Моделирование систем управления
1. Провести полный факторный эксперимент вида 3^3 с моделью BLACK BOX
2. Методом регрессионного анализа получить аналитическую зависимость
y=f(x1,x2,t)
3. Составить модель полученного уравнения регрессии.
4. Провести оценку адекватности уравнения регрессии заданной модели по критерию Фишера для ?=0,05, рассчитать среднее абсолютное отклонение координат аналитической модели от заданной.
5. Провести оценку значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента для ?=0,05
6. Получить графики ошибки
ym-yr=f(t)
ym - выходная координата модели BLACK BOX
yr - выходная координата созданной модели
Значения параметров:
x1= 0.6... -1.4
x2= 2.0... 0.6
t = 2... 10
b = 1.1
Экспериментальные данные.
1. Составим последовательность имитации эксперимента, исходя из данных курсового задания, и представим в матричной форме. Имитационная модель – это модель системы управления с введением случайной переменной погрешности b=1,1.
Необходимо найти аналитическое уравнение связи параметров системы и числовых знаковых коэффициентов. Уравнение регрессии имеет следующий вид:
Y=b0+?bixi+?bijxixj+?biixi2
bixi – линейная регрессия,
bijxixj- неполная квадратичная регрессия,
biixi2- квадратичная регрессия.
Схема для проведения экспериментов (приложение №1 Vissim 32)
Матричная форма имитационного эксперимента.
x0 x1 x2 x3=t x1*x2 x1*x3 x2*x3 x1*x1 x2*x2 x3*x3
1 0,6 2 10 1,2 6 20 0,36 4 100
1 0,6 2 6 1,2 3,6 12 0,36 4 36
1 0,6 2 2 1,2 1,2 4 0,36 4 4
1 0,6 1,3 10 0,78 6 13 0,36 1,69 100
1 0,6 1,3 6 0,78 3,6 7,8 0,36 1,69 36
1 0,6 1,3 2 0,78 1,2 2,6 0,36 1,69 4
1 0,6 0,6 10 0,36 6 6 0,36 0,36 100
1 0,6 0,6 6 0,36 3,6 3,6 0,36 0,36 36
1 0,6 0,6 2 0,36 1,2 1,2 0,36 0,36 4
1 -0,4 2 10 -0,8 -4 20 0,16 4 100
1 -0,4 2 6 -0,8 -2,4 12 0,16 4 36
1 -0,4 2 2 -0,8 -0,8 4 0,16 4 4
1 -0,4 1,3 10 -0,52 -4 13 0,16 1,69 100
1 -0,4 1,3 6 -0,52 -2,4 7,8 0,16 1,69 36
1 -0,4 1,3 2 -0,52 -0,8 2,6 0,16 1,69 4
1 -0,4 0,6 10 -0,24 -4 6 0,16 0,36 100
1 -0,4 0,6 6 -0,24 -2,4 3,6 0,16 0,36 36
1 -0,4 0,6 2 -0,24 -0,8 1,2 0,16 0,36 4
1 -1,4 2 10 -2,8 -14 20 1,96 4 100
1 -1,4 2 6 -2,8 -8,4 12 1,96 4 36
1 -1,4 2 2 -2,8 -2,8 4 1,96 4 4
1 -1,4 1,3 10 -1,82 -14 13 1,96 1,69 100
1 -1,4 1,3 6 -1,82 -8,4 7,8 1,96 1,69 36
1 -1,4 1,3 2 -1,82 -2,8 2,6 1,96 1,69 4
1 -1,4 0,6 10 -0,84 -14 6 1,96 0,36 100
1 -1,4 0,6 6 -0,84 -8,4 3,6 1,96 0,36 36
1 -1,4 0,6 2 -0,84 -2,8 1,2 1,96 0,36 4
Матрица значений полученных в результате эксперимента.
y0 y1 y2 y3 y4 Ysr
235,09 235,41 235,727 234,95 236,37 235,51
134,71 136,34 136,881 135,22 135,76 135,78
67,067 68,544 67,82 68,197 68,574 68,04
140,38 140,7 141,017 140,24 141,66 140,8
60,996 62,634 63,171 61,508 62,046 62,071
14,357 15,834 15,11 15,487 15,864 15,33
64,287 64,606 64,926 64,146 65,565 64,706
5,906 7,544 8,081 6,418 6,956 6,981
-19,73 -18,26 -18,979 -18,6 -18,23 -18,759
100,25 100,57 100,887 100,11 101,53 100,67
65,866 67,504 68,041 66,378 66,916 66,941
64,227 65,704 64,98 65,357 65,734 65,2
-9,162 -8,843 -8,523 -9,303 -7,884 -8,743
-22,54 -20,91 -20,368 -22,03 -21,49 -21,468
-3,182 -1,705 -2,429 -2,052 -1,675 -2,2086
-99,95 -99,63 -99,313 -100,1 -98,67 -99,533
-92,33 -90,7 -90,158 -91,82 -91,28 -91,258
-51,97 -50,5 -51,219 -50,84 -50,47 -50,999
-53,19 -52,87 -52,553 -53,33 -51,91 -52,773
-21,57 -19,94 -19,398 -21,06 -20,52 -20,498
42,787 44,264 43,54 43,917 44,294 43,76
-177,3 -177 -178,663 -177,4 -176 -177,28
-124,7 -123 -122,509 -124,2 -123,6 -123,61
-39,32 -37,85 -38,569 -38,19 -37,82 -38,349
-282,8 -282,5 -282,153 -282,9 -281,5 -282,37
-209,2 -207,5 -206,999 -208,7 -208,1 -208,1
-102,8 -101,3 -102,059 -101,7 -101,3 -101,84
Вычислим коэффициенты B по формуле
B=(XTX)-1XTYsr
XT – транспонированная матрица
Ysr- средние экспериментальные значения
b0 -29,799251
b1 13,6541852
b2 9,96405181
b3 -15,946707
b4 -21,000048
b5 16,508325
b6 7,50010119
b7 -9,3224778
b8 19,0904535
b9 0,99813056
Вычисления производились в Microsoft Excel по следующей формуле
=МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП (Хматрица);Хматрица));ТРАНСП(Хматрица));Yматрица)
Полученные коэффициенты подставим в уравнение регрессии и построим схему для проведения эксперимента (приложение №2,3 Vissim 32) и проведем эксперимент без использования дельты или шума.
Внесем полученные данные в столбец (Yip) таблицы.
Ysr Si кв Yip (Yi-Yip)2
235,51 0,3219 234,7 0,61090
135,78 0,7492 135,5 0,06574
68,04 0,3897 68 0,00163
140,8 0,3219 140 0,68327
62,071 0,75 61,77 0,09060
15,33 0,3897 15,25 0,00646
64,706 0,3214 63,93 0,60218
6,981 0,75 6,73 0,06300
-18,759 0,3897 -18,78 0,00046
100,67 0,3219 99,93 0,54258
66,941 0,75 66,73 0,04452
65,2 0,3897 65,21 0,00009
-8,743 0,3214 -9,51 0,58829
-21,468 0,75 -21,71 0,05856
-2,2086 0,3897 -2,23 0,00046
-99,533 0,3216 -100,3 0,51380
-91,258 0,75 -91,45 0,03686
-50,999 0,3897 -50,97 0,00082
-52,773 0,3214 -53,48 0,49985
-20,498 0,75 -20,68 0,03312
43,76 0,3897 43,79 0,00088
-177,28 0,9015 -177,6 0,12013
-123,61 0,7492 -123,8 0,04902
-38,349 0,3897 -38,35 0,00000
-282,37 0,3219 -283,1 0,48525
-208,1 0,7492 -208,3 0,02938
-101,84 0,3892 -101,8 0,00240
?Si=13,73 ?=5,13026
Так как результаты опытов обладают статической неопределенностью, поэтому опыты воспроизводим несколько раз при одних и тех же значениях факторов для повышения точности коэффициентов регрессии за счет эффекта понижения дисперсии.
n=27- экспериментов
m=10 – количество членов уравнения
Si2=1/g-1??(Ygi-Yi)2, g- количество экспериментов ( 5)
Sy2=1/n??Si2
S0= ?(Yi-Yip)2/n-m – среднеквадратичная ошибка на степень свободы
?=?|Yi-Yip|/n – среднее обсолютное отклонение между расчетными значениями
Адекватность вида регрессии уравнения определяется по критерию Фишера, а значимость коэффициентов по критерию Стьюдента и доверительного интервала на его основе.
Fрасч= S02/Sy2?Fтабл(?, n-m)
Fтабл=1,77,
?=0,05 – уровень значимости
1-??р – вероятность с которой уравнение будет адекватно.
n-m==>27-10=17 – число степеней свободы
S?bj2=Sy2/n - дисперсия коэффициентов взаимодействия
?bj=?tc* ? Sy2/ ? n
tc=2,12
Sy2 0,5085 Fрасч. 1,08031201
So 0,5493 Sg2 0,01883355
? 0,4359 ?bj 0,29093901
p 0,95
Fтабл=1,75? Fрасч.= 1,08, значит система адекватна.
Уравнение регрессии примет вид.
Y=-29,79+13,65x1+9,96x2-15,94x3-21x1x2+16,5x1x3 +7,5x2x3-9,32x12+19,09x22+0,99x32
График ошибки (см. приложение № 4).
Вывод.
Исходя из полученных значений сделаем вывод, что полученная система очень мало отличается от заданной.
Уравнения адекватны
Коэффициенты значимы
Приложение № 1
Приложение № 2