J 7т 0(z) 7 0+ 7 0c 42 0J 4- 7т 0(z), (2.4.2)
где с 41 0,с 42 0 - постоянные, а J 7т 0 и J 4- 7т 0 - так называемые цилиндричес-
кие функции 1-го рода, или функции Бесселя. Для них справедливо
разложение:
ш1.0
7$ 4 m 7 т 4+2m
7?? 0 (-1) 5 0(0,5z)
J(z)= 7 ? 0 ?????????????????, (?arg z? < 7p 0) (2.4.3)
7?? 0 7? 0Г(m+1)Г(m+ 7n 0+1)
5m=0
7т
Ряд в правой части для z J 7т 0(z) сходится абсолютно и равномерно
ш2.0
при всех ?z? 7, 0R, ? 7n 0? 7, 0N, где R и N - произвольные положительные
числа. Функции J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) - аналитические, с особыми точками
z=0 и z= 7$ 0; производные функций J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) удовлетворяют сле-
дующему тождеству:
ш1.0
2sin 7np
z[J 7т 0(z)J' 4- 7т 0(z)-J' 7т 0(z)J 4- 7т 0(z)] = - ????????. (2.4.4)
7p
ш2.0
- 43 -
Если же 7 n 0 - целое, то J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) линейно зависимы, и их
линейная комбинация уже не является общим решением уравнения
(2.4.1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода,
вводят цилиндрические функции 2-го рода N 7n 0(z) (или Неймана функ-
ции, функции Вебера):
ш1.0
1
N 7т 0(z)=???????[J 7т 0(z)cos 7np 0-J 4- 7т 0(z)], (2.4.5)
sin 7np
ш2.0
(другое обозначение Y 7т 0(z)). При помощи этих функций общее решение
уравнения (2.4.1) может быть записано в виде:
Z 7т 0=c 41 0J 7т 0(z)+c 42 0N 7т 0(z).
Важны для приложения и другие решения уравнения (2.4.1) - ци-
линдрические функции 3-го рода (или Ганкеля функции). Их обозна-
чают через H 7т 5(1) 0(z) и H 7т 5(2) 0(z) и, по определению, полагают:
ш1.0
1 4 -i 7тз
H 7т 5(1) 0(z)=J 7т 0(z)+iH 7т 0(z)=???????? [J 4- 7т 0(z)-J 7т 0(z)e ], (2.4.6)
isin 7np
1 4 -i 7тз
H 7т 5(2) 0(z)=J 7т 0(z)-iH 7т 0(z)=???????? [J 7т 0(z)e -J 4- 7т 0(z)]. (2.4.7)
isin 7np
ш1.0
Справедливы тождества:
7)
2 7 2
z[J 7т 0(z)N' 7т 0(z)-J' 7т 0(z)N 7т 0(z)] = ???. 7 2
7p 2
78 0 (2.4.8)
4i 7 2
z[H 7т 5(1) 0(z)H 7т 5(2) 0'(z)-H 7т 5(1) 0'(z)H 7т 5(2) 0(z)]= - ???? 7 2
7p 2
70
- 44 -
ш1.0
и соотношения:
1
J(z) = ? [H 7т 5(1) 0(z)+H 7т 5(2) 0(z)], (2.4.9)
2
1
H 7т 0(z)= ???? [H 7т 5(1) 0(z)-H 7т 5(2) 0(z)]. (2.4.10)
2i
ш2.0
Для действительных z=x и 7 n 0 функции Ганкеля являются комплекс-
но сопряженными решениями уравнения (2.4.1). При этом функции
J 7т 0(z) дают действительную часть, а функции N 7т 0(x) - мнимую часть
функций Ганкеля.
Цилиндрические функции 1-го, 2-го и 3-го рода удовлетворяют
рекуррентным формулам:
ш1.0
7)
2 7n 2
Z 7т 4-1 0(z)+Z 7т 4+1 0(z)=???? Z 7т 0(z), 7 2
z 7 8 0 (2.4.11)
72
Z 7т 4-1 0(z)-Z 7т 4+1 0(z)=2Z' 7т 0(z). 7 2
70
ш2.0
Каждая пара функций
J 7т 0(z),J 4- 7т 0(z); J 7т 0(z),Y 7т 0(z); H 7т 5(1) 0(z),H 7т 5(2) 0(z)
образует (при целом 7n 0) фундаментальную систему решений уравнения
(2.4.1).
Модифицированными цилиндрическими функциями называются ци-
линдрические функции мнимого аргумента:
- 45 -
ш1.0
7( 0 4-i 7тз 4/2 7 0 4i 7з 4/2
72 0 e 7 0J 7т 0(e z), 7 0- 7p 0 < argz 7, 0 7p 0/2,
72
I 7т 0(z) = 7* 0 (2.4.12)
72 0 4-3i 7тз 4/2 7 0 4-3i 7з 4/2
72 0 e 7 4 7 0J 7т 0(e 4 0 z), 7 p 0/2 < argz 7, 0 7p 0,
79
и функции Макдональда:
4i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2 0 4 -i 7зт 4/2 7 4 7 4-i 7з 4/2
K 7т 0(z)=(1/2)i 7p 0e 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z)=-(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(2) 7т 0(e 4 0z)=
4-i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2
=(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z). (2.4.13)
Эти функции являются решениями дифференциального уравнения
d 52 0Z dZ
z 52 0 ????? + z ???? - (z 52 0+ 7n 52 0)Z=0 (2.4.14)
dz 52 0 dZ
и удовлетворяют рекуррентным формулам[8,9]
7)
2 7n 0 72
I 7т 4-1 0(z)+I 7т 4+1 0(z)= ???? I 7т 0(z), 7 2
z 7 0 78 0 (2.4.14)
2 7n 0 72
K 7т 4-1 0(z)-K 7т 4+1 0(z)=-???? K 7т 0(z). 72
z 7 0 70
K 4- 7т 0(z)=K 7т 0(z). (2.4.15)
ш2.0
- 46 -
1 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина.
Функции Кельвина (или функции Томпсона) ber(z) и bei(z) -
определяются следующими соотношениями:
ш1.0
43i 7з 4/4
ber 7т 0(z)+bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze ) (2.4.16)
4-3i 7з 4/4
ber 7т 0(z)-bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze 7 0 ) (2.4.17)
ш2.0 7
где J 7т 0 - вышеописанная функция Бесселя. При 7 n 0=0 индекс у знака
функции опускается. Функции Кельвина составляют фундаментальную
систему решений уравнения:
z 52 0y''+zy'-(iz 52 0+ 7n 52 0)y=0, (2,4,18)
переходящего при z=x(i 51/2 0) в уравнение Бесселя.
Функции Кельвина представляются в виде:
ш1.0
7$
7?? 4 5 0(-1) 5r 0z 54r 7??
ber(z)= 7 ? 4 0????????????? 5, 0 (2.4.19)
7??? 4 02 54r 0[(2r)!] 52
4r=0
7$
7?? 4 5 0(-1) 5r 0z 54r+2 7??
bei(z)= 7 ? 4 0????????????????. (2.4.20)
7??? 4 02 54r+2 0[(2r+1)!] 52
4r=0
Асимптотические представления[8,9]:
- 47 -
ш1.0
7ф 4(z)
e
ber(z)=??????? 4?? 0? cos 7b 0(z), (2.4.21)
(2 7p 0z) 51/2
7ф 4(z)
e
bei(z)=??????? 4?? 0? sin 7b 0(z), (2.4.22)
(2 7p 0z) 51/2
где
z 1 5 0 25 13
7a 0(z) 7` 0 ?????? 5 0+ ???????? 5 0- ??????????? 5 0- ????? -... (2.4.23)
(2) 51/2 0 8z(2) 51/2 0 384z 52 0(2) 51/2 0 128z 52
z 7p 0 1 5 01 5 0 25
7b 0(z) 7` 0 ?????? 5 0- ? + ???????? 5 0- ???? - ??????????? 5 0-... (2.4.24)
(2) 51/2 0 8 8z(2) 51/2 0 16z 52 0 384z 52 0(2) 51/2
ш2.0
Графики функций Кельвина представлены на рисунках 4,5.
ш2.0
- 48 -
_ 2Глава 3
_ 1Использование ЭВМ в учебном процессе.
1 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики.
В ходе поступательного развития методики преподавания физики
совершенствуются методы обучения и технология педагогического
труда, улучшается и обогащается техническая оснащенность учебного
процесса. От примитивного рисунка на песке до использования ЭВМ,
позволяющих показать в динамике практически любой физический про-
цесс и проверить знания учащихся - вот путь эволюции технических
средств обучения. Дальнейший прогресс в преподавании физики, на
мой взгляд, будет тесно связан с широким использованием в учебном
процессе мощных современных ПЭВМ и компьютерных сетей локального
и глобального масштаба. Это, в скором будущем, позволит исключить
использование такой громоздкой техники как кино, эпи-, диа- и
графопроекция, обучающие и контролирующие устройства. Не надо ду-
мать однако, что ЭВМ вытеснит "живой" эксперимент, позволяющий
ученику соприкоснуться с явлением один на один. Речь идет о моде-
лировании тех опытов, постановка которых очень громоздка или не-
возможна вообще. Эти "мыслящие" машины должны стать в руках учи-
теля орудием более эффективной передачи знаний подрастающим поко-
лениям и усиления воспитательного влияния на них.(рис. 9,10,11)
Однако неправильно считать ЭВМ всесильными. Их применение
всегда должно определятся спецификой изучаемой темы и возмож-
ностью выразительно передать с их помощью главные особенности
- 49 -
изучаемого материала. Так, нельзя изучать физику только сидя за
терминалом ЭВМ. Основой обучения физики должно быть непосредс-
твенное (специально организованное педагогом) восприятие ученика-
ми изучаемых явлений. Учитель физики должен знать дидактические
возможности применения ЭВМ и в совершенстве владеть приемами их
использования.
Широкое применение ЭВМ дает возможность на всех этапах обуче-
ния:
1) повысить эффективность преподавания путем налаживания сис-
тематического (пооперационного) контроля знаний учащихся, индиви-
дуализировать усвоение знаний в условиях классно-урочной системы,
т.е. реализовать разноуровневость в обучении;
2) освободить учителя от монотонной технической работы, с тем
чтобы он мог больше времени уделять творческой деятельности.
3) развивать у учеников методы самостоятельной работы. Кроме
того, позволяет:
а) в ряде случаев дать учащимся более полную и точную инфор-
мацию об изучаемом явлении; с помощью компьютерной мультипликации
(или компьютерного видео), например, показать тела в состоянии
невесомости, выход человека в открытый космос, доменную структуру
ненамагниченного и намагниченного ферромагнетика, быстротечные
микропроцессы (например процессы в RLC-цепочке, скин-эффект) и
т.п.;
б) повысить наглядность, создать представления о механизме
сложных явлений и тем самым облегчить учащимся их понимание; так
средствами компьютерной мультипликации даются модельные представ-
ления об электрическом токе в проводниках разного рода, явлениях,
происходящих в атомных ядрах, о взаимодействии элементарных час-
- 50 -
тиц и т.д.
в) ознакомить учащихся с характером быстро и медленно проте-
кающих процессов, а также невидимых явлений;
г) познакомить учащихся с фундаментальными физическими экспе-
риментами, постановка которых в классе затруднена или невозмож-
на,- опытами Штерна, Резерфорда, Милликена и Иоффе, Стюарта, Ка-
вендиша и т.п.;
д) более успешно решать задачи политехнического образования,
поскольку компьютерная анимация позволит дать представление о
конструкции машин и механизмов и о физических принципах их рабо-
ты, а также показать переход от принципиальной схемы того или
иного технического устройства к её конкретному конструктивному
решению (например видеофрагменты по темам:"Машины переменного то-
ка","Радиолокация" и т.д.);
е) проводить контроль знаний учащихся учитывая их индивиду-
альные способности (т.е. осуществлять разноуровневый подход к
контролю знаний учащихся);
ж) усилить воспитательное воздействие на учащихся; с этой
целью можно использовать видеофрагменты об истории научных откры-
тий и изобретений;
ш2.0
- 51 -
1 3.2 Методы использования ЭВМ в обучении.
Компьютер может использоваться в обучении как:
1) _Справочное средство.
Т.е. использование ЭВМ как банк данных, содержащий различного
рода справочную информацию. Это могут быть различные таблицы,
чертежи, схемы, тексты и видеослайды т.д. Если терминал подключен
к сети, то можно получить информацию которая хранится на других
терминалах или сетевом сервере, а имея модем можно получить дос-
туп к информации хранящейся даже в другой стране или связаться с
преподавателем и получить от него нужную информацию.
Видеослайды будут прекрасным дополнением к объяснению учите-
ля, а также помогут учащимся осознать материал.
2) _Информационное средство.
ЭВМ можно использовать как хранилище видео информации. Это
могут быть учебные целостные видеофильмы, фрагментарные видео-
фильмы, видеофрагменты (видеоролики).
а) Целостный видеофильм - это своеобразная видеолекция, в
которой раскрывается весь материал темы. Однако практика показы-
вает, что целесообразно делать их фрагментарными и применять как
обзорные.
б) Фрагментарный видеофильм состоит из нескольких частей,
каждая из которых разбита на фрагменты.
На уроке можно использовать или только нужный фрагмент,
или сочетание нескольких. Весь фильм целесообразно использовать
при обобщении или повторении.
в) Видеофрагмент - это очень короткий (4-5 мин. показа)
- 52 -
учебный фильм, посвященный определенному небольшому вопросу; он
рассчитан на органическое включение его в ход урока. Присущие ему
автономность и относительная отрывочность позволяют учителю в со-
ответствии с логикой учебно-воспитательного процесса осуществлять
просмотр видеофрагмента тогда, когда это может принести макси-
мальный педагогический эффект.
3) _Учебное средство.
а) Обучающие средство. ЭВМ выдает ученику подобранную соот-
ветствующим образом информацию (своего рода электронный учебник),
с которой ученик знакомится самостоятельно. Причем в этом случае
учитель может контролировать то, информация какого уровня слож-
ности преподносится тому или иному ученику (т.е. реализуется раз-
ноуровневый подход к обучению).
б) Контролирующее средство. Это различного рода тестовые
программы и электронные задачники, в которых вопросы и задачи по-
добранны по уровням сложности и даются каждому ученику в зависи-
мости от его индивидуальных способностей[6].
ш2.0
- 53 -
1 3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ.
Для изучения того ил иного явления в физике очень часто ис-
пользуется такой метод изучения, как моделирование. Моделирование
представляет собой воспроизведение определенных свойств и связей
объекта - оригинала в другом, специально созданном объекте - в
модели с целью их более тщательного изучения. ЭВМ позволяет соз-
дать широкий спектр программных средств и активно использовать их
в учебном процессе, позволяя сделать многие физические задачи
доступными и наглядными[1].
Вместе с тем нужно отметить, что самая совершенная модель не
может полностью описать явление, а представляет лишь его основ-
ные, наиболее характерные черты.
Таким образом цель моделирования физического процесса - соз-
дание модели является "волшебным" инструментом познания, позволя-
ющим на разных степенях исследования выделить главные, наиболее
существенные характеристики физического процесса.
Каждая модель физического процесса должна отвечать следующим
требованиям:
1) модель не должна искажать физическую реальность
2) модель должна быть динамичной
3) модель должна базироваться на проверенных данных
4) модель должна действовать в определенных рамках
5) модель должна наглядно представлять физическое явление,
для которого создана.
Исходя из вышесказанного и были созданы 3 компьютерные прог-
раммы описывающие:
- 54 -
а) процессы в электрическом колебательном контуре
б) опыт Милликена
в) скин-эффект.
2.0
- 55 -
1 3.4 Краткое описание программ.
На основе проведенного теоретического анализа созданы демонс-
трационные программы: "Электрический колебательный контур", "Опыт
Милликена" и "Скин-эффект".
Программы предназначены для работы в диалоговом режиме и дают
пользователю возможность непосредственно участвовать в процессе.
Ученику изначально предложены варианты данных при которых явление
лучше всего наблюдать, но ученик может по ходу процесса вносить
свои изменения.
Система помощи позволяет работать с программой даже человеку
плохо знакомому с ЭВМ. В системе ссылок указана литература к ко-
торой можно обратиться для более подробного изучения материала.
В процессе работы ученика на экране представлена вся необхо-
димая для работы информация.
На основе программ созданы лабораторные работы, которые в
настоящее время используются на физическом факультете ТГПУ
им. Толстого на кафедре общей физики в курсе методики преподава-
ния физики. Описания лабораторных работ прилагаются к дипломной
работе.
ш2.0
- 56 -
1Заключение
В ходе выполнения дипломной работы:
- проведен теоретический анализ моделируемых процессов;
- выявлены новые эффекты;
- на основе полученных решений созданы демонстрационные прог-
раммы;
- на основе разработанных программ созданы лабораторные рабо-
ты;
- лабораторные работы опробованы на физическом факультете
ТГПУ им. Л.Н.Толстого в курсе методики преподавания физики.
В дальнейшем автор предпологает продолжать работу в данном
направлении. В частности ведется разработка генератора контроль-
ных работ для средней школы.
- 57 -
1Приложение
- 58 -
- 59 -
- 60 -
- 61 -
- 62 -
- 63 -
- 64 -
- 65 -
- 66 -
- 67 -
- 68 -
ш2.0
- 69 -
1Список используемой литературы.
1. Бурсиан Э.В. Задачи по физике для компьютера: Учебное по-
собие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов, М.:
Просвещение, 1991, 256 с.
2. Тезисы докладов VI координационного совещания-семинара
преподавателей физических дисциплин педагогических ВУЗов Цент-
ральной зоны МО _РФ., Коломна, 21-23 сентября 1993 г.
3. Тезисы докладов II научно-методической конференции "Ис-
пользование научно-технических достижений в демонстрационном экс-
перименте и в постановке лабораторных пракикумов", Саранск, 17-19
мая 1994 г.
4. Тезисы докладов 3 Всеросийского (с участием стран СНГ) со-
вещния-семинара "Применение средств вычислительной технки в учеб-
ном процессе кафедр физики, высшей и прикладной математики",
Ульяновск, 12 сентября 1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск 1995.
5. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике,
М., Мир, 1990 г.
6. "Информатика и образование", №№ 3-6, 1995 г.
7. "Физика в школе", № 4, 1994 г.
8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции (формулы,
графики, таблицы), Москва: Наука, 1977, ст. 176-245, 262-284.
9. Математическая энциклопедия, Москва: Наука 1985, Т. 2
стр. 846,Т. 5 стр. 819-825.
10. Калиткин Н.Н., Численные методы, М.: Наука, 1978,
ст.246-250.
11. Калашников С.Г., Электричество, М.: Наука,1985, 576 с.
- 70 -
12. Физическая энциклопедия, Москва: Наука, 1995, Т. 3, 4.
13. Савельев И.В., Курс физики, М.: Наука, 1981, Т.1 493 с.
14. Сивухин Д.В., Общий курс физики, М.: Наука 1977, Т.3,
687 с.
15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, М.: Наука
1982 Т.8,Т.10
16. Шпольский Э.В., Атомная физика, Т.1,М.Наука 1984, 14-20 с.
17. Бугаев А.И., Методика преподавания физики в средней школе
(теоретические вопросы), Москва 1981.
18. Камке Е Справочник по дифференциальным уравнениям6 М.:
Наука, 1979.
19. Филимонов С.Р., Судьба классического закона, Библиотека
Квант, выпуск 79, 1989, 65-82 с.
20. Хорошавин С.А., Техника и технология демонстрационного
эксперимента., М. Просвещение, 1978, 78-79 с.
21. Лекционный демонстрационный эксперимент /под ред. Иверо-
новой, М. Просвещение, 1976, 89 с.
22. Шахмаев Н.М., Павлов Н.И., Тыщук В.И., Физический экспе-
римент в средней школе, М. Просвещение, 1979, ч 1-2.
23. Городько А.Б., Романов Р.В., Компьютерное моделирование
процессов в электрическом колебательном контуре, тезисы докладов
3 Всеросийского (с участием стран СНГ) совещ ния-семинара "Приме-
нение средств вычислительной технки в учебном пр цессе кафедр фи-
зики, высшей и прикладной математики", Ульяновск, 12- сентября
1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск 1995, ч.2, с.28-29.
24. Городько А.Б., Романов Р.В., Компьютерное моделирование
опыта Милликена в курсе электромагнетизма, Тезисы XXII Толстовс-
ких чтений.