Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью
1.Изучить общие сведения и формулы.
2.Построить зависимость электрической компоненты поля от глубины проникновения.
3.Вычислить затухание на глубине Н=0,5 м, ?=10 м, в пресной воде (?=80, ?=10-3 См/м)
Введение
Распространение электромагнитных волн широко рассматривается в литературе, но в ней большое внимание уделяется распространению волн в диспергирующих средах и законам геометрической оптики. В данной работе рассматривается связь характеристик распространения с параметрами среды и затухание элекромагнитных волн в средах с конечной проводимостью
Основная часть
1. Вывод уравнений для плоских волн
Рассмотрим электромагнитный волновой процесс, векторы и которого могут быть представлены в виде
=(?,t), =(?,t) (1.1)
Рис. 1.1. Направление распространения плоской волны
Здесь (рис. 1.1.) есть расстояние от начала координатной системы до плоскости
а является постоянным единичным вектором. Так как производные по координатам будут равны и т. д., то
(1.2)
(1.3)
Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид
(1.4)
,
Последние два уравнения означают независимость проекций и на направление распространения от координаты ?, т. е. E? =const и H?=const в данный момент времени. Исследуем их поведение во времени. Для этого второе уравнение (1.4) умножим скалярно на :
Так как
то
и
или , т.е. dH? = 0, H? = const. Для исследования поведения E? умножим скалярно первое из уравнений (1.4) на :
Так как , получаем
Прибавим к этому равенству
Следовательно, при конечной ? компонента E? экспоненциально убывает со временем, т. е. статическое электрическое поле не может поддерживаться внутри проводника.
Найдем уравнения для и отдельно. Для этого продифференцируем по t первое из уравнений (1.4)
Найдем из второго из уравнений (1.4), продифференцировав его по ?:
Получаем
откуда
, так как
Отсюда следует
(1.6)
Аналогично
(1.7)
Эти уравнения можно решить методом разделения переменных, идем решение для комплексной амплитуды Е поля , Положив
E=f1(?)f2(?)
Получаем
(1.8)
Общее решение для f1 будет
Частное решение для f2 возьмем в виде
Таким образом, решением для будет выражение
Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для
Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим
откуда
Так как ? в этом равенстве может принимать любые значения, коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:
Поэтому
(1.9)
Отсюда следует ()=0 (так как ([])=0), т. е. векторы и ортогональны к направлению и друг к другу.
2. Связь характеристик распространения с параметрами среды
Установим связь между р и k. Из (1.8) получим
(2.1)
Если задана периодичность в пространстве, т. е. k, то р можно найти из уравнения (2.1)
Тогда
где
Распространение возможно, если q действительно. Волновой процесс, в котором поверхности равных амплитуд и поверхности равных фаз являются плоскостями, называется плоской волной. Простейшим случаем плоской волны является плоская однородная волна. В плоской однородной волне плоскости равных амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Фазовая скорость такой волны будет равна
Если , то q — мнимое, и распространения нет: существует
пространственная периодичность по ? и монотонное затухание. Начальная форма волны не смещается вдоль оси ?, волновое явление вырождается в диффузию.
Частный случай временной зависимости р = i?. Тогда
(2.2)
Таким образом, при волновое число k комплексно. Обозначим k=?+i?, где ? — фазовая константа, ? — коэффициент затухания. Тогда
(2.3)
Следовательно, при р=i? имеет место волновой процесс с затуханием, если .
Исследуем фазовую скорость волны в среде с конечными ? и ?. Поскольку волновое число комплексно: k=?+i?, имеем
(2 считаем равным нулю).
В общем случае 1 также комплексно: ,
где ?, ?, , ? — действительные числа. Отсюда получаем выражение фазовой скорости
Действительно, так как представляет скорость, с которой движется плоскость постоянной фазы
=const
то
откуда
Для определения степени затухания и фазовой скорости нужно вычислить ? и ?. Из уравнений (2.3) получаем
Введем обозначение
тогда
или
Здесь нужно оставить знак +, так как ? — действительное число
(2.4)
Аналогично получим для ?
(2.5)
Отсюда находим фазовую скорость
(2.6)
Зависимость фазовой скорости от частоты сложная: если ?, ?, ? не зависят от частоты, то с увеличением ? фазовая скорость увеличивается, т. е. в сложной волне гармоники убегают вперед.
Рассмотрим зависимость поглощения ?, определяемого равенством (2.5), от электрических характеристик среды. Член представляет отношение , так как . Следовательно,
Но , поэтому при tg?<<1
Ограничившись двумя членами разложения, получим
(2.7)
Следовательно, по поглощению волны можно определить tg?:
при (единица длины) получаем
Измеряется ? в неперах
или в децибелах
где P — мощность.
В случае малых tg? зависимость ? от частоты пренебрежимо мала, так как
В случае tg?>> 1 формулы (2.4), (2.5) можно упростить и привести к виду
Фазовая скорость
3. Вычисление затухания в данной среде
Электромагнитная волна ?=10м проникает в воду пресного водоема (?=80, ?=10-3См/м) на глубину 0,5м.
, tg?<<1
1/м
, на глубине 0,5 м
Список использованной литературы
1. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн.-М.: Изд-во МГУ,1968.
2. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны.-М.:Сов.Радио, 1957.
3. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение волн.-М.: Высш.шк., 1992.
4. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах.-М.: Наука,1973.
5. Тамм И.Е. Основы теории электричества.-М.: Наука, 1989.
6.
2