Исследование эмпирической зависимости
1. Введение
2. Исходные данные
3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости
3.1. Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах
3.2. Построение производной
3.3. Построение темпа производной
4. Исследование на приближение к степенной зависимости
4.1. Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости
4.2. Построение графика B?X
4.3. Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах
5. Заключение
6. Используемая литература
7. Приложение
1. Введение
Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения конкретного показателя в будущем.
В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени.
Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая зависимость.
В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как экспоненциальная зависимость и степенная зависимость.
2. Исходные данные
В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из книги «Историческая статистика Соединенных Штатов Америки» – Эмиграция в США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и стран Балтии с 1886 по 1915 год.
График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение).
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
(Венгрия, Австрия) (Литва, Эстония, Латвия, Финляндия)
3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости
3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах
Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид:
X=Cekt,
что является решением дифференциального уравнения:
dX/dt = KX .
Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t:
lnX = kt + lnC .
Эмиграция из Центральной Европы Эмиграция из СССР и стран Балтии
Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре.
Иными словами, если последовательность представляет собой экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах спрямляется.
По данному графику определяется темп роста, равный
K = ?2/?1 = (lnX2 – lnX1)/(t2-t1) ,
параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости.
Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение). Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости Эмиграции в США из Центральной Европы – 0,11, для графика зависимости Эмиграции из СССР и стран Балтии – 0,13.
3.2 Построение производной
Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле:
X?(ti) = (Xi – Xi-1)/(ti – ti-1) .
Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени. Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во времени увеличивается.
Эмиграция в США изЭмиграция в США из СССР и
Центральной Европы стран Балтии
3.3 Построение темпа производной
График изменения темпа производной строится с использованием формулы:
X?(ti)/X(ti) = (Xi – Xi-1)/Xi(ti – ti-1) .
Эмиграция в США из Эмиграция в США из
Центральной Европы СССР и стран Балтии
В результате построений получен график, представляющий собой колебания с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности.
4. Исследование на приближение к степенной зависимости
4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости
Степенная функция имеет вид:
X = X0(t – t0)B ,
который является решением дифференциального уравнения следующего вида:
dX\dt = BX/(t – t0) .
Производная степенной функции равна:
X? = BX0(t – t0)B-1 .
Темп роста степенной функции равен:
X?/X = B/(t – t0) ,
а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид:
X/X? = (t – t0)/B .
Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции, имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая пересекает ось абсцисс в точке t0.
Интеграл степенной функции вычисляется по формуле :
Y = X?(t – t0)B+1/B+1 .
А обратный темп роста интеграла равен:
Y?/Y = X/Y = (B+1)/(t – t0) .
Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле:
B = ctg? - 1 ,
или, другими словами, разности отношения приращения аргумента (?1) к приращению функции (?2) и 1.
Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по формуле:
Y/Y? = ?(X?t)/X .
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение).
Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших квадратов.
На основе данных графиков получены следующие значения параметров прямой:
* График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из Центральной Европы: t0 = 1877, B = 2.5
* График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и стран Балтии: t0 = 1875.5, B = 2.9
4.2 Построение графика B?X
Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального времени t0, построен график зависимости B?X от времени.
Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение).
Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика, ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых.
В результате проведенных построений определились значения t0. В обоих случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих построений.
* Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое значение t0 = 1890.
* Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое значение t0 = 1883.
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
4.3 Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах
Как было сказано выше, степенная функция имеет вид:
X = X0(t – t0)B .
Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT, где Т = t – t0:
LnX = lnX0 + Bln(t – t0) .
Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t0.
Для значений t0 (t – t0 = T1, t0= 1877 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1875,5 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности, графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение).
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой, проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в этом случае будет равняться
* Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,39;
* Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран БалтииВ = 2,73.
Для значений t0 (t – t0 = T2, t0 = 1890 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1883 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков B?X , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см. Приложение).
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные
* Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,44;
* Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран БалтииВ = 1,82.
5.Заключение
В результате проведенных исследований были построены графики эмпирических зависимостей и из них получено:
* эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11
* эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13
* эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров:
В=2,5 t0= 1877
В=2,39 t0= 1890
В=2,44
* эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров:
В= 2,9 t0= 1875,5
В= 2,73 t0= 1883
В= 1,82
6. Используемая литература
1. Statistical History of USA.