1. Законы Ньютона

1. Законы Ньютона

Рассмотрим теперь более подробно механистическое мировоззрение, возникшее на основе трудов Галилея, Ньютона и их преемников. Мы опишем сильные сторо­ны этого мировоззрения, укажем те аспекты природы, которые ему удалось прояснить, не обойдем молчанием и присущие ему ограничения.

Со времен Галилея одной из центральных проблем физики было описание ускорения. Самым удивитель­ным было то, что изменение в состоянии движения те­ла допускало описание в простых математических тер­минах. Ныне это обстоятельство кажется почти триви­альным. Не следует, однако, забывать о том, что ки­тайская наука, добившаяся значительных успехов во многих областях, так и не смогла дать количественную формулировку законов движения. Галилей открыл, что если движение равномерно и прямолинейно, то необхо­димость в поиске причины такого состояния движения ничуть не больше, чем в поиске причины состояния по­коя. И равномерное прямолинейное движение и покой сохраняют устойчивость сколь угодно долго — до тех пор пока не происходит что-нибудь, нарушающее их. Следовательно, центральной проблемой является пере­ход от состояния покоя к движению и от движения — к состоянию покоя или, более общо, проблема измене­ния любых скоростей. Как происходят такие измене­ния? Формулировка законов движения Ньютона осно­вана на использовании двух конвергентных направле­ний развития: одного физического (законы движения планет Кеплера и законы свободного падения тел Га­лилея) и другого математического (создание дифференциального исчисления, или исчисления бесконечно малых).

Как определить непрерывно изменяющуюся ско­рость? Как описать мгновенные изменения различных величин: положения тела, скорости и ускорения? Как описать состояние движения тела в любой заданный момент? Чтобы ответить на эти вопросы, математики ввели понятие бесконечно малой величины. Любая бес­конечно малая величина есть результат некоторого предельного перехода. Обычно это приращение величи­ны между двумя последовательно выбранными момен­тами времени, когда длина разделяющего их временно­го интервала стремится к нулю. При таком подходе конечное изменение разбивается на бесконечный ряд бесконечно малых изменений.

В каждый момент времени состояние движущегося тела можно задать, указав его положение — вектор r, скорость v, характеризующую «мгновенную тенденцию» r изменению положения, и ускорение а, также харак­теризующее «мгновенную тенденцию» к изменению, но уже не положения, а скорости. Мгновенные скорости и ускорения — это пределы отношений двух бесконечно малых величин: приращения r (или v) за временной интервал Dt и самого временного интервала Dt, когда Dt стремится к нулю. Такие величины называются про­изводными по времени. Со времен Лейбница их приня­то обозначать соответственно как v=dr/dt и a=dv/dt. Ускорение, будучи «производной от производной», ста­новится второй производной: a=dr/di. Проблема, на­ходящаяся в центре внимания всей ньютоновской фи­зики, — вычисление этой второй производной, т. е. ускорения, испытываемого в любой заданный момент материальными точками, образующими некую систему. Движение каждой из точек за конечный интервал вре­мени может быть вычислено с помощью интегрирова­ния — суммирования бесконечно большого числа бес­конечно малых приращений скорости за этот интервал времени. В простейшем случае ускорение а постоянно (например, если тело падает свободно, то а равно ус­корению свободного падения g). В общем случае ус­корение изменяется со временем, и задача физика со­стоит в том, чтобы точно установить характер этого из­менения.

На языке Ньютона найти ускорение означает определить различные силы, действующие на точки рас­сматриваемой системы. Второй закон Ньютона (F=ma) утверждает, что сила, приложенная к любой материальной точке, пропорциональна производимому ею ускорению. В случае системы материальных точек задача несколько усложняется, так как силы, действую­щие на заданное тело, в каждый момент времени за­висят от относительных расстояний между телами сис­темы и поэтому изменяются со временем в результате ими же производимого движения.

Любая задача динамики представима в виде систе­мы дифференциальных уравнений. Мгновенное состоя­ние каждого из тел системы описывается как мгновен­ное состояние материальной точки и определяется за­данием его положения, скорости и ускорения, т. е. пер­выми и вторыми производными от вектора r, задающе­го положение тела. В каждый момент времени система сил, зависящая от расстояний между точками системы (т. е. от r), однозначно определяет ускорение каждой точки. Ускоренное движение точек приводит к измене­нию расстояний между ними и, следовательно, системы сил, действующих на них в следующий момент.

Если запись дифференциальных уравнений означа­ет постановку динамической задачи, то их интегрирова­ние соответствует решению этой задачи. Интегрирова­ние сводится к вычислению траекторий r(t), в которых содержится вся информация, существенная для дина­мики. Она дает полное описание динамической систе­мы.

В этом описании можно выделить два элемента: положения и скорости всех материальных точек в один момент времени (часто называемые начальными усло­виями) и уравнения движения, связывающие динами­ческие силы с ускорениями. Интегрирование уравне­ний движения развертывает начальное состояние в по­следовательность состояний, т. е. порождает семейство траекторий тел, образующих рассматриваемую систему.

Триумфом ньютоновской науки явилось открытие универсальности гравитации: одна и та же сила «все­мирного тяготения», или гравитации, определяет и дви­жение планет и комет в небе, и движение тел, падаю­щих на поверхность Земли. Из теории Ньютона следу­ет, что между любыми двумя материальными телами действует одна и та же сила взаимного притяжения.

Таким образом, ньютоновская динамика обладает двоякой универсальностью. Математическая формули­ровка закона всемирного тяготения, описывающая, ка­ким образом стремятся сблизиться любые две массы, не связана ни с каким масштабом явлений. Закон все­мирного тяготения одинаково применим к движению атомов, планет или звезд в галактиках.

Любое тело, каковы бы ни были его размеры, обла­дает массой и действует как источник ньютоновских сил тяготения.

Поскольку между любыми двумя массами возника­ют силы взаимного притяжения (на каждое из двух тел с массами т и т', находящихся на расстоянии r друг от друга, со стороны другого тела действует сила притяжения, равна kmm'/r, где k — ньютоновская гра­витационная постоянная; k=6,67 Н×м/кг), то един­ственной истинно динамической системой  является только Вселенная в целом. Любую локальную динами­ческую систему, например нашу планетную систему, можно определить лишь приближенно, пренебрегая си­лами, малыми в сравнении с теми, действие которых мы рассматриваем.

Следует подчеркнуть, что для произвольно выбран­ной динамической системы законы движения всегда представимы в виде F=та. Помимо гравитации, мо­гут быть и действительно были открыты другие силы, например силы взаимного притяжения и отталкивания электрических зарядов. Каждое такое открытие изме­няет эмпирическое содержание законов движения, но не затрагивает их формы. В мире динамики изменение отождествляется с ускорением (как положительным — в случае разгона, так и с отрицательным — в случае торможения). Интегрирование законов движения по­зволяет найти траектории, по которым движутся части­цы. Следовательно, законы изменения, или влияния времени на природу, должны быть как-то связаны с характеристиками траекторий.

К числу основных характеристик траекторий отно­сятся регулярность, детерминированность и обрати­мость. Мы уже знаем, что для вычисления любой тра­ектории, помимо известных законов движения, необхо­димо эмпирически задать одно мгновенное состояние системы. Общие законы движения позволяют вывести из заданного начального состояния бесконечную серию состояний, проходимых системой со временем, подобно тому, как логика позволяет выводить заключения из исходных посылок. Замечательная особенность траек­торий динамической системы состоит в том, что, коль скоро силы известны, одного-единственного состояния оказывается достаточно для полного описания систе­мы — не только ее будущего, но и прошлого. Следова­тельно, в любой момент времени все задано. В динами­ке все состояния эквивалентны: каждое из них позволя­ет вычислить остальные состояния вместе с траектори­ей, проходящей через все состояния как в прошлом, так и в будущем.

«Все задано». Этот вывод классической динамики, как неоднократно подчеркивал Бергсон, характеризует описываемую динамикой реальность. Все задано, но вместе с тем и все возможно. Существо, способное уп­равлять динамической системой, может вычислить нужное ему начальное состояние так, чтобы система, будучи предоставленной самой себе, «спонтанно» пере­шла в любое заранее выбранное состояние в заданный момент времени. Общность законов динамики уравнове­шивается произволом в выборе начальных условий.

Обратимость динамической траектории в явном виде формулировали все основатели динамики. Напри­мер, когда Галилей или Гюйгенс описывали, к чему приводит эквивалентность причины и действия, посту­лированная ими как основа математизации движения, они прибегали к мысленным опытам, в частности к опыту с упругим отражением шарика от горизонталь­ной поверхности. В результате мгновенного обращения скорости в момент соударения такое тело вернулось бы в начальное положение. Динамика распространяет это свойство (обратимость) на все динамические измене­ния. Опыт с шариком — один из первых мысленных опытов в истории современной науки — иллюстрирует одно общее математическое свойство уравнения дина­мики: из структуры уравнений динамики следует, что если обратить скорости всех точек системы, то система «повернет вспять» — начнет эволюционировать назад во времени. Такая система прошла бы вновь через все состояния, в которых она побывала в прошлом. Дина­мика определяет как математически эквивалентные такие преобразования, как обращение времени t ® —t и обращение скорости v ®  —v. Изменения, вызванные в динамической системе одним преобразованием — обра­щением времени, могут быть компенсированы другим преобразованием — обращением скорости. Второе пре­образование позволяет в точности восстановить началь­ное состояние системы.

Выяснилось, однако, что с присущим динамике свойством обратимости связана определенная труд­ность, все значение которой было в должной мере осознано лишь после создания квантовой механики: воздействие и измерение принципиально необратимы. Таким образом, активная наука, по определению, ле­жит за пределами идеализированного обратимого мира, который она описывает. С более общей точки зрения обратимость можно рассматривать как своего рода символ «странности» мира, описываемого динамикой. Всякий знает, какие нелепости возникают на экране, если пустить киноленту от конца к началу: сгоревшая дотла спичка вспыхивает ярким огнем и, пылая, пре­вращается в полномерную спичку с нетронутой серной головкой, осколки разбитой вдребезги чернильницы са­ми собой собираются в целую чернильницу, внутрь ко­торой чудесным образом втягивается лужица пролитых было чернил, толстые ветви на дереве на глазах утон­чаются, превращаясь в тоненькие молодые побеги. В мире классической динамики все эти события счита­ются столь же вероятными, как и события, отвечающие нормальному ходу явлений.

Мы так привыкли к законам классической динами­ки, которые преподаются нам едва ли не с младших классов средней школы, что зачастую плохо сознаем всю смелость лежащих в их основе допущений. Мир, в котором все траектории обратимы, — поистине стран­ный мир. Не менее поразительно и другое допущение, а именно допущение полной независимости начальных условий от законов движения. Камень действительно можно взять и бросить с любой начальной скоростью в пределах физической силы бросающего, но как быть с такой сложной системой, как газ, состоящий из ог­ромного числа частиц? Ясно, что в случае газа мы уже не можем налагать произвольные начальные условия. Они должны быть исходом эволюции самой динамичес­кой системы. Это — весьма важное обстоятельство, и к его обсуждению мы еще вернемся в третьей части на­шей книги. Но каковы бы ни были ограничения, суживающие применимость классической динамики к ре­альному миру, мы и сегодня, через три столетия после ее создания, можем лишь восхищаться логической по­следовательностью и мощью методов, разработанных творцами классической динамики.