3. Язык динамики

3. Язык динамики

Ныне мы располагаем всем необходимым для того, чтобы сформулировать классическую динамику ком­пактно и изящно. Как мы увидим из дальнейшего, все свойства динамической системы могут быть выражены с помощью одной функции, известной под названием функций Гамильтона, или гамильтониана. Языку дина­мики свойственны непротиворечивость и полнота. Он позволяет однозначно сформулировать любую правиль­но поставленную («законную») задачу динамики. Неуди­вительно, что начиная с XVIII в. структура динамики вызывала и продолжает вызывать восхищение и поны­не поражает воображение.

В динамике одну и ту же систему можно рассмат­ривать с различных точек зрения. В классической ди­намике все эти точки зрения эквивалентны: от любой из них к любой другой можно перейти с помощью пре­образования (замены переменных). Можно говорить о различных эквивалентных представлениях, в которых выполняются законы динамики. Различные эквивалент­ные представления образуют общий язык динамики. Этот язык позволяет выразить в явном виде статичес­кий характер, придаваемый классической динамикой описываемым ею системам: для многих классических систем время не более чем акциденция, поскольку их описание может быть сведено к описанию невзаимо­действующих механических систем. Для того чтобы мы могли ввести эти понятия наиболее просто, начнем с закона сохранения энергии.

В идеальном мире динамики, не знающем ни тре­ния, ни соударений, коэффициент полезного действия машин равен единице; динамическая система, которой является машина, лишь передает «целиком, без остат­ка» все сообщаемое ей движение. Машина, получаю­щая некоторый запас потенциальной энергии (напри­мер, в виде сжатой пружины, поднятого груза или сжа­того воздуха), может производить движение, соответст­вующее «равному» количеству кинетической энергии, а именно тому, которое потребовалось бы для восполне­ния запаса потенциальной энергии, израсходованного на производство движения. В простейшем случае един­ственная сила, которую приходится рассматривать, — это сила тяжести (с этим случаем мы встречаемся при анализе работы всех простых машин: блоков, рычагов, воротов и т. д.). Нетрудно вывести (для этого случая) общее отношение эквивалентности причины и действия. Высота h, которую проходит при падении тело, пол­ностью определяет скорость, приобретаемую телом к концу падения. Если тело с массой m падает верти­кально, соскальзывает по наклонной плоскости или съезжает с горки, то приобретаемая телом скорость v и кинетическая энергия тv/2 зависят только от вели­чины h, на которую понизился уровень тела (v=Ö2gh), и позволяют телу вернуться на первоначальную высоту. Работа против силы тяжести, совершаемая при движе­нии вверх, восполняет потенциальную энергию на вели­чину mgh, т. е. на столько, сколько потеряла система при падении. Другим примером может служить маят­ник, у которого кинетическая и потенциальная энергия непрерывно преобразуются одна в другую.

Разумеется, если вместо тела, падающего на Землю, рассматривать какую-нибудь систему взаимодействую­щих тел, то ситуация будет не столь прозрачной. Тем не менее в любой момент времени полное изменение кинетической энергии вполне компенсирует изменение потенциальной энергии (связанное с изменением рас­стояний между точками системы). Следовательно, в любой изолированной системе энергия, как и в случае свободного падения, сохраняется.

Таким образом, потенциальная энергия (или потен­циал, обычно обозначаемый через V), зависящая от относительного положения частиц, является обобщени­ем величины, позволявшей строителям машин измерять движение, которое могла бы производить машина в результате изменения ее пространственной конфигура­ции (например, изменение высоты  массы m — одной из частей машин — увеличивает потенциальную энер­гию на mgh). Кроме того, потенциальная энергия по­зволяет вычислять систему сил, приложенных в каждый момент времени к различным точкам описываемой сис­темы: в каждой точке производная от потенциала по пространственной координате q служит мерой силы, приложенной в данной точке в направлении этой коор­динаты. Таким образом, законы движения Ньютона можно сформулировать, используя в качестве основной величины потенциальную энергию вместо силы: изме­нение скорости (или импульса р — произведения массы и скорости) материальной точки измеряется производ­ной от потенциала по координате q точки.

В XIX в. эта формулировка второго закона Ньюто­на была обобщена с помощью введения новой функ­ции — гамильтониана Н. Функция Гамильтона есть не что иное, как полная энергия системы, т. е. сумма ее кинетической и потенциальной энергии. Но полная энер­гия представлена как функция не координат и скорос­тей, обозначаемых, по традиции, соответственно q и dq/dt, а так называемых канонических переменных — координат и импульсов, которые принято обозначать q и р. В простейших случаях, таких, как свободная частица, между скоростью и импульсом существует яв­ное соотношение (p=mdq/dt), но в общем случае ско­рость и импульс связаны более сложной зависимостью.

Одна функция (гамильтониан) Н(р, q) полностью описывает динамику системы. Вид функции Н несет в себе все наше эмпирическое знание системы. Зная га­мильтониан, мы можем (по крайней мере в принципе) решить все возможные задачи. Например, изменения координаты и импульса во времени равны просто про­изводным от Н по р и q. Гамильтонова формулировка динамики — одно из величайших достижений в истории науки. Впоследствии сфера действия гамильтонова формализма расширилась, охватив теорию электричест­ва и магнетизма. Используется он и в квантовой меха­нике, но, как мы увидим в дальнейшем, гамильтониан Н при этом приходится понимать в обобщенном смыс­ле: в квантовой механике гамильтониан перестает быть обычной функцией координат и импульсов и становится величиной нового типа — оператором. (К этому вопро­су мы еще вернемся в гл. 7.) Не будет преувеличением сказать, что гамильтоново описание динамических сис­тем и поныне имеет первостепенное значение. Уравне­ния, задающие временные изменения координат и им­пульсов через производные от гамильтониана, называ­ются каноническими уравнениями. В них содержатся общие свойства всех динамических изменений. Гамильтонов формализм представляет собой несомненный три­умф математизации природы. Любое динамическое из­менение, к которому применима классическая динами­ка, может быть сведено к простым математическим уравнениям — каноническим уравнениям Гамильтона.

Используя эти уравнения, мы можем проверить пра­вильность заключений относительно общих свойств динамических систем, выведенных в классической ди­намике. Канонические уравнения обратимы: обраще­ние времени математически эквивалентно обращению скорости. Канонические уравнения  консервативны: гамильтониан, выражающий полную энергию системы в канонических переменных  (координатах и импуль­сах), сохраняется при изменениях координат и им­пульсов во времени.

Мы уже упоминали о том, что существует множест­во различных представлений одной и той же динами­ческой системы (или множество различных точек зре­ния на одну и ту же динамическую систему), в каждом из которых уравнения движения сохраняют гамильтонову форму. Эти представления соответствуют различным выборам координат и импульсов. Одна из основных проблем динамики заключается в том, чтобы указать наиболее разумный выбор канонических переменных р и q, при котором описание динамики становится осо­бенно простым. Например, можно было бы попытаться найти канонические переменные, в которых гамильто­ниан сводится только к кинетической энергии и зависит лишь от импульсов (а не от координат). Замечательно, что в этом случае импульсы становятся интегралами движения, т. е. сохраняются во времени. Действитель­

Рис. 1. Два представления одной и той же динамической систе­мы: а) как множество взаимодействующих точек (волнистые линии условно изображают взаимодействие между точками); б) как мно­жество точек, каждая из которых ведет себя независимо от осталь­ных (если потенциальная энергия исключена, то относительные дви­жения точек не зависят от их взаимного расположения).

но, как мы уже говорили, изменение импульсов во вре­мени в силу канонических уравнений зависит от про­изводной гамильтониана по координатам. Если эта производная обращается в нуль, то импульсы стано­вятся интегралами движения. С аналогичной ситуаци­ей мы сталкиваемся при рассмотрении системы «сво­бодная частица». Для того чтобы перейти к этой систе­ме, необходимо с помощью подходящего преобразова­ния «исключить» взаимодействие. Условимся называть динамические системы, для которых такой переход воз­можен, интегрируемыми системами. Таким образом, любую интегрируемую систему можно представить в виде совокупности подсистем. Каждая из таких подсис­тем изменяется в полной изоляции от других, независи­мо от них, совершая в процессе своей эволюции вечное и неизменное движение, которое Аристотель приписывал небесным телам (см. рис. 1).

            Мы уже упоминали о том, что в динамике «все за­дано». В случае гамильтоновой динамики это означает, что с самого первого мгновения значения различных инвариантов движения заданы. Ничего нового не может ни «случиться», ни «произойти». Так в гамильтоновой динамике мы сталкиваемся с одним из тех драматичес­ких моментов в истории науки, когда описание приро­ды сводится почти к статической картине. Действитель­но, при разумной замене переменных мы можем добить­ся, чтобы все взаимодействия исчезли. Долгое время считалось, что интегрируемые системы, сводимые к сво­бодным частицам, являются прототипами всех динами­ческих систем. Поколения физиков и математиков не покладая рук трудились над тем, чтобы найти для каждого типа динамических систем «правильные» пере­менные, которые позволили бы исключить взаимодейст­вия. Одним из наиболее изученных примеров может служить задача трех тел, которую с полным основани­ем можно назвать наиболее важной задачей в истории динамики. Одним из частных случаев задачи трех тел является движение Луны, испытывающей притяжение как со стороны Земли, так и со стороны Солнца. Были предприняты бесчисленные попытки свести эту систему к интегрируемой, но в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что это невозможно. Их результат был пол­ной неожиданностью для современников и, по существу, возвестил о наступлении бесповоротного конца всех простых экстраполяций динамики на основе интегри­руемых систем. Открытие Брунса и Пуанкаре показа­ло, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на не­взаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно. Хотя в то вре­мя значение открытия Брунса и Пуанкаре не было оце­нено по достоинству, оно означало отказ от незыблемо­го убеждения в однородности динамического мира, в его сводимости к интегрируемым системам. Природа как эволюционирующая система с многообразно взаи­модействующими подсистемами упорно сопротивлялась попыткам сведения ее к универсальной схеме, не со­держащей к тому же времени.

Это положение подтверждали и другие факты. Мы уже упоминали о том, что траектории динамической системы соответствуют детерминистическим законам: коль скоро начальное состояние задано, динамические законы движения позволяют вычислить траекторию для любого момента времени в будущем и в прошлом. Однако в некоторых особых точках траектория может становиться внутренне  неопределенной.  Например, жесткий маятник может совершать движения двух ка­чественно различных типов: либо колебаться, либо вра­щаться вокруг точки подвеса. Если начальный толчок достаточно силен для того, чтобы привести маятник в вертикальное положение с нулевой скоростью, то на­правление, в котором он упадет, и, следовательно, ха­рактер движения не определенны. Достаточно сообщить маятнику бесконечно малое возмущение, чтобы он на­чал вращаться или совершать колебания вокруг точки подвеса. (Подробно проблема неустойчивости движе­ния, с которой мы здесь сталкиваемся, будет рассмот­рена в гл. 9.)

Интересно, что еще Максвелл  придавал особым точкам большое значение. Описывая взрыв ружейного пороха, он замечает:

«Во всех этих случаях имеется одно общее обстоя­тельство: система обладает некоторым количеством по­тенциальной энергии, способным трансформироваться в движение, но не трансформирующимся до тех пор, по­ка система не достигнет определенной конфигурации, для перехода в которую требуется совершить работу, в одних случаях бесконечно малую, но, вообще говоря, не находящуюся в определенной пропорции к энергии, выделяемой вследствие перехода. Примерами могут служить скала, отделившаяся от основания в резуль­тате выветривания и балансирующая на выступе гор­ного склона, небольшая искра, поджигающая огромный лес, слово, ввергающее мир в пучину войны, крупица вещества, лишающая человека воли, крохотная спора, заражающая посевы картофеля, геммула*, превращаю­щая нас в философов или идиотов. У каждого сущест­вования выше определенного ранга имеются свои осо­бые точки; чем выше ранг, тем их больше. В этих точ­ках воздействия, физическая величина которых слиш­ком мала для того, чтобы существо конечных размеров принимало их во внимание, могут приводить к необы­чайно важным последствиям. Всеми великими резуль­татами человеческой деятельности мы обязаны искусному использованию таких особых состояний, когда та­кая возможность предоставлялась».

Идеи Максвелла не получили дальнейшего развития из-за отсутствия подходящих математических методов для идентификации систем с особыми точками и отсут­ствия химических и биологических знаний, позволяю­щих, как мы увидим из дальнейшего, более глубоко проникнуть в понимание той весьма важной роли, ко­торую играют особые точки.

Как бы то ни было, со времен монад Лейбница (см. заключительную часть разд. 4) и поныне (достаточно упомянуть хотя бы стационарные состояния электронов в модели Бора, см. гл. 7) интегрируемые системы слу­жили великолепной моделью динамических систем, и физики пытались распространить их свойства, т. е. свойства весьма специального класса гамильтоновых уравнений, на все процессы, протекающие в природе. Такое стремление вполне понятно. Вплоть до недавнего времени интегрируемые системы были единственным основательно изученным классом динамических систем. Не следует упускать из виду и притягательную силу которой обладает в наших глазах любая замкнутая система, позволяющая ставить все имеющие смысл задачи. Динамика является адекватным языком. Буду­чи полной, она, по определению, коэкстенсивна тому миру, который она описывает. Предполагается, что все задачи, простые и сложные, напоминают одна дру­гую, поскольку любую из них всегда можно представить в общем виде. Трудно поэтому устоять перед искуше­нием и не прийти к выводу о том, что все задачи име­ют много общего с точки зрения их решений и что в результате более или менее сложной процедуры инте­грирования не может появиться ничего качественно но­вого. Ныне, мы знаем, что такое представление о внут­ренней однородности динамических систем не соответ­ствует действительности. Кроме того, механический мир был приемлем, покуда все наблюдаемые так или иначе были связаны с движением. Теперь мы столкну­лись с другой ситуацией. Например, нестабильные час­тицы обладают энергией, которую можно связать с движением, но они же обладают и временем жизни, а это наблюдаемая совершенно другого типа, более тес­но связанная (как будет показано в гл. 4 и 5) с необ­ратимыми процессами. Необходимость введения в теоретические науки новых наблюдаемых была и поныне остается одной из движущих сил, вынуждающих нас выходить за рамки механистического мировоззрения.