Б. Выводные экзистенциальные высказывания.

Б. Выводные экзистенциальные высказывания.

Форма слов, содержащая неопределенную переменную, например "х есть мужчина", называется "пропозициональной функцией", если эта форма слов становится высказыванием, когда переменной приписывается какое-либо значение. В русских переводах книг по математической логике иногда вместо термина "пропозициональная функция" употребляется термин "функция-высказывание". Мы предпочитаем держаться ближе к оригинальному термину — prepositional function,. Таким образом, "х есть мужчина" не является ни истинным высказыванием, ни ложным, но, если я вместо "х" поставлю "г-н Джоунз", я получу истинное предложение (высказывание), а если я поставлю "г-жа Джоунз", то получу ложное.

Помимо приписывания значения переменной "х", существуют два других способа получения предложения из пропозициональной функции. Один заключается в утверждении, что все предложения, полученные в результате приписывания значений переменной "х", истинны; другой состоит в утверждении, что по крайней мере одно из них истинно. Если "f(x)" есть функция, о которой идет речь, то мы назовем первое из этих утверждений "f(x) всегда", а другое — "f(x) иногда" (где подразумевается, что "иногда" значит "по крайней мере однажды). Если "f(x)" есть "х не есть человек" или "х смертен", то мы можем утверждать "f(x) всегда"; если же "f(x)" есть "х есть человек", то мы можем утверждать "f(x) иногда", что мы могли бы обычным способом выразить, сказав:

"существуют люди". Если "f(x)" есть "Я встретил х" и "х есть человек", то "f(x) иногда" есть "Я встретил по крайней мере одного человека".

Мы называем "f(x) иногда" "экзистенциальным высказыванием", потому что оно говорит, что нечто, имеющее свойство f(x), "существует". Например, если бы вы захотели сказать:

"Единороги существуют",— вы должны были бы сначала определить высказывание: "х есть единорог", а затем утверждать, что имеются такие значения х, для которых это высказывание является истинным. В обычном языке слова "некоторый", "один", "этот" указывают на экзистенциальные высказывания.

Существует один очевидный способ, с помощью которого мы получаем знание экзистенциальных высказываний,— это с помощью примеров. Если я знаю "f(a)", где о есть некоторый известный мне объект, то я могу вывести "f(x) иногда". Вопрос, который я хочу обсудить, заключается в том, является ли это единственным способом, с помощью которого мы можем прийти к знанию таких предложений. Я хочу показать, что этот способ не единственный.

В дедуктивной логике существует только два способа, посредством которых экзистенциальные высказывания могут быть доказаны. Одним из них является вышеприведенный, когда "f(x) иногда" выводится из "f(a)"; другой — тот, когда одно экзистенциальное высказывание выводится из другого, например: "Существуют двуногие существа" выводится из "Существуют не имеющие перьев двуногие существа". Какие другие методы возможны в недедуктивном выводе?

Индукция, если она правильна, дает другой метод. Допустим, что существуют два класса А и В и такое отношение R, что в каком-то числе наблюденных случаев мы имеем (ставя "aRb" вместо "о имеет отношение R к b")

a1 есть А b1 есть B. a1Rb1

a2 есть А. b2 есть B. a2Rb2,

……………………………..

an есть А. bn есть B anRbn

и допустим, что мы не имеем противоположных случаев. Тогда во всех наблюденных случаях, если a есть А, то есть и В, к которому а имеет отношение R. Если случаи таков, что индукция к нему применима, то мы делаем вывод, что, вероятно, каждый член А имеет отношение R к какому-либо члену В. Следовательно, если an+1 есть следующий наблюдаемый член А, то мы выводим как вероятное: "Имеется такой член В, к которому an+1 имеет отношение R". И действительно, мы делаем этот вывод во многих случаях, когда мы не можем в качестве доказательства указать на какой-либо отдельный член В, такой, какой мы вывели. Обращаясь к ранее приведенному примеру, скажем, что все мы верим, что, вероятно, у Наполеона III был отец. Даже солипсист, если он и позволяет себе иметь какие-либо взгляды в отношении своего будущего, не может избежать такого рода индукции. Допустим, например, что наш солипсист страдает от перемежающегося ишиаса, который беспокоит его каждый вечер; он может сказать на индуктивных основаниях: "Вероятно, я буду испытывать боль в 9 часов сегодня вечером". Это вывод о существовании чего-то, выходящего за пределы его настоящего опыта. "Но,— можете вы сказать,— это не выходит за пределы его будущего опыта". Если вывод правилен, то он не выходит за них; но вопрос заключается в том, как он может знать теперь, что этот вывод, вероятно, правилен. Вся практическая полезность научного вывода состоит в приведении оснований для предвидения будущего; когда будущее наступает и оправдывает вывод, воспоминание замещает вывод, который становится больше ненужным. Мы должны, следовательно, найти основание для доверия к выводу еще до его верификации. Я вызываю весь мир на поиски таких оснований для доверия к выводам, которые будут верифицированы в будущем, которые не являются вместе с тем основаниями для доверия к некоторым выводам, которые не будут ни верифицированы, ни фальсифицированы, вроде, например, вывода об отце Наполеона III.

Мы снова стоим перед вопросом: при каких обстоятельствах индукция оказывается верной? Не имеет смысла говорить: "Индукция верна, когда из нее выводится нечто такое, что последующий опыт верифицирует. Это не имеет смысла потому, что это ограничило бы индукцию теми случаями, в которых она бесполезна. Мы должны еще до опыта иметь основания для ожидания чего-либо, и такие основания могут привести нас к вере во что-либо такое, чего мы не можем иметь в опыте, например к вере в мысли и чувства других людей. И действительно, по поводу понятия "опыт" возникло чересчур много волнений и всякой излишней суеты.

Опыт необходим для наглядного определения и, следовательно, для всякого понимания значений слов. Но предложение "У А был отец" вполне понятно, даже если я не имею никакого представления о том, кто был отцом А. Если отцом А был В, то "В" не является составной частью утверждения "У А был отец" или любого утверждения, содержащего слова "отец А", но не содержащего имени "В". Точно так же я могу понять предложение "Существовала крылатая лошадь", хотя таковой никогда не было, потому что это утверждение значит, что, ставя "f(x)" вместо "х имеет крылья и является лошадью", я утверждаю, что "f(x) иногда". Это нужно понимать так, что "х" не есть составная часть высказывания "f(x) иногда" или высказывания "f(x) всегда". На самом деле "х" ничего не значит. Вот почему начинающим так трудно уяснить, что оно значит.

Когда я делаю вывод о чем-либо, не данном в опыте,— независимо от того, буду или не буду иметь это в опыте в будущем,— мой вывод никогда не бывает выводом о чем-либо таком, что я могу назвать, а лишь выводом об истинности экзистенциального высказывания. Если индукция всегда верна, то существует возможность узнать об истинности экзистенциальных высказываний без знания каких-либо частных случаев их истинности. Допустим, например, что А есть класс, некоторые члены которого нам известны по опыту, и что мы делаем вывод, что некий член класса А будет иметь место. Мы должны только подставить "будущие члены А" вместо "члены А" для того, чтобы наш вывод был применим к классу, ни одного случая которого мы не можем назвать.

Я склонен думать, что правильные индукции и вообще выводы, выходящие за пределы моего личного прошлого и настоящего опыта, всегда зависят от причинения, иногда дополненного аналогией. Но это предмет обсуждения следующей главы; в этой же главе я хотел только устранить некоторые априорные возражения против некоторых видов вывода — возражения, которые, хотя и являются априорными, все же выдвигаются теми, кто воображает себя способным обходиться совсем без всякого a prior/.