В. Математическая трактовка индукции.
.В. Математическая трактовка индукции.
Со времени Лапласа делались различные попытки показать, что вероятная истинность индуктивного вывода вытекает из математической теории вероятности. Теперь всеми признается, что все эти попытки были безуспешными и что если индуктивные доказательства должны быть действенными, то это должно быть в силу какой-либо внелогической характеристики действительного мира в его противоположности различным логически возможным мирам, какие только могут представляться умственному взору логика.
Первое из таких доказательств принадлежит Лапласу. В своей истинной, чисто математической форме оно имеет следующий вид:
Имеется n+1 сумок, сходных друг с другом по внешнему виду, каждая из которых содержит n шаров. В первой — все шары черные; во второй — один белый и все остальные черные; r +1-й сумке r шаров белые и остальные черные. Из этих сумок выбирается одна, состав которой неизвестен, и из нее вынимается m шаров. Все они оказываются белыми. Какова вероятность, (а) что следующий вынутый шар будет белым, (б) что мы выбрали сумку, состоящую из одних белых шаров?
Ответ таков: (а) шанс, что следующий шар будет белым, равен (n +1)/(m +2), (б) шанс, что мы выбрали сумку, в которой все шары белые, равен (m +1)/(n +1). Этот правильный результат имеет непосредственную интерпретацию на основе конечно-частотной теории. Но Лаплас делает вывод, что если m членов А оказались членами В, то шанс, что следующий А будет равен В, равен (m+1)/(m +2), и что шанс, что все А суть В, равен (m +1)/(n +1). Он получает этот результат с помощью допущения, что при данном числе n объектов, о которых мы не знаем ничего, вероятности, что 0, 1, 2, ..., n из этих объектов суть B, все равны. Это, конечно, является абсурдным допущением. Если мы заменим его несколько менее абсурдным допущением, что каждый из этих объектов имеет равный шанс быть или не быть В, то шанс, что следующий А будет В, остается равным 1/2, как бы много А ни оказались B.
Даже если бы его доказательство было принято, общая индукция остается невероятной, если n гораздо больше, чем m, хотя частная индукция может быть в высокой степени вероятной. В действительности же, однако, его доказательство является только историческим раритетом.
Кейнс в своей книге "Трактат о вероятности" сделал наилучшее, что только может быть сделано для индукции на чисто математической основе, и решил, что она неадекватна. Его результат следующий.
Пусть g будет обобщение, х1, x2; ... — наблюденные случаи, благоприятные для обобщения, и h — общие обстоятельства, поскольку они относятся к делу.
Допустим
Пусть
Таким образом, Pn есть вероятность общей индукции после n благоприятных случаев. Напишем д вместо отрицания д и P0 вместо g/h, то есть априорной вероятности обобщения. Тогда
По мере того как n увеличивается, эта дробь стремится к 1 как пределу, если
стремится к нулю как пределу; а это случится, если имеются конечные количества e и j такие, что для всех достаточно больших r
Рассмотрим эти два условия. Первое говорит, что имеется количество 1 — е, меньшее, чем 1, такое, что если обобщение ложно, то вероятность того, что следующий случай будет благоприятным, после определенного числа благоприятных случаев будет всегда меньше, чем это количество. Рассмотрим в качестве примера его ошибочности обобщение "все числа суть непростые". По мере того как мы движемся по ряду чисел, простые числа становятся более редкими, и шанс, что следующее число после г непростых будет само непростое, возрастает и стремится к достоверности как пределу, если г удерживается постоянным. Это условие, следовательно, может оказаться недостаточным.
Но второе условие, что д должно еще до начала индукции иметь вероятность, большую, чем какая-либо конечная вероятность, гораздо труднее. В общем трудно найти какой-либо способ оценки этой вероятности. Какова была бы вероятность предложения "Все лебеди белые" для человека, который никогда не видел лебедя или ничего не слышал о цвете лебедей? Такие вопросы и темны и неопределенны, и Кейнс признает, что они делают его результат неудовлетворительным. Я вернусь к этому вопросу в главе II части шестой. Имеется одно простое предположение, которое способно дать ту конечную вероятность, которой хочет Кейнс. Предположим, что число вещей во вселенной конечно, скажем N. Пусть бета будет классом, состоящим из n вещей, и пусть а будет произвольным набором m вещей. Тогда число возможных альфа будет
а число тех, которые содержатся в ,бета, будет
Следовательно, шанс, что все а суть р, равен
что является конечным. Это значит, что каждое обобщение, в отношении которого мы не имеем свидетельства, имеет конечный шанс быть истинным.
Я боюсь, однако, что если N такое большое, как полагал Эддингтон, то число благоприятных случаев, необходимых для того, чтобы сделать индуктивное обобщение вероятным в любой высокой степени, намного превосходило бы то, которое является практически достижимым. Следовательно, этот способ избежания трудностей, будучи блестящим в теории, не может служить для оправдания научной практики.
Индукция в развитых науках действует по системе, несколько отличающейся от простого перечисления. Прежде всего в науках имеется совокупность наблюденных фактов, затем совместимая со всеми фактами общая теория и затем выводы из теории, которые последующее наблюдение или подтверждает, или отвергает. Доказательство здесь зависит от принципа обратной вероятности. Пусть p будет общей теорией, h — ранее известным данным и q — новым экспериментальным данным, относящимся к р. Тогда
В случае, имеющем наибольшее значение, q вытекает из p и h, так что q/ph = 1. В этом случае, следовательно,
Из этого следует, что если q/h очень мало, то верификация q сильно повышает вероятность P. Это, однако, не имеет тех следствий, на которые можно было бы надеяться. Поставив "p" вместо "не-p ", мы имеем
fq/h = pq/h + pq/h = p/h + pq/h,
потому что при данном h, р имплицирует q. Таким образом, если
то мы имеем
Это будет высокой вероятностью, если у мало. Два обстоятельства могут сделать у малым: (1) если p/h велико; (2) если pq/h мало, то есть если q было бы невероятным, если р было бы ложным. Трудности в способе оценки этих двух факторов в значительной степени те же самые, как и те, которые имеются в рассуждении Кейнса. Для того чтобы получить оценку p/h, нам понадобится какой-либо способ числового выражения вероятности р до специального свидетельства, которое дает эту вероятность и совсем нелегко найти, как это можно сделать. Единственное, что кажется ясным, это то, что если закон, о существовании которого мы подозреваем, должен иметь доступную вероятность до всякого свидетельства в его пользу, то это должно происходить в силу какого-либо принципа, говорящего о том, что какой-то очень простой закон должен быть истинным. Но это трудный вопрос, и я вернусь к нему позже.
Вероятность pq/h в некоторых видах случаев более доступна приблизительной оценке. Возьмем случай открытия планеты Нептун. В этом случае р есть закон тяготения, h — наблюдения движений планет до открытия Нептуна и q — существование Нептуна в том месте, где, по вычислениям, он должен быть. Таким образом, pq/h есть вероятность того, что Нептун будет там, где он на самом деле находился, если дано, что закон тяготения ложен. Здесь мы должны сделать оговорку в отношении того смысла, в котором мы употребляем в данном случае слово "ложный". Было бы неправильно рассматривать теорию Эйнштейна как показывающую, что теория Ньютона "ложна" в рассматриваемом здесь смысле. Все количественные научные теории, если они устанавливаются, то должны устанавливаться с допуском минимальной ошибки; если это сделано, то теория тяготения Ньютона в отношении движений планет остается истинной.
Приводимое ниже доказательство выглядит обнадеживающим, но на самом деле не является действенным.
В нашем случае независимо от р или какого-либо другого общего закона h не имеет отношения к q; это значит, что наблюдения за другими планетами не делают существование
Нептуна ни более, ни менее вероятным, чем это было до наблюдений. Что касается других законов, то закон Боде мог бы считаться делающим более или менее вероятным то, что существует планета, имеющая более или менее орбиту Нептуна, но этот закон не указывал бы на ту часть ее орбиты, на которой она находилась в данное время. Если мы предположим, что закон Боде, как и всякий другой относящийся сюда закон, кроме закона тяготения, сообщает вероятность х предположению о планете, приблизительно находящейся на орбите Нептуна, и предположим, что видимое положение Нептуна было вычислено с допуском минимальной ошибки v, тогда вероятность нахождения Нептуна там, где он на самом деле находился, была бы v/2Пи. При этом и было очень мало и нельзя считать, что х было большое. Следовательно, pq/h, которое было х v/2Пи, было, конечно, очень мало. Предположим, что мы берем х равным 1/10, а и равным 6 минутам, тогда
Следовательно, если мы предположим, что p/h= 1/36, мы будем иметь у = 1/1000 и
Таким образом, даже в том случае, если — до открытия Нептуна — закон тяготения был столь же невероятен, как и двойная шестерка на игральных костях, он имел после этого шансы 1000 к 1 в свою пользу.
Это доказательство, распространенное на все наблюденные факты движений планет, ясно показывает, что если закон тяготения имел даже и очень небольшую вероятность в то время, когда он был впервые сформулирован, то он скоро стал действительно достоверным. Но это не помогает нам измерить эту первоначальную вероятность и, следовательно, не могло бы, даже будучи правильным, дать нам прочное основание для теоретического вывода от наблюдения к теории.
Более того, вышеприведенное доказательство не защищено от возражения ввиду того, что закон тяготения не является единственным законом, который ведет к ожиданию, что Нептун окажется там, где он был на самом деле. Предположим, что закон тяготения был истинен до времени t, где t есть любой момент после открытия Нептуна; тогда мы все же имели бы q/p'h= 1, где р' есть предположение, что закон был истинен только до времени t. Следовательно, имелось лучшее основание ожидать нахождения Нептуна, чем это вытекало бы из чистого шанса или из шанса вместе с законом Боде. В высокой степени вероятным сделалось то, что закон имел силу до этого. Для вывода, что он будет иметь силу и в будущем, требовался принцип, не выводимый из чего-либо в математической теории вероятности. Это соображение разрушает всю силу индуктивного доказательства общих теорий, если это доказательство не подкрепляется каким-либо принципом вроде такого, каким считается принцип единообразия природы. Здесь снова мы находим, что индукция нуждается в поддержке какого-либо внелогического общего принципа, не основанного на опыте.