Решение транспортной задачи методом потенциалов
1. Линейная транспортная задача
2. Составление опорного плана
3. Метод потенциалов
3. Список использованной литературы
1. Транспортная задача.
Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m пунктов отправления, в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов. Имеется n пунктов назначения подавшие заявки соответственно на груза. Известны стоимости р i j перевозки единицы груза от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Все числа р i j, образующие прямоугольную таблицу заданы. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.
Далее, предполагается, что
где bi есть количество продукции, находящееся на складе i, и aj – потребность потребителя j.
Замечание. Если то количество продукции, равное остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n +1 с потребностью и положим транспортные расходы pi,n+1 равными 0 для всех i.
Если то потребность не может быть покрыта. В этом случае начальные условия должны быть изменены таким образом, чтобы потребность в продукции могла быть обеспечена.
Обозначим через xij количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j. В предложении (1) нам нужно решить следующую задачу (математическая модель транспортной задачи):
Cумма элементов строки i должна быть равна bi, а сумма элементов столбца j должна быть равна aj, и все должны быть неотрицательными.
Пример 1.
Такие задачи целесообразно решать при помощи особого варианта симплекс-метода – так называемого метода потенциалов.
Все транспортные задачи имеют оптимальное решение. Если все значение aj и bi в условиях транспортной задачи целочисленные, то переменные xij во всех базисных решениях (а так же и в любом оптимальном базисном решении) имеют целочисленные значения.
2. Составление опорного плана.
Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные способы, рассмотрим простейший, так называемый способ северо-западного угла. Пояснить его проще всего будет на конкретном примере:
Условия транспортной задачи заданы транспортной таблицей.
Минимальный элемент –7 ? (?, ?) = (2,5).
Кроме ячейки (?, ?) транспортной таблицы, мы пометим значками – и + другие занятые числами ячейки таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце транспортной таблицы число знаков + было равно числу знаков -. Это всегда можно сделать единственным образом, причем в каждой строке и в каждом столбце будет содержаться максимум по одному знаку = и по одному знаку -.
Знак + поставлен в ячейке (2,5). Соответственно в последнем столбце должен быть поставлен знак -, это можно сделать только в ячейке (3,5). Следовательно, знак + должен быть поставлен в последней строке. В ячейке с числом 10 этого сделать нельзя, так как тогда в соответствующем столбце не было бы знака -, и д.т.
Затем мы определяем минимум М из всех элементов, помеченных знаком -, и выбираем ячейку (?, ?), где этот минимум достигается.
В нашем примере с М = 5 можно выбрать (?, ?) = (2, 3); при этом (?, ?) определяет базисное переменное, которое должно стать свободным, т.е. базисное переменное, соответствующее индексу разрешающей строки симплекс – метода.
Переход к новой транспортной таблице (замена базиса) происходит следующим образом:
а). В ячейку (?, ?) новой таблицы записывается число М.
б). Ячейка (?, ?) остается пустой.
в). В других ячейках помеченных знаками – или +, число М вычитается из стоящего в ячейке числа (-) или складывается с ним (+). Результат вносится в соответствующую ячейку новой таблицы.
г). Непомеченные числа переносятся в новую таблицу без изменений. Остальные ячейки новой таблицы остаются пустыми.
Получается новая транспортная таблица, и повторяется ход предыдущих рассуждений. После конечного числа шагов критерий минимальности будет выполнен (если не учитывать теоретически возможного зацикливания в случае вырождения).
Пример 6. Ниже воспроизведен ход решения примера 1.
Первая транспортная таблица была получена в 1 главе (составление вспомогательной таблицы и второй транспортной таблицы описано выше). Затем по очередно находятся новая вспомогательная таблица и новая транспортная таблица до тех пор, пока (после четырех замен базисов) не будет достигнут минимум.
В вырожденном случае, как и в симплекс – методе, особый метод для предотвращения зацикливания применяется только тогда, когда после нескольких последовательных шагов М становится равным 0.
Если дана вырожденная транспортная таблица (её можно узнать поимеющемуся 0, то заменив am на am + n? и все bj на bj + ? , где ? ? 0 подразумевается очень малым, исправим значения базисных переменных так, что бы для новых ai и bj получилось базисное решение. Это всегда можно сделать единственным способом (как и при отыскании симплекс – множителей).
Если полученный таким образом элемент окажется отрицательным, то в этой же строке должен найтись положительный (ещё до изменения) элемент и в этом же столбце – положительный элемент . Тогда ячейка (s, r) свободна, отмечаем её знаком + и проводим замену базиса. Так можно избавиться от всех отрицательных значений*1.
Затем при помощи метода потенциалов расчеты продолжают дальше (вырождение уже никогда больше не встретится). Устремляя ? ? 0, приходим к оптимальному решению исходной задачи.
Список использованной литературы:
1. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования М.; Наука, 1976г.
2. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.; Наука, 1986г.
3. Моисеев Н.Н., Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.; Наука, 1978г.
4. Иванов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. – М.; Наука, 1979г.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.; Наука, 1986г.
1 Часто бывает достаточно везде заменить ? на -?.
13