5. Временная эволюция квантовых систем

5. Временная эволюция квантовых систем

Перейдем теперь к рассмотрению временной эволю­ции квантовых систем. В квантовой механике, как и в классической, основную роль играет гамильтониан. Как мы уже знаем, в квантовой механике гамильтониан-функция заменяется   гамильтониан-оператором Hоп. Этот оператор энергии выполняет весьма важную мис­сию: с одной стороны, его собственные значения соот­ветствуют энергетическим уровням, с другой стороны, как и в классической механике, гамильтониан опреде­ляет временную эволюцию системы. В квантовой меха­нике аналогом канонических уравнений классической механики является уравнение Шредингера, которое описывает временную эволюцию функции ψ, задающей квантовое состояние системы как результат действия на волновую функцию ψ  гамильтониана Hоп (сущест­вуют и другие формулировки квантовой механики, но мы не будем приводить их здесь). Термин волновая функция выбран для того, чтобы еще раз подчеркнуть столь важный для всей квантовой физики дуализм вол­на — частица. Напомним, что ψ — амплитуда волны, эволюционирующей в соответствии с зависящим от ти­па частицы уравнением, задаваемым гамильтонианом. Как и канонические уравнения классической физики, уравнение Шредингера описывает обратимую и детер­министическую эволюцию. Обратимое изменение волно­вой функции в квантовой механике соответствует обра­тимому движению вдоль траектории. Если волновая функция в данный момент времени известна, то урав­нение Шредингера позволяет вычислить значение, при­нимаемое ею в любой другой момент времени как в прошлом, так и в будущем. С этой точки зрения ситуа­ция в квантовой механике вполне аналогична ситуации в классической механике. Столь тесная аналогия объ­ясняется тем, что время не входит в соотношения неоп­ределенности в квантовой механике. Время в квантовой механике — число, а не оператор, тогда как в соотно­шения неопределенности Гейзенберга могут входить только операторы.

Квантовая механика использует лишь половину пе­ременных классической механики, поэтому классиче­ский детерминизм становится неприменимым, и в кван­товой физике центральное место занимают статистиче­ские соображения. В соприкосновение с ними мы всту­паем через интенсивность волны | ψ | (квадрат ампли­туды).

Стандартная статистическая интерпретация кванто­вой механики сводится к следующему. Рассмотрим соб­ственные функции какого-нибудь оператора (например, оператора энергии Hоп) и соответствующие им собст­венные значения. В общем случае волновая функция ψ не является собственной функцией оператора энергии, но представима в вмде суперпозиции собственных функ­ций. Вес («важность»), с которым каждая собственная функция входит в эту суперпозицию, позволяет вычис­лять вероятность появления соответствующего собст­венного значения.

Здесь мы снова сталкиваемся с весьма важным от­клонением от классической теории: предсказуемы толь­ко вероятности, а не отдельные события. Второй раз за историю физики вероятности были привлечены для объяснения некоторых фундаментальных свойств при­роды. Впервые вероятности использовал Больцман в своей интерпретации энтропии. Однако предложенная Больцманом интерпретация отнюдь не исключала субъ­ективную точку зрения, согласно которой «только» ог­раниченность наших знаний перед лицом сложности си­стемы служит препятствием на пути к полному описа­нию. (Как мы увидим в дальнейшем, это заблуждение ныне вполне преодолимо.) Как и во времена Больцмана, использование вероятностей в квантовой механике оказалось неприемлемым для многих физиков (в том числе и для Эйнштейна), стремившихся к «полному» детерминистическому описанию. Как и в случае необра­тимости, ссылка на неполноту и ограниченность нашего знания, казалось, позволяла найти выход из создавше­гося затруднения: ответственность за статистический характер квантовомеханического описания так же, как некогда за необратимость, возлагалась на нашу неспо­собность охватить все детали поведения сложной си­стемы.

И здесь мы снова подошли к проблеме скрытых пе­ременных. Однако, как уже говорилось, из-за отсутст­вия сколько-нибудь убедительного экспериментального подтверждения от идеи введения скрытых переменных пришлось отказаться. Фундаментальная роль вероятно­стей в квантовой механике постепенно получила всеоб­щее признание.

Существует лишь один случай, когда уравнение Шредингера приводит к детерминистическому предска­занию: так бывает, когда волновая функция ψ, представимая, вообще говоря, в виде суперпозиции собствен­ных функций, сводится к одной-единственной функции. В частности, при идеальном процессе измерения систе­ма может быть приготовлена таким образом, чтобы ре­зультат данного измерения был предсказуем. Тогда си­стему будет описывать единственная собственная функ­ция и поведение системы станет достоверно предсказуе­мым: она будет находиться в собственном состоянии, соответствующем результату измерения.

Процесс измерения в квантовой механике имеет особое значение, и поныне вызывающее значительный интерес. Предположим, что мы начали с волновой функ­ции, которая является в действительности суперпозици­ей собственных функций. В результате процесса изме­рения этот единственный набор систем, представимых одной и той же волновой функцией, заменяется набо­ром волновых функций, соответствующих различным собственным значениям, которые могут быть измерены. На языке квантовой механики это означает, что изме­рение переводит одну волновую функцию («чистое» со­стояние) в смесь («смешанное» состояние).

Бор и Розенфельд неоднократно отмечали, что каждое измерение содержит элемент необратимости, т. о. апеллировали к необратимым явлениям (таким, как химические процессы), соответствующим записи, или регистрации, данных. Запись сопровождается уси­лением, в результате которого микроскопическое явле­ние производит эффект на макроскопическом уровне, т. е. на том самом уровне, на котором мы считываем показания измерительных приборов. Таким образом, измерение предполагает необратимость.

В определенном смысле это утверждение было спра­ведливо и в классической физике. Но проблема необ­ратимого характера измерения в квантовой механике приобрела большую остроту, поскольку затрагивает вопросы на уровне формулировки квантовой механики.

Обычный подход к этой проблеме сводится к ут­верждению о том, что у квантовой механики нет иного выбора, как постулировать сосуществование двух пер­вичных и не сводимых друг к другу процессов: обрати­мой и непрерывной эволюции, описываемой уравнением Шредингера, и необратимой и дискретной редукции волновой функции к одной из входящих в нее собствен­ных функций в момент измерения. Возникает парадокс: обратимое уравнение Шредингера может быть провере­но лишь с помощью необратимых измерений, которые это уравнение, по определению, не может описывать. Следовательно, квантовая механика не может быть замкнутой теорией.

Столкнувшись со столь большими трудностями, не­которые физики в очередной раз попытались искать убежище в субъективизме, утверждая, что мы сами (наше измерение и даже, по мнению некоторых, наш разум) определяем эволюцию системы, нарушающую естественную «объективную» обратимость. Другие физики пришли к выводу, что уравнение Шредингера «не полно» и в него необходимо ввести новые члены, которые бы учитывали необратимость измерения. Пред­лагались и менее правдоподобные решения проблемы, такие, как гипотеза многих миров Эверетта (см. книгу д'Эспаньи, указанную в прим. 8). Однако для нас со­существование в квантовой механике обратимости и необратимости свидетельствует о том, что классическая идеализация, описывающая мир как замкнутую си­стему, на микроскопическом уровне невозможна. Имен­но это имел в виду Бор, когда заметил, что язык, ис­пользуемый нами для описания квантовой системы, не­отделим от макроскопических понятий, описывающих функционирование наших измерительных приборов. Уравнение Шредингера описывает не какой-то особый уровень реальности. В его основе лежит скорее пред­положение о существовании макроскопического мира, которому принадлежим мы сами.

Таким образом, проблема измерения в квантовой ме­ханике является аспектом одной из проблем, которым посвящена наша книга, — взаимосвязи между простым миром, описываемым гамильтоновыми траекториями и уравнением Шредингера, и сложным макроскопическим миром необратимых процессов.

В гл. 9 мы увидим, что необратимость входит в классическую физику, когда идеализация, в основе ко­торой заложено понятие траектории, становится неадек­ватной. Проблема измерения в квантовой механике до­пускает решение того же типа. Действительно, волно­вая функция представляет максимум того, что нам из­вестно о квантовой системе. Как в классической физи­ке, объект этого максимального знания удовлетворяет обратимому эволюционному уравнению. В обоих случа­ях необратимость возникает, когда идеальный объект, соответствующий максимальному знанию, подлежит за­мене менее идеализированными понятиями. Но когда это происходит? Наступление такого момента зависит от физических механизмов необратимости, к которым мы еще вернемся в гл. 9. Но предварительно нам необ­ходимо резюмировать некоторые другие особенности возрождения современной науки.