3. Критика больцмановской интерпретации

3. Критика больцмановской интерпретации

Возражения против теории Больцмана появились сразу же после выхода его основной работы в 1872 г. Действительно ли Больцману удалось «вывести» необ­ратимость из динамики? Каким образом обратимые за­коны движения по траекториям могут порождать не­обратимую эволюцию? Не противоречит ли кинетиче­ское уравнение Больцмана динамике? Нетрудно видеть, что симметрия уравнения Больцмана не согласуется с симметрией классической механики.

Мы уже видели, что в классической динамике обра­щение скорости (v®—v) приводит к такому же ре­зультату, как и обращение времени (t®—t). Это — основная симметрия классической динамики, и можно было бы надеяться, что кинетическое уравнение Больцмана, описывающее, как изменяется во времени функ­ция распределения, обладает такой же симметрией. Но в действительности все обстоит иначе: вычисленный Больцманом столкновительный член инвариантен отно­сительно обращения скорости. Эта несколько неожи­данная инвариантность имеет простой физический смысл: в больцмановской картине нет никакого раз­личия между столкновением, обращенным в будущее, и столкновением, обращенным в прошлое. Именно на этой идее основано возражение Пуанкаре против вывода уравнения Больцмана, предложенного самим Больцма­ном. Правильные вычисления не могут приводить к за­ключениям, противоречащим исходным допущени­ям. Но, как мы видели, симметрия кинетического уравнения, выведенного Больцманом для функции рас­пределения, противоречит симметрии классической ди­намики. Следовательно, заключает Пуанкаре, Больцман не сумел «вывести» энтропию из динамики. Где-то в своих рассуждениях он ввел нечто новое, чуждое ди­намике. Следовательно, выведенное Больцманом урав­нение в лучшем случае может рассматриваться лишь как феноменологическая модель, полезная, но не име­ющая прямого отношения к динамике. Таково было также возражение Цермело (1896), выдвинутое против теории Больцмана.

С другой стороны, возражение Лошмидта  (1876) позволило установить границы применимости кинетиче­ской модели Больцмана. Лошмидт заметил, что модель Больцмана перестает выполняться после обращения скоростей, соответствующего преобразованию v®—v.

Поясним суть возражения Лошмидта с помощью мысленного эксперимента. Предположим, что газ на­ходится сначала в неравновесном состоянии и эволю­ционирует до момента времени t0. В момент времени t0 обратим все скорости. Тогда система вернется в началь­ное состояние. Следовательно, больцмановская энтро­пия при t=0 и t=2t0 должна быть одинакова.

Число таких мысленных экспериментов легко мож­но было бы приумножить. Предположим, что при t=0 у нас имеется смесь водорода и кислорода. Через ка­кое-то время образуется вода. Если обратить все ско­рости, то смесь вернется в исходное состояние: вода ис­чезнет, останутся только водород и кислород.

Интересно, что в лаборатории или в численном мо­делировании обращение скоростей — вполне выполни­мая операция. Например, на рис. 26 и 27 H-функция Больцмана вычислена для двухмерных твердых сфер (дисков). В начальный момент времени диски располагаются в узлах квадратной решетки с изотропным рас­пределением cкоростей. Результаты вычислений совпа­дают с предсказаниями Больцмана.

Рис. 26. Эволюция H со временем для N «твердых шаров» (численное моделирование): a) N=100, b) N=484, с) N=1225.

Если через пятьдесят или сто столкновений (в раз­реженном газе это соответствует 10с) обратить ско­рости, то получается новый ансамбль. После обраще­ния скоростей H-функция Больцмана уже не убывает, а возрастает.

Аналогичная ситуация возникает при определенных условиях в реальных экспериментах со спиновым эхом и эхом в плазме: на ограниченных интервалах времени наблюдается  «антитермодинамическое», в смысле Больцмана, поведение системы.

Важно отметить, что эксперимент по обращению скоростей тем труднее, чем позже происходит обраще­ние скоростей  (т. е. чем больше время t0).

Восстановить свое прошлое газ может лишь в том случае, если он «помнит» все, что с ним произошло в интервале времени от t=0 до t=t0. Для этого необхо­димо какое-то «хранилище» информации. В роли такого хранилища, или памяти, выступают корреляции меж­ду частицами. К вопросу о корреляциях мы вернемся в гл. 9. Пока же заметим, что именно это соотношение между корреляциями и столкновениями было недоста­ющим звеном в рассуждениях Больцмана. Когда Лошмидт в полемике с Больцманом указал на это обстоя­

Рис. 27. Эволюция H при обращении скоростей после 50 и 100 соударений. Численное моделирование для 100 «твердых шаров».

тельство, Больцман вынужден был признать правоту своего оппонента: обратные столкновения «ликвидиру­ют последствия» прямых столкновений и система долж­на возвращаться в начальное состояние. Следователь­но, H-функция должна возрастать от конечного значе­ния к начальному. Таким образом, обращение скоро­стей требует проведения различия между ситуациями, к которым рассуждения Больцмана применимы, и си­туациями, в которых те же рассуждения неверны.

После того как эта проблема была поставлена (1894),   выяснить природу ограничения оказалось. совсем не трудно. Применимость статистического подхода Больцмана зависит от предположения о том, что перед столкновением молекулы ведут себя независимо друг от друга. Это предположение относительно начального состояния газа известно под названием ги­потезы молекулярного хаоса. Начальное состояние, воз­никающее в результате обращения скоростей, не удов­летворяет гипотезе молекулярного хаоса. Если систему заставить эволюционировать «вспять во времени», то создается новая ситуация, аномальная в том смысле, что некоторым молекулам, сколь бы далеко друг от друга они ни находились в момент обращения скорос­тей, предопределено встретиться в заранее установлен­ный момент времени и подвергнуться заранее установ­ленному преобразованию скоростей.

Обращение скоростей порождает высокоорганизо­ванную систему, и гипотеза молекулярного хаоса пере­стает выполняться. Различные столкновения, как бы под влиянием предустановленной гармонии, порождают поведение газа, которое внешне вполне «целенаправ­ленно».

Но это еще не все. Что означает переход от поряд­ка к хаосу? В предложенной Эренфестами модели урн ответ ясен: система эволюционирует до тех пор, пока распределение шаров не становится равномерным. В других случаях ситуация не столь проста. Мы можем воспользоваться численным моделированием и начать со случайного распределения взаимодействующих час­тиц. Со временем (на какое-то мгновение) может обра­зоваться правильная решетка. Происходит ли в этом случае переход от порядка к хаосу? Ответ на этот во­прос далеко не очевиден. Для того чтобы понять поря­док и хаос, нам необходимо прежде всего определить те объекты, к которым мы применяем эти понятия. Пе­реход от динамики к термодинамике, как показал Больцман, совершается особенно легко в разреженных газах. Но в плотных системах, где молекулы взаимо­действуют между собой, переход этот не столь очевиден.

Именно из-за трудностей, возникающих при рас­смотрении плотных систем с взаимодействующими час­тицами, яркая пионерская теория Больцмана осталась незавершенной.