Задача динамического программирования
Тема : Задача динамического программирования.
I.Основные понятия и обозначения.
Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Рассмотрим пример такого процесса.
Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями : каждому из них выделяется какая-то доля средств.
Ставится вопрос : как в начале каждого года распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за N лет был максимальным?
Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс – функционирование группы предприятий. Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств. Управляющим воздействием (УВ) является выделене каких-то средств каждому из предприятий в начале года.
УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки.
Действительно, предположим, что в рассмотренной группе предприятий одни заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет. Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на производство машин. При этом объем продукции за первый год, естественно, снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее производство в последующие годы.
В формализме решения задач методом динамического программирования будут использоваться следующие обозначения:
N – число шагов.
– вектор,описывающий состояние системы на k-м шаге.
– начальное состояние, т. е. cостояние на 1-м шаге.
– конечное состояние, т. е. cостояние на последнем шаге.
Xk – область допустимых состояний на k-ом шаге.
– вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния xk-1 в состояние xk.
Uk –область допустимых УВ на k-ом шаге.
Wk – величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага.
S – общий выигрыш за N шагов.
– вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов.
Sk+1() – максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояниепри оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.
S1() – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состоянияв конечноепри реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S1(), если–фиксировано.
Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.
Условие отсутствия последействия. Состояние , в которое перешла система за один k-й шаг, зависит от состоянияи выбранного УВи не зависит от того, каким образом система пришла в состояние , то есть
Аналогично, величина выигрыша Wk зависит от состоянияи выбранного УВ , то есть
Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов вычисляется по формуле
Определение. Оптимальной стратегией управленияназывается совокупность УВ , то есть , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состоянияв конечноеи при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.
Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип оптимальности Белмана.
Принцип оптимальности. Каково бы ни было допустимое состояние системыперед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВна этом шаге так, чтобы выигрыш Wi на i-м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.
В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i-го года группе предприятийвыделяются соответственно средства:совокупность этих значений можно считать управлением на i-м шаге, то есть . Управлениепроцессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то есть .
Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления оценивается показателем S. Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления, чтобы величина S обратилась в максимум ?
Поставленная задача является задачей оптимального управления, а управление, при котором показатель S достигает максимума, называется оптимальным. Оптимальное управлениемногошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:
Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге(i=1,2,...N) и, значит, оптимальное управление всем процессом .
II. Идеи метода динамического программирования
Мы отметили, что планируя многошаговый процесс, необходимо выбирать УВ на каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще предстоящих шагах. Однако, из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один, который может планироваться без "заглядыва-ния в будущее". Какой это шаг? Очевидно, последний — после него других шагов нет. Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую выгоду. Спланировав оптимально этот последний шаг, можно к нему пристраивать предпоследний, к предпоследнему — предпредпоследний и т.д.
Поэтому процесс динамического программирования на 1-м этапе разворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется последний,
N-й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположения о том, чем кончился предпоследний, (N — 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое управление, при котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление (УОУ) на N-м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N — 1)-й шаг закончился определенным образом.
Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода
(N — 1)-го шага мы знаем УОУ на N-м шаге и соответствующий ему условно оптимальный выигрыш (УОВ). Теперь мы можем оптимизировать управление на предпоследнем, (N — 1)-м шаге. Сделаем все возможные предположения о том, чем кончился предпредпоследпий, то есть (N — 2)-й шаг, и для каждого из этих предположений найдем такое управление на (N — 1)-м шаге, чтобы выигрыш за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был максимален. Далее оптимизируется управ чение на (N — 2)-м шаге, и т.д.
Одним словом, на каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого в данный момент состояния. Этот принцип выбора управления , называется принципом оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге.
Теперь предположим, что УОУ на каждом шаге нам известно: мы знаем, что делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага. Тогда мы можем найти уже не "условное", а дейсгвительно оптимальное управление на каждом шаге.|
Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Теперь мы уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для первого шага и начального сосюяния. В результате этого управления после первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы знаем УОУ и г д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление процессом, приводящее к максимально возможному выигрышу.
Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс "проходится" дважды:
— первый раз — от конца к началу, в результате чего находятся УОУ| на каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах,начиная с данного и до конца процесса;
— второй раз — от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные управления на всех шагах процесса.
Можно сказать, что процедура построения оптимального управления
методом динамического программирования распадается на две стадии:
предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ, зависящее от состояния системы (достигнутого в результате предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага. Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном порядке: от последнего шага к первому; окончательная (безусловная) оптимизация — также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй трудности не представляет: остается только "прочесть" рекомендации, уже заготовленные на первой стадии.
III.Пример задачи динамического программирования
Выбор состава оборудования технологической линии.
Есть технологическая линия , то есть цепочка, последовательность операций.
На каждую операцию можно назначить оборудование только каго-то одного вида, а оборудования, способного работать на даннойоперации,-несколько видов.
Исходные данные для примера
i
1
2
3
j
1
2
1
2
1
2
10
8
4
5
8
9
12
8
4
6
9
9
20
18
6
8
10
12
Стоимость сырья
Расходы , связанные с использованием единицы оборудования j-го типа на i-ой операции
Производительности, соответственно, по выходу и входуидляj-готипа оборудования, претендующего на i-ую операцию.
Решение:
Для того, чтобы решить данную задачу методом динамического программирования введем следующие обозначения:
N = 3 – число шагов.
- Технологическая линия.
=(0,0,0)
= ( )
– выбор оборудования для i-ой операции.
Ui – область допустимых УВ на i-м шаге.
т.е.
Wi – оценка минимальной себестоимости, полученная в результате реализации i-го шага.
S – функция общего выигрышат. е. минимальная себестоимость .
- вектор – функция, описывающая переход системы из состояния в состояниепод действием УВ.
- вектор УВ на i-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния xi-1 в состояние xi , т.е. оптимальный выбор оборудования за Nшагов.
Si+1() – максимальный выигрыш ( в нашем случае минимальная себестоимость), получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояниепри оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.
S1() – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состоянияв конечноепри реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S1(), если = 0.
Запишем вектора допустимых значений
Запишем вектора допустимых управляющих воздействий
Запишем вектор – функцию, описывающую переход системы из состояния в состояниепод действием УВ.
Запишем основное функциональное уравнение
1) Обратный проход
Дляi=3
Учитывая то, что этот шаг у нас последний и следующей операции
уже не будет, а также то, что мы на обратном проходе, вместо функции
возьмем стоимость сырья
при=
при=
т. е.
Для i=2
при =
при =
при =
при=
т. е.
Дляi=1
при =
при =
при =
при ==
при =
при =
при=
при =
т. е.
2) Прямой проход
Учитывая то, чтои = (0,0,0)имеем
i=1
i=2
i=3
Таким образом оптимальный выбор составаоборудования технологической линии предполагает следующее:
На1-ую операцию назначим оборудование 2-го вида
На2-ую операцию назначим оборудование 1-го вида
На3-ью операцию назначим оборудование 2-го вида
Оценка минимальной себестоимости составит 105,5.
1